用于弱非均匀介质定量超声断层成像的无Hessian射线反演方法

《Journal of Computational Physics》：Hessian-free ray-Born inversion for quantitative ultrasound tomography of Weakly Heterogeneous Media

　　摘要：本研究提出了一种基于频域、无需赫斯矩阵的Ray-Born反演方法，用于定量超声断层成像，该方法是作者之前基于赫斯矩阵方法的拓展。这两种方法均采用基于射线的格林函数近似来模拟弱非均匀介质中的声波传播，并在频域中通过迭代方式进行反演，从低频率逐步过渡到高频率。在之前的方法中，每个频率子问题都需要通过赫斯矩阵的迭代反演来解决，这一过程不仅增加了计算成本，还使得更新步骤对噪声更为敏感。本研究通过特定的预处理方案将全频赫斯矩阵转换为单位矩阵，从而实现了对每个频率子问题的单步反演。与基于赫斯矩阵的方法相比，这种改进将计算量降低了大约一个数量级，同时由于消除了赫斯矩阵的病态性问题，使得重建结果更加稳健，对噪声的敏感性也更低。此外，与作者之前的研究相比，本研究通过引入近轴射线追踪框架，提升了对波幅几何成分的近似精度，进而进一步提高了计算效率与重建精度。本研究提出的反演方法实现了声学逆散射方法在临床应用中的首次成功应用。

引言：超声断层成像是一种利用超声激发及从物体外部获取的测量数据来绘制物体声学特性的技术[1]、[6]。该方法在生物医学领域，尤其是用于检测乳腺恶性肿瘤方面受到了广泛关注[6]。理想情况下，超声数据能够生成声速、吸收系数和密度等定量参数图，即定量超声断层成像，同时还能得到反映反射特性的定性图像[7]、[8]、[9]、[10]。本文重点讨论声速重建，因此“定量超声断层成像”这一术语将用于指代这一过程[11]。超声断层成像中用于声速成像的方法可根据以下标准进行分类：（1）反演所使用的数据类型；（2）需要最小化的目标函数是非线性的还是线性化的；（3）目标函数是在时域还是频域定义的；（4）所采用的正向模型。第一类方法仅依赖于发射器与接收器之间的直接飞行时间数据，有效忽略了散射波[12]、[13]。第二类方法则利用包含散射波在内的完整时间序列数据，以更全面地描述介质特性[14]、[15]、[16]、[17]、[18]。第三类方法则通过结合直接到达波和主要散射波，在保持较低计算量的同时提升精度，优于第一类方法，又比第二类方法更具效率[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]。本研究采用了一种混合方法，结合了第一类和第三类方法的优点：首先利用直接飞行时间数据生成初始估计值，然后通过基于射线的格林函数近似对主要散射波进行去畸变处理，再通过迭代方式将其纳入计算，以优化主反问题的解。在之前的研究[1]中，我们采用了基于目标函数线性化迭代的重建方法，即依次在频域中从低频率到高频率求解线性化后的子问题。正向问题则是通过基于射线的非均匀格林函数近似来建模的。基于高频近似的射线理论能够在保证精度的同时提高宽带数据的计算效率[30]。尽管射线理论在地震成像中存在一些局限，如焦散现象以及最小声学长度的多值性问题[31]，但对于乳腺等折射率通常在0.9到1.1之间的软组织来说，这些挑战并不那么突出。通过全波反演将高分辨率定量超声技术扩展到三维成像的主要挑战在于计算成本和换能器方向性，而基于射线的方法则能更轻松地解决这些问题[1]。之前的研究[1]通过数值实验表明，用于定量超声断层成像的基于射线的方法，能够以远低于全波反演方法的计算成本，重建出高分辨率的声速图，后者需要求解完整的波动方程[16]、[18]。那些考虑衍射或单次散射波的常用方法通常依赖于均匀介质中的格林函数，仅在散射势中体现声学非均匀性[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[27]、[28]、[29]。然而，已有研究表明，将射线理论与Born反演相结合，通过在预测入射波和散射波的格林函数中纳入声速非均匀性、折射以及声学吸收和色散效应，能够显著提升精度[1]。在[32]中提出了一种将衍射断层成像与射线追踪相结合的单步反演方法，该方法通过对最初基于飞行时间方法重建的低分辨率图像进行射线追踪，来补偿由于介质非均匀性导致的格林函数相位偏差，从而实现一步完成反问题求解。在本研究中，为了基于射线近似构建正向算子，我们沿着从发射器出发、经过介质后被接收器捕获的射线来近似格林函数，这些射线被称为关联射线。虽然沿关联射线可以近似计算振幅衰减的相位和吸收相关分量，但要计算振幅衰减的几何扩散效应，则需要计算射线雅可比矩阵，而这通常需要为每条关联射线追踪辅助射线。在之前的研究[1]中，是通过在关联射线的初始角度上引入微小扰动，独立于关联射线来追踪辅助射线的。而本研究则引入了一种近轴射线追踪系统，即与关联射线同步追踪近轴射线。这种方法提升了计算射线雅可比矩阵的效率和稳定性。在之前的研究[1]中提出的、并在本研究中得到拓展的定量超声断层成像反演方法，属于逆地震理论中所谓的线性化反演技术，即Ray-Born迁移/反演技术[30]、[33]、[34]、[35]。在之前的研究[1]中，目标函数会在频域中被离散化、线性化，然后在超声换能器覆盖的频率范围内依次进行最小化处理。该频率范围被划分为多个区间，每个区间包含固定数量的离散频率，通常为两个（通过经验确定）。最小化过程从低频率区间开始依次进行，每个频率子问题的解都会作为下一个频率段的初始猜测值。由于从超声数据重建声学参数是一个非线性反问题，因此从低频率到高频率的逐步优化策略有助于引导算法找到真实解[14]、[15]、[28]。在之前的研究[1]中，每一个线性化子问题都需要近似计算逆赫斯矩阵对目标函数梯度的作用，这类问题都是通过共轭梯度法来解决的。该方法涉及对正向算子及其伴随算子的弗雷歇导数进行迭代计算。每次共轭梯度迭代都包括将格林函数从发射器向接收器进行双向传播，然后再从接收器向发射器进行双向反投影。这些步骤需要对所有发射器-接收器对重复执行，从而导致计算成本大幅上升。不过，总体而言，其计算成本仍远低于全波反演方法[1]。本文档旨在通过引入无需赫斯矩阵的解决方案来进一步降低计算成本，同时保留赫斯矩阵中所包含的关键信息。为此，首先在整个频率范围内对目标函数进行一次线性化处理。得到的全频线性化目标函数随后会经过预处理，使得赫斯矩阵被近似为单位矩阵，而其蕴含的信息则会被融入相应的梯度中，从而得到一步完成的全频更新方向。这个更新方向是通过一种递归机制来确定的，该机制会逐步从低频率向高频率更新波数场。这一框架不仅通过避免重复计算赫斯矩阵提升了计算效率，还避免了对方差较大的赫斯矩阵进行隐式反演，从而降低了噪声和重建伪影的影响，同时保留了高分辨率成像所必需的精细散射特征。第2节介绍了利用射线理论求解频域亥姆霍兹波动方程的格林函数解，该方法适用于弱非均匀且具有吸收特性的介质。第3节详细阐述了用于解决定量超声断层成像中反问题的无需赫斯矩阵的Ray-Born反演方法。第4节讨论了利用射线理论对非均匀介质中的格林函数进行近似的方法。第5节概述了正向问题和反问题离散化的流程。第6节通过数值实验验证了基于射线的非均匀格林函数近似方法的有效性，并展示了所提出的无需赫斯矩阵的Ray-Born反演方法的重建结果，同时将这些结果与原型Born反演方法以及之前研究[1]中计算成本更高的基于赫斯矩阵的方法进行了比较。第7节对这些结果进行了分析讨论。附录则提供了额外的理论细节。

