Justh–Krishnaprasad模型中实现非群集行为的功能性方法

《Journal of Differential Equations》：A functional approach for non-flocking in the Justh–Krishnaprasad model

　　摘要：我们研究了具有单位速度的自推进粒子的Justh–Krishnaprasad（JK）模型的涌现动力学。该模型通过位置依赖的相互作用来实现方向对齐，同时介于Cucker–Smale的群集模型与Kuramoto的同步模型之间。以往的研究主要关注从初始数据充分分离的情况下多簇群集状态的涌现与稳定性，而我们则给出了一个条件：在未预先指定簇划分的空间混合初始配置下，不会出现群集现象。我们还为一般的单位速度轨迹构建了李雅普诺夫型泛函，并推导出可用于检测长距离分离的仿射渐近展开式及下界。进而我们表明，每个粒子都存在投影〈xi(t),vi(t)〉?t的有限极限，若该极限值相对于初始时刻在平均速度方向上的投影足够大，则不会出现渐近群集现象。

引言：集体动力学在生物和工程领域的自组织系统中普遍存在，例如萤火虫的同步现象[3]、[21]，细菌的群体移动[18]以及鸟群的飞行行为[6]。这些有序现象通常通过包含内部变量——相位、频率、方向角和速度——之间的二元耦合项的相互作用粒子系统来建模，而这些系统的信息是不完全的或局部的[1]、[2]、[5]、[17]、[19]。为模拟这类集体动力学，文献中提出了多种数学模型。其中，我们感兴趣的是两个典型模型：用于速度对齐的Cucker–Smale（CS）模型[6]，以及用于相位和频率同步的Kuramoto模型[15]。

在本研究中，我们聚焦于控制理论中的Justh–Krishnaprasad（JK）模型，它可视为连接上述两种模型的混合模型。该模型描述了在特殊欧几里得群SE(2)上运动的单位速度自推进粒子[14]。首先简要介绍JK模型：设xi∈R2和θi∈S1分别为第i个粒子的位置和方向角，假设其以单位速度运动，其运动方程为：{x˙i=(cos?θi,sin?θi),i∈[N]:={1,…,N},θ˙i=1N∑j=1Nψ(‖xj?xi‖)sin?(θj?θi),(xi,θi)|t=0+=(xi0,θi0)，其中ψ:[0,∞)→(0,∞)是一个局部利普希茨连续的通信权重，满足ψ(r)>0（r≥0），且(ψ(r1)?ψ(r2))(r1?r2)≤0（r1,r2≥0）。JK模型（1.1）处于统计物理和控制理论中多种模型的交叉点上。JK模型[12]、[13]、[14]与确定性Vicsek模型[20]之间的关系已经得到明确阐述。向列型JK模型通过用sin?(2(θj?θi))替代sin?(θj?θi)来体现头尾对称性；其动力学极限会根据耦合与噪声的比值在无序状态和有序状态之间切换[10]。特别地，通过在对速度施加单位速度约束并将CS模型中的对齐力投影到法向方向上，系统（1.1）可以从CS动力学中得到，此时相互作用是通过曲率控制而非加速度来实现的。当所有粒子之间的通信权重ψ≡1时，方向角的动力学行为就简化为均匀的Kuramoto模型。因此，该模型结合了SE(2)上单位速度运动的几何结构与距离依赖的对齐耦合机制，不仅在生物集体动力学的建模中有所应用，也被用于自主车辆的协调控制[7]、[8]、[12]、[13]、[16]。从集体动力学的视角出发，自然会提出这样一个简单问题：“何时方程（1.1）的解会出现非群集行为？也就是说，在何种条件下可以判定出现非群集现象的情况？”接下来我们定义（单簇）群集现象：定义1.1 设Z={(xi,θi)}i=1N是方程（1.1）的一个全局解，若满足supt≥0?maxi,j∈[N]?‖xi(t)?xj(t)‖<∞且limt→∞?maxi,j∈[N]?|θi(t)?θj(t)|=0，则称Z表现出（单簇）群集行为。需要注意的是，先前的研究[9]指出，当初始相位直径严格小于π且通信权重ψ具有足够重的尾部（或无限大的质量）时，方程（1.1）会出现单簇群集现象；后续研究则确定了在接近分离状态时出现双簇群集现象的条件[4]。特别是，命题2.2表明，在JK动力学作用下，近似的双簇群集状态仍可发展为真正的双簇群集状态。然而，上述结果对于以下情况仍未给出答案：即“空间混合的初始配置加上短距离通信”下的群集现象。图1展示了两种典型的初始配置，我们的主要贡献针对的是图1(B)中的混合初始配置。

在本文中，我们提出了在短距离且配置混合的情况下不会出现群集现象的情形。我们没有直接构建多簇解决方案，而是采用了另一种思路：我们为每个粒子确定了用于控制〈xi(t),vi(t)〉?t渐近行为的李雅普诺夫型量，並证明在适当假设下，这些量能够排除群集现象的出现。从分析角度而言，当不同群体的空间分布高度交织时，控制簇内对齐作用与簇间相互作用之间的竞争是主要难点。在空间混合的初始配置中，与接近双簇的状态不同，人们无法预先指定簇的划分方式。为克服这一困难，我们利用单位速度约束所带来的几何结构，分析每个粒子偏离线性轨迹的程度。

