分布式椭圆控制问题的重构间断近似方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：A reconstructed discontinuous approximation for distributed elliptic control problems

　　摘要：本文提出并分析了一种用于分布式椭圆型最优控制问题的内部罚项间断伽辽金方法。该方法基于一种重构的间断近似，该近似具有任意高阶的逼近空间，且每个单元仅需要一个未知数。通过应用该方法，我们构建了一种合适的离散化方案，用于在近似空间中逼近状态变量和伴随变量。我们的主要贡献有两方面：（1）给出了L2范数和能量范数的先验及后验误差估计；（2）设计了一个可高效求解的离散系统，该系统通过线性收敛的投影梯度下降法进行求解。文中还通过数值实验验证了先验误差估计的收敛阶以及后验误差估计的有效性。

引言：由偏微分方程描述的最优控制问题是高级数学理论与实际工程应用之间的重要桥梁。其在应用科学中的重要性促使人们进行了数十年的研究，从而在相关理论以及解决这类问题的数值技术方面取得了显著进展。关于最优控制问题的数学理论可参考[1]，而一些数值方法则见于[2]、[3]。在所有这些方法中，有限元法因其高精度和强适应性而被广泛用于数值求解这类问题。基于有限元方法的数值分析可追溯到20世纪70年代的[4]、[5]中的相关工作。此后，过去几十年来，针对多种类型控制问题的研究取得了重大进展，这些进展包括全面的先验及后验误差分析，以及为自适应有限元法设计高效的误差指标。相关方法论的描述可见[6]。具体而言，对于狄利克雷边界条件下的控制问题，可参考[7]、[8]、[9]；对于诺伊曼边界条件下的控制问题，可参考[5]、[10]、[11]、[12]；而对于分布式控制问题，则可参考[13]、[14]、[15]、[16]及其引用文献。在控制约束问题的变分离散化方法方面，有研究见于[17]、[18]。在自适应有限元法领域，可参考[9]、[16]、[18]及其引用文献。专著[19]建立了利用多自适应网格开发具有误差估计功能的高效最优控制数值算法的框架。近年来，间断伽辽金有限元方法得到了广泛研究，相关专著可见[20]、[21]、[22]。除了具备允许单元间不连续性的基本特性外，间断伽辽金方法还具有固有的局部守恒性、紧凑的模板结构、高阶精度以及天然的并行扩展能力，这些优点使其成为解决各种问题的理想选择。不过，由于自由度数量大幅增加，间断伽辽金方法的计算效率相对低于连续元素方法[23]，这一缺点在高阶方案中更为明显。为了解决这一问题并减少自由度数量，作者在[24]中引入了一种重构间断近似方法。该方法构建了一个高阶逼近空间，每个单元仅需一个未知数。其核心步骤是在相邻单元构成的小区域内求解局部最小二乘问题。由此产生的空间是标准间断分段多项式空间中的一个较小子空间，且与该间断分段常数空间线性同构。因此，自由度数量可显著减少，使其与网格元素数量相匹配。此外，通过适当选择单元区域的大小，还可以实现最优的逼近精度。这一方法已成功应用于解决一系列实际问题，相关成果见[24]、[25]。本文聚焦于由二阶椭圆方程描述的分布式最优控制问题。这类模型在物理学和工程学中极为常见，因为它们可用于描述扩散现象和势流现象中的平衡状态。对其离散化的典型方法是采用经典的拉格朗日有限元法。例如，[16]就采用了这种方法，并给出了建模误差的先验估计以及恢复型后验估计。此外，[14]、[15]研究了非凸域上带有点态状态约束的问题，利用连续和间断有限元法分别给出了先验误差估计。在点态控制约束下的自适应方法方面也有了理论进展， notably，[18]对变分控制离散化下的自适应有限元法给出了严格的收敛性分析，同时还证明了该自适应算法在状态变量和伴随变量逼近方面的最优性。本文将上述重构间断近似方法应用于具有强凸成本函数形式的这类问题。数值建模中，状态变量和伴随变量采用近似空间表示，而控制变量则采用分段常数离散化形式。我们给出了明确的离散化方案，并证明了L2范数和能量范数的先验及后验误差估计。离散最优性条件则通过投影梯度下降法求解，该方法被证明具有线性收敛速度。每次计算循环都需先通过上述重构间断近似方法依次计算状态方程和伴随方程，然后利用这两个方程的解来更新控制变量。随后通过一系列数值算例验证了该方法的性能和理论特性。本研究的主要理论挑战在于在间断伽辽金框架内给出误差估计的严格证明。尽管这些证明依赖于拉克斯-米尔格拉姆引理和对偶论证等标准工具，但由于间断伽辽金空间的非符合性，需要在重构空间中谨慎选择合适的中间状态，而这在传统的符合性有限元公式中是不需要的。本文的其余结构如下：第2节介绍模型问题并概述重构间断近似方法的基本结构，同时提出离散化系统以及使用投影梯度下降法求解它的迭代方法；第3节给出箱形约束情况下的先验误差估计结果，以及在控制变量添加正则化条件时的超收敛结果；第4节证明了一般情况下的后验误差估计以及箱形约束情况下的精确误差估计；第5节通过一些数值算例验证理论结果；最后在第6节对全文进行总结。

章节节选：

模型问题与重构间断近似方法：本节将描述模型问题和数值方法的基本形式。2.1节介绍模型问题，2.2节和2.3节构建有限元空间并阐述重构间断近似方法，2.4节设计用于近似模型问题的离散化系统，2.5节则提供一种线性收敛的迭代方法来求解该离散化系统。

先验误差估计：本节将建立离散系统(2.14)相对于最优性条件(2.13)的先验误差估计。首先证明一般情况下的定理，然后再针对箱形约束情况得到更精确的估计。在后续章节中，我们用(y*, u*, p*)和(yhm*,uh*,phm*)分别表示(2.13)和(2.14)的解，但在定理的陈述和证明过程中，我们将简单地使用(y, u, p)和(yhm,uh,phm)。

一般结果：本节对问题(2.14)进行后验误差分析。与定理3的证明类似，我们也会构造两个中间状态。这样，(2.14)的误差估计就被转化为对基础椭圆方程对应的间断伽辽金方法误差的分析，从而可以应用定理2中的已有结果。

定理5：设(y, u, p)满足(2.13)，(yhm,uh,phm)满足(2.14)。如果假设1、2、3成立，且y、p∈H2(Ω)，那么存在一个常数C...

数值结果：本节通过一些数值算例来验证前几节中的推导结果。5.1节验证了定理3和定理4中所证明的先验误差估计的收敛阶，5.2节研究了控制变量数据足够平滑的情况，我们在此情况下构建了另一个无需对控制变量进行离散化的最优性条件(2.13)的近似形式，5.3节则展示了该方法的效率...

结论：本文将重构间断近似方法应用于具有强凸成本函数的分布式椭圆型最优控制问题。我们证明了离散问题的适定性，并给出了L2范数和能量范数下的先验及后验误差估计。该离散系统通过具有线性收敛速度的投影梯度下降算法求解。数值结果验证了理论估计的正确性，同时也展现了该方法的实际应用价值。

未标注表格：表2. 资助情况

本研究得到了中国国家自然科学基金（编号12288101和12401399）的支持。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

罗丽 | 刘浩阳 | 尹军
北京师范大学数学科学学院，北京大学重庆大数据研究院，中国北京市海淀区颐和园路5号，邮编100871，中华人民共和国