基于移位勒让德多项式方法的分数阶粘弹性夹层板时域分析

《Journal of Computational Physics》：Time-domain analysis of fractional-order viscoelastic sandwich plates via shifted Legendre polynomial approach

　　摘要：本研究旨在探讨三维分数阶粘弹性夹层板的动态特性。基于分数阶Kelvin–Voigt本构关系，推导出了包含空间变量（x、y、z）和时间变量t的控制方程，并引入移位勒让德多项式方法进行数值近似。该方法能够同时描述弹性层与粘弹性层的力学性能，从而揭示整体位移场的演变规律。本研究的主要创新点如下：首先，首次提出了粘弹性夹层板统一的时间域解法，实现了多层耦合系统的集成建模与分析；其次，在数值算例中，对三层结构施加分段外部载荷，尽管弹性层与粘弹性层所受载荷条件不同，但其位移解在界面处仍保持连续性。此外，还通过与精确解的对比，验证了该方法在处理复杂分层结构时的误差控制能力；最后，通过实际算例研究了在均匀体力作用下单层弹性层与粘弹性层的差异响应。该算法在分数阶粘弹性夹层板的动态分析中展现出显著优势，为分层复合结构的数值模拟与工程应用提供了新思路。

引言：近年来，分数阶微积分逐渐成为多个学科的研究热点，在工程与科学计算领域具有广阔的应用前景。与传统的整数阶微积分相比，分数阶理论为描述材料与系统中普遍存在的记忆效应、遗传现象以及时间依赖性行为提供了更为灵活且精确的框架。特别是在粘弹性材料的动态分析中，分数阶模型相较于整数阶模型具有更强的适应性与描述能力，其优势主要体现在分数阶导数的灵活性上——分数阶导数可以取实值、复值甚至变阶值，从而有效克服传统整数阶模型的局限性。在粘弹性建模中，当分数阶介于0与1之间时，能够更准确捕捉从纯弹性行为到纯粘性行为之间的过渡特征。大量实验结果也已证实了这些优势。分数阶建模的优越性不仅体现在粘弹性研究领域，其在解决复杂动力学问题及多物理场耦合设计方面也展现出巨大应用潜力。在力学领域，Shitikova等人[1]综述了分数阶微积分在固体力学动态问题中的应用，研究了如何利用分数阶导数描述结构在动载荷作用下的阻尼与记忆效应，为工程结构的动态分析提供了新的视角与方法。Chinnaboon等人[2]基于分数阶基础模型建立了各向异性板体的理论框架，该模型能够反映基础的频率依赖性及记忆耗散特性，引入分数阶导数后显著提升了粘弹性响应预测的精度，他们的研究凸显了分数阶微积分在捕捉复杂响应特征及拓展结构建模方法方面的重要作用。

由于兼具粘性与弹性特性，粘弹性材料近年来在力学与材料科学领域受到了广泛关注。Geiger等人[3]提出了一种基于粘弹性理论的多尺度壳体建模方法，并运用人工神经网络构建了粘弹性行为的替代模型，他们的研究强调了粘弹性材料在复杂结构建模中的应用价值。Ferri等人[4]针对可变形粘弹性梁，基于广义Maxwell模型提出了一种适用于剪切变形粘弹性梁的几何分析方法，研究结果表明粘弹性材料在复杂结构构件建模及其工程应用中具有重要价值。与传统方法相比，分数阶模型具有更高的灵活性，能够更准确地表征材料的真实响应特性，且在拟合实验数据方面表现出较强的适应性。此外，由于分数阶模型的非局部特性，其在处理存在记忆效应与多尺度耦合的复杂系统方面具有独特优势[5]。Sun等人[6]将分数阶微积分引入板体粘弹性建模，采用分数阶Kelvin–Voigt公式，通过移位勒让德多项式展开构建算子矩阵，将三变量控制方程转化为时间域内的可解代数形式，该工作体现了分数阶理论在准确捕捉粘弹性材料固有的遗传效应与阻尼行为方面的能力。Wang等人[7]基于移位切比雪夫多项式建立了分数阶粘弹性分析的时空数值框架，通过构建分数阶微分算子矩阵并运用配置法，将控制方程高效离散为代数系统，其研究证明了分数阶微积分在模拟聚合物基粘弹性结构复杂时间依赖响应方面的有效性。Hao等人[8]建立了轴向运动下的变阶粘弹性板模型，给出了三变量控制方程，并进行了时间域动态分析，他们采用移位正交多项式算法系统评估了变阶参数、运动速度及边界条件对振动的影响，同时通过数值算例验证了该算法的稳定性与准确性，表明分数阶模型在描述不同条件下的蠕变与松弛行为方面优于整数阶模型，且无需依赖单一耗散机制。夹层板作为一种常见的结构形式，广泛应用于机械工程、土木工程、航空航天及能源设备领域，如层压复合板、夹层板、基础底板及各类承重板。随着工程结构向智能化、轻量化及多功能化发展，忽略厚度效应的传统二维板体理论已无法满足高精度建模的需求，而三维夹层板模型则能更有效地描述材料性能的分布及强耦合的结构响应[9]。

