一种用于处理流体界面存在化学反应的不相容两相流的扩散界面格子玻尔兹曼方法

《Journal of Computational Physics》：A diffuse-interface lattice Boltzmann method for immiscible two-phase flows with chemical reactions at fluid interfaces

　　摘要：在反应性双相流中，界面传质对工业过程和化学合成至关重要，但由于流体-流体界面处传质与异质反应之间的复杂耦合关系，其精确建模仍面临挑战。在本研究中，我们首先提出了一种扩散界面模型，通过在质量传输方程中引入额外的通量项和源项来描述不相容的反应性双相流，这些项能够明确体现界面处异质反应边界条件的影响。该模型是通过结合对流-扩散方程的弱形式与异质反应边界条件严格推导得到的，其中采用平滑化的相场函数来近似不连续的尖锐界面特征，同时确保在界面反应传质过程中反应性标量的不相容性。为高效求解该模型，我们进一步开发了扩散界面格子玻尔兹曼方法。通过一些基准问题验证了该方法的准确性，发现数值结果与解析解高度一致。最后，我们研究了在盖驱动腔体中的单个反应滴以及在不同角速度下的旋转环形腔体中的多个反应滴的动力学行为。研究结果表明，该方法不仅在研究不相容界面处的异质反应方面具有高精度，还为复杂的多相反应系统提供了可靠的数值计算框架。

引言：含有化学反应的不相容双相流广泛存在于各类工业和自然过程中，包括化学合成[1]、[2]、[3]、碳封存[4]、[5]、提高石油采收率[6]以及环境修复[7]。分析这类复杂问题的难点在于流体力学、界面动力学、质量传输与化学反应之间的相互作用。实际上，两种不相容流体之间的界面对于能量交换和物质传递起着关键作用[8]、[9]。一方面，在液液萃取系统中，界面处的传质会对化学反应产生显著影响，这种影响源于两相中不同的溶解度所导致的浓度差异[10]、[11]；另一方面，界面处的反应过程也很大程度上取决于液液异质反应中的比表面积和混合程度[12]。界面动力学、质量传输与化学反应之间的耦合作用给数学建模和数值模拟都带来了诸多挑战。

数值模拟已成为研究多相多组分系统的重要工具，应用领域涵盖反应动力学[13]、[14]、[15]、界面传质[16]以及界面化学活性[17]等。通常，用于建模不相容双相流的数学方法可分为两类：尖锐界面法和扩散界面法。在尖锐界面框架下常用的方法有水平集法[18]、[19]、[20]以及流体体积法[21]、[22]，这类方法假设不同相之间的界面厚度为零，所有物理参数和变量在界面处都会发生突变。与尖锐界面法不同，扩散界面法将流体界面视为具有较小但非零厚度的扩散区域，物理参数和变量在该区域内呈平滑变化。作为最流行的扩散界面方法之一，相场法[23]、[24]、[25]被广泛用于研究不相容流体的界面动力学，在该方法中引入一个序参量来标记不同相之间的界面。然而，对于存在界面化学反应的不相容双相流，还需考虑界面传质问题。在流体体积法框架下，Davidson和Rudman[26]首次提出了考虑热质传输的双相流模型，但该模型仅适用于界面两侧物种浓度连续的情况，即无法考虑热力学平衡状态（此时界面两侧浓度是不连续的）。为解决这一局限，Bothe等人[27]基于亨利定律和局部选择性提出了具有浓度跳变的流体体积法，该方法随后被用于描述上升气泡与周围液相之间的反应传质过程[28]、[29]，相比传统方法，其在预测物种选择性方面具有更高的精度。不过在他们的工作中，由于热力学平衡的原因，化学浓度在界面处仍被处理为不连续的。此后，Haroun等人[30]提出了连续介质物种传输法，在该方法中通过使用原始变量，用一个标量方程同时描述两相中的浓度。这种方法虽然能够再现界面处的浓度不连续性，但却无法保持局部扩散通量的连续性。尽管该方法中的标量浓度是连续的，但仍存在从一相到另一相的非物理性泄漏（人工扩散）现象，这会导致浓度无法始终保持正值。为解决这一问题，有人基于流体体积法提出了双标量模型[31]，该模型也提升了界面传质预测的精度。最近，Jain和Mani[32]提出了一种用于描述双相流中不相容标量的新型双标量相场模型。随后，Mirjalili等人[33]进一步发展了基于相场的双标量模型，通过将界面处的诺伊曼边界条件纳入双标量方程，使得该模型既能满足浓度跳变条件，又能自动保持热力学平衡。然而，现有的用于双相流的双标量扩散界面模型[32]、[33]主要是为满足诺伊曼通量边界条件下的界面传输而设计的，无法应用于受罗宾边界条件控制的异质界面反应。