正文片段：
正向问题：本节阐述了用于重建空间变化声速的反演方法所基于的正向问题。设x=[x1,?,xd]T表示Rd空间中的位置，其中d表示空间维度数，通常为2或3。虽然本研究主要关注d=2的情况，但这些研究成果也旨在推广到d=3的情况。为避免重复，本节内容较为简略，有兴趣了解详细信息的读者可参阅之前的研究[1]的第3节。
反问题：本节介绍了用于解决定量超声断层成像中非线性反问题的方法，该方法的目的是根据测量的压力时间序列p(t, r, e)来重建物体的声速分布c。这些测量数据是通过在物体周围布置的超声换能器依次进行激励和采集得到的。在所提出的方法中，目标函数会在整个频率范围内进行一次线性化处理。
射线追踪：本节详细介绍了针对非均匀且具有吸收特性的介质，基于射线理论的定量超声断层成像的数值实现方法。具体而言，它阐述了如何利用基于高频近似、受艾科纳尔方程[9]和传输方程[10]约束的射线理论，来计算近似的格林函数及其倒数形式。
射线坐标：本节描述了在由方程(18)定义的残差中，以及在其逆运算——反投影算子(41)中，对格林函数进行的近似和离散化处理。这些量是沿着关联射线来计算的，用以确定与不同频率段相对应的更新方向。推导过程主要聚焦于g(ω, r, e)和g?(ω, x, e)；不过，通过交换e和r，g?(ω, x, e)的公式也可以类似地应用于g?(ω, x, r)。一般来说，对于二维情况……
数值结果：本节通过数值实验展示了所提出的基于射线的反演方法在低成本下重建乳腺内部高分辨率声速分布图像方面的有效性。
讨论与结论：本文提出了一种用于从超声传输数据中定量重建声速的、既稳健又高效的方法。该方法能够生成软组织中声速的高分辨率且定量精确的图像。所提出的图像重建方法已通过真实的数字乳腺模型进行了验证[45]。与之前的研究[1]中提出的反演方法类似，声波传播也是通过格林函数来建模的……
数据与代码可用性说明：本研究所得结果的MATLAB代码，以及之前研究[1]和[2]中的代码，均可通过参考文献[3]中提到的GitHub仓库获取。关于该GitHub仓库的介绍，以及用于评估工具箱中射线追踪算法准确性的数值实验，可见文献[51]。本研究中所用的原始模拟超声数据[36]，可作为基准测试，可通过文献[3]中提供的示例脚本重新生成……
适用性：关于将本文提出的图像重建方法应用于罗切斯特大学医学中心提供的体外和体内超声数据集的研究结果，见文献[4]，这些结果也保存在GitHub仓库[3]中。这些数据集可通过文献[5]中提供的链接获取，需将其添加到工具箱[3]中的相应路径中。
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