由于粘弹性材料具有明显的时间依赖性及能量耗散能力，将其纳入结构设计中可以更真实地描述外载荷作用下的应力传递与变形演化过程，从而提升结构耐久性并延缓疲劳破坏的发生[10]。Song等人[11]结合扩展Rayleigh–Ritz法、惩罚函数法及微分求积法，研究了含粘弹性芯材的夹层板在动载荷作用下的动态响应，系统分析了结构参数与边界条件对振动控制性能的影响，证明了粘弹性材料在抑制三维夹层结构振动方面的潜力。Joseph和Mohanty[12]基于一阶剪切变形理论，建立了有限元模型，研究了含有粘弹性层与功能梯度约束层的三层夹层板的自由振动及参数不稳定性，其研究揭示了不同厚度结构中粘弹性材料的振动特性与能量耗散效应。作为一类重要的复合结构，夹层板广泛应用于交通运输、船舶制造、建筑结构及航空航天领域，如风力涡轮机叶片、飞机机翼、汽车车身及高速列车车底。与传统无法考虑厚度效应的二维单层板以及质量过大的三维单层板相比，夹层板凭借其重量轻、强度高以及优异的隔热与减震性能，能够在保持整体承载能力的同时降低结构重量，因此已成为当代结构设计研究中的重要课题[13]。在此基础上，将粘弹性材料作为芯层不仅能够有效实现能量耗散与振动抑制，还能更真实地描述结构的时变变形特性，进一步提升夹层板的动态性能与服务可靠性[14]。Ji等人[15]基于谱配置法与层合板理论，研究了含粘弹性芯材的夹层板的自由振动，通过频域内的理论建模与实验验证，确认了粘弹性模型的有效性，并揭示了芯材厚度与材料参数对固有频率及损耗因数的影响，证明了粘弹性夹层板在振动能量耗散及提升结构可靠性方面的优势。Wang等人[16]基于分层广义高阶剪切变形理论及声学-结构耦合模型，研究了有限尺寸约束层阻尼板在低频与中频段的隔声性能，其研究揭示了粘弹性芯材对声音传输损失曲线下限的降低作用，阐明了振动能量耗散的机制，凸显了粘弹性结构在提升隔声性能与噪声控制方面的重要作用。

本研究首次将基于勒让德多项式的数值算法应用于三维粘弹性夹层板的时间域分析。与传统频域分析方法相比，时间域分析能够更直接地捕捉外载荷作用下的位移与应力演化过程，更适合用于描述粘弹性材料的蠕变与松弛行为。勒让德多项式方法可实现全局高精度近似，不仅提升了计算效率与稳定性，还具备出色的可扩展性，非常适合用于求解复杂的多元耦合结构系统。本研究的创新之处在于，以往研究主要聚焦于简化的二维或三维板体，而本文首次对全三维粘弹性夹层板在时间域内进行了统一建模与数值求解，避免了降维近似。与现有研究相比，本研究的研究对象更为复杂，所提出的粘弹性夹层板模型由三层材料构成，同时涉及三个方向的位移分量，由此形成了三组耦合的分数阶偏微分方程组。随着层数与未知函数数量的增加，边界条件与初始条件也变得更加繁多，导致方程组的耦合程度显著提高，变量规模与约束条件的复杂性也随之大幅提升，给数值求解带来了更大挑战。在本研究中，这些控制方程及相关条件通过勒让德多项式展开实现统一离散，所得到的代数系统规模庞大，矩阵耦合度较高，结构更为复杂。与传统的单层板问题或仅由单一方程控制的系统相比，当前框架对数值方法的稳定性、计算效率及内存容量提出了更高要求，而目前多数研究仍集中在更为简化的单变量模型上[17]、[18]、[19]。