尽管已有不少研究致力于建模界面传质问题，但只有少数数值研究考虑了伴随化学反应的传质或反应性传质现象。实际上，化学反应通常可分为均相反应和异质反应两类。均相反应发生在同一相内（如气体或液体），在这种系统中，反应物、催化剂和产物都处于同一相中，不存在界面传质现象。而异质反应中，反应物分布在不同的相中（如气液、液固或气固），反应则发生在不同相的界面处。例如，考虑图1所示的化学反应A+B→D，其中反应物A（蓝色球体）和B（黄色球体）可溶于水相，而产物D（化合物）可溶于有机相。此时，反应物j的浓度可通过以下公式描述：?C?j?t+u·?C?j=?·(Dj?C?j)；类似地，产物i的浓度可表示为?C?i?t+u·?C?i=?·(Di?C?i)，其中C?j和C?i分别表示反应物和产物的浓度，u为流体速度，Dj和Di分别为反应物和产物的扩散系数。对于异质反应，需要在流体界面处施加以下罗宾边界条件：(Dj?nC?j)·nI=?Sj，(Di?nC?i)·nI=Si，其中nI是指向反应界面的法向量，Sj和Si分别代表反应物和产物的界面通量项，其定义将在2.2节中给出。

作为一种介观数值方法，格子玻尔兹曼方法在模拟具有复杂边界条件和多物理场耦合的流体系统方面具有明显优势，这也促进了其在研究伴随异质反应的传质问题中的应用。例如，Kang等人[34]开发了用于多组分反应传输在多孔介质中的格子玻尔兹曼模型，该模型同时考虑了体相中的均相反应和界面处的异质反应。之后，该模型又通过引入矿物溶解/沉淀过程被扩展用于研究碳封存问题[35]。受到Kang等人[36]工作的启发，Ma等人[37]提出了一种新的非平衡近似方法，用于在格子玻尔兹曼方法中处理异质反应边界条件，不过他们的研究仍局限于单相流动。此后，又有不少基于格子玻尔兹曼方法的研究致力于解决具有传质现象的双相流问题。Zhang等人[38]开发了一种新的相变模型，用于描述传热过程与溶解过程之间的耦合效应，并通过对粗糙裂缝中气液相分离对反应流的影响进行了格子玻尔兹曼研究。Wei等人[39]则为催化加氢系统设计了介观格子玻尔兹曼框架，实现了气液传输与表面反应动力学的完全整合。Tong等人[40]通过对反应边界条件的各种格子玻尔兹曼边界方案进行系统比较，证明在预测曲面边界处的界面传质时，引入局部分布函数矩的方案比半程反弹方案更为准确。最近，Mo等人[41]通过将相场模型与修正后的菲克定律相结合，建立了一个集成框架，用于研究马朗戈尼力驱动的多相反应流，并在相场框架下实现了反应边界条件的处理。

从上述文献综述可以看出，大多数研究主要集中在单相中的均相反应或流体界面处的异质反应上，而且通常需要通过引入某种插值技术来特殊处理反应动力学的边界条件，这不仅给格子玻尔兹曼方法的实现带来困难，还可能破坏系统的守恒定律。为解决这些问题，本研究提出了一种用于具有传质现象的反应性双相流的新型扩散界面方法，该方法将流体界面处的反应边界条件视为质量传输方程中的源项，从而消除了人工泄漏现象。本文的结构如下：第2节首先介绍用于不相容双相流的相场模型，随后提出一种用于伴有界面传质的异质反应的扩散界面模型；第3节阐述用于求解这些模型的格子玻尔兹曼方法；第4节首先通过若干基准问题对格子玻尔兹曼方法进行验证，然后分析异质反应对盖驱动腔体及旋转环形腔体中液滴界面动力学的影响；最后在第5节总结研究成果。

章节片段：

伴有异质反应的双相流的扩散界面模型：本节首先介绍用于双相流的相场模型，该模型包含用于描述界面的守恒型Allen-Cahn方程以及用于描述流场的纳维-斯托克斯方程。随后，我们针对具有异质反应的不相容双相系统，发展出了相应的扩散界面模型。

用于伴有异质反应的不相容双相流的格子玻尔兹曼方法：本节我们将开发一种格子玻尔兹曼方法，用于求解上述用于伴有异质反应的不相容双相流的控制方程[方程(4)、(20)和(21)]。鉴于多松弛时间格子玻尔兹曼方法在数值稳定性和灵活性方面的优势，我们将采用这种更为先进的模型[47]、[48]、[49]。需要指出的是，相场格子玻尔兹曼方法已被广泛用于研究多相流[50]、[51]，此处采用的模型与我们之前的模型类似。

数值模拟：为验证所提出的用于伴有异质反应的不相容双相流的扩散界面模型及多松弛时间格子玻尔兹曼方法，我们首先进行了若干基准测试，对于每个案例，都将数值结果与解析解或以往研究中的现有数据进行了对比。之后，我们进一步研究了化学反应对盖驱动腔体中的单个液滴以及旋转环形腔体中多个液滴的影响。在后续的数值模拟中，

结论：本文提出了一种用于伴有流体界面异质反应的不相容双相流的扩散界面模型，该模型通过从反应物和产物浓度的对流-扩散方程弱形式中导出的某些通量项和源项，实现了反应动力学与界面传质之间的耦合。该模型具有两个显著特点：其一，它能够处理运动界面处的异质反应，且

CRediT作者贡献声明：Baihui Chen：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，形式分析，数据整理，概念构建。Chengjie Zhan：写作——审阅与编辑，方法论，概念构建。柴振华：写作——审稿与编辑、项目监督、资金筹措、概念规划。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所汇报工作的已知财务利益或个人关系。陈柏辉|詹成杰|柴振华