本研究的主要贡献有三方面。首先，建立了分数阶粘弹性夹层板的完整三维时间域控制模型，避免了降维公式所固有的近似误差。其次，开发了基于移位勒让德多项式的统一时空谱离散方法，能够同时对弹性面层与粘弹性芯材进行统一处理，同时自然保持界面连续性。第三，通过严格的收敛性分析以及大量的数值验证，证明了所提方法在处理异质多层材料时的高精度与高稳定性，为大规模三维分数阶粘弹性结构问题提供了有效的分析框架。本文的其余部分安排如下：第2节介绍分数阶微积分的相关概念与基本性质；第3节建立三维粘弹性夹层板的控制方程；第4节阐述基于移位勒让德多项式的数值离散策略；第5节讨论所提算法的收敛性；第6节通过数值算例验证方法的准确性，并比较弹性层与粘弹性层的误差表现；第7节进一步分析实际场景中不同载荷与材料参数下的动态响应；最后，第8节总结全文并展望未来研究方向。这些基本概念和初步推导为后续建立控制方程的理论框架奠定了基础。本章将构建粘弹性夹层板的分数阶控制方程。在上一章中，已经介绍了分数导数的定义以及分数阶Kelvin–Voigt本构关系，这为描述粘弹性材料的时间依赖行为提供了理论基础。基于这些数学工具，本章进一步发展了受体力作用的三维粘弹性夹层板的控制方程体系。通过引入应变-位移关系以及广义的移位勒让德多项式算法，解决了方程组之间的强耦合问题以及未知数众多的难题。

在上一章中，已经推导出了三维分数阶粘弹性夹层板的控制方程。但由于方程组之间存在强耦合关系，且涉及多个未知数，因此很难直接得到解析解。为了解决这个问题，本章采用了基于移位勒让德多项式的数值离散化方法，对空间和时间域中的控制方程进行展开和近似处理。

在上一章中，提出了一种基于勒让德多项式的数值算法，用于求解三维分数阶粘弹性夹层板的控制方程。本章将进一步研究该算法的收敛性，验证其理论合理性和近似性能，从而为后续的数值算例实现奠定理论基础。本节将探讨勒让德多项式方法的收敛性。

在上一章中，已经从理论上证明了该算法的收敛性。为了进一步检验其稳定性及应用潜力，本节首先确定了一个满足边界条件的解析解，然后引入若干非物理参数，构建出一组与方程(12)–(14)形式上类似的测试方程。接着使用移位勒让德多项式算法求解这些方程，并将得到的结果与实际值进行比较。

在上一章中，通过数值算例验证了所提算法的准确性。为了进一步评估该方法在更复杂的材料系统中的应用前景，本章对一种夹层板进行了数值模拟分析。该夹层板的总厚度为0.5米，上下两侧为高刚度弹性面层，中间为低刚度的粘弹性核心层，其长度和宽度均为1米。通过分析其几何结构和材料特性，研究了该结构在不同载荷作用下的响应行为。

本文首次实现了对由弹性-粘弹性-弹性三层结构构成的三维分数阶粘弹性夹层板控制方程在时间域内的直接求解。通过运用移位勒让德多项式算法，得到了x、y、z方向上位移的近似解。主要结论如下：1. 所提出的算法能够准确捕捉粘弹性材料的位移响应。

作者贡献声明：马玉轩：撰写——初稿；余春晓：撰写——审阅与编辑，指导；陈一鸣：撰写——审阅与编辑，指导；刘大岩：撰写——审阅与编辑，指导；Brady Manescau：撰写——审阅与编辑，指导。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

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