接下来我们总结主要研究成果。首先，假设初始方向角直径小于π，然后我们证明每个方向角θi(t)都存在一个极限值θi∞∈R。此外，对于任意一对粒子(i,j)，我们证明要么它们的空间距离会逐渐增大，即‖xi(t)?xj(t)‖→∞，要么在极限状态下它们的方向角会趋于一致，即θi∞=θj∞（命题3.1）。因此，任意两个粒子最终要么趋于对齐，要么趋于分离。作为一个具体示例，对于由两个粒子构成的系统（N=2），我们给出了一个充分必要条件，用于判断粒子是会趋于对齐而不分离、趋于分离而不对齐，还是会出现同时对齐和分离的特殊情况。特别是，导致同时对齐和分离的初始数据在相空间中构成一个测度为零的超曲面（见定理4.1）。对于一般的C1类单位速度轨迹x:[0,∞)→Rd，其速度为v=x˙，我们引入函数L(t)=‖x(t)‖2t+α?(t+α)，并证明该函数是单调递减的，且反映了x(t)偏离具有极限速度v∞的线性轨迹的程度（命题5.1）。在假设加速度v˙具有适度衰减特性的前提下，我们证明了存在仿射渐近线x(t)=tv∞+x∞+o(1)，并给出了L(t)极限值的显式表达式。

通过结合这个李雅普诺夫泛函以及下界机制（命题5.2），我们证明了只要任意两个趋于对齐的粒子之间的相对距离保持有界，就不会出现单簇群集现象（定理6.1）。具体而言，极限值αi=limt→∞?(〈xi(t),vi(t)〉?t)，?i∈[N]始终存在，如果maxi∈[N]?(αi?〈xi0,vˉ〉)>0，其中vˉ:=(cos?θˉ,sin?θˉ)，θˉ:=1N∑j=1Nθj0，那么就不会出现渐近群集现象。需要说明的是，这一条件并不要求初始位置必须在空间上相互分离（见图1(B)）。我们还针对具有快速衰减交互核的空间混合初始数据进行了数值模拟，结果表明在给定条件下，这些粒子无法形成单一的群集结构。

本文的其余部分结构如下：第2节回顾JK模型的基本结构特性以及以往的相关研究成果；第3节证明了方向角极限的存在以及对齐与分离的二分性（命题3.1）；第4节对两粒子系统进行了详细分析（定理4.1）；第5节建立了单位速度轨迹的局部李雅普诺夫泛函框架，并证明了其单调性与渐近行为（命题5.1），同时还给出了用于确定轨迹对之间分离程度的下界机制（命题5.2及推论5.2）；第6节将该框架应用于具有短距离通信的JK模型，得出了不存在渐近群集现象的充分条件（定理6.1）；第7节通过数值模拟展示了混合初始配置和短距离条件下理论结果的合理性；最后第8节简要总结了我们的主要发现，并提出了未来研究的若干方向。附录A和附录B分别给出了命题5.1和引理6.3的证明。

符号说明：对于自然数M，记[M]:={1,…,M}。粒子的数量用N表示。对于向量x,y,z∈R2，‖z‖表示其欧几里得长度，〈x,y〉表示R2上的标准内积。范数‖?‖Lp则表示函数的Lp范数。对于配置X={xi}i=1N和Θ={θi}i=1N，我们定义直径泛函D(X):=maxi,j∈[N]?‖xi?xj‖，D(Θ):=maxi,j∈[N]?|θi?θj|。初始状态用上标0表示（例如xi0,X0,D(X0)）。我们用zi:=(xi,θi)，Z:=(X,Θ)表示粒子及其整体配置，用x˙i=:vi表示粒子的速度。根据上下文，“第i个粒子”可能指zi或xi。我们还使用了以下简洁符号：R+:=[0,∞)，R:=(?∞,∞)。

章节要点：
初步介绍：本节首先回顾JK模型（1.1）的基本性质，并总结以往关于其涌现动力学的研究成果。
方向角的渐近行为：本节研究方向角的渐近行为，阐述了方程（1.1）的渐近行为会在速度对齐与空间分离之间呈现二分性。为此，我们首先回顾了共识型模型的一般结论。
两粒子系统：本节给出了两粒子系统的显式渐近动力学表达式。通过选择合适的相位分支切割，可以进一步阐释命题3.1中所阐述的二分性。
单粒子情形：在本节中，我们在研究JK模型之前，先分析了具有单位速度和渐近速度的单粒子的渐近动力学行为。
渐近群集现象的不存在性：本节提出了一个能够说明JK模型中不会出现群集现象的充分理论框架。根据定理4.1，只有当初始数据位于测度为零的临界超曲面S上时，两粒子系统才可能出现分离与速度对齐同时发生的现象，这说明同时对齐与分离是一种特殊的边界现象而非普遍行为。
数值模拟：本节通过数值模拟验证了定理6.1的预测，即具有短距离通信和混合初始数据的JK模型中不会出现渐近群集现象。我们采用了经典的四阶龙格-库塔方法进行数值计算，所使用的通信权重函数ψ(x)=(1+x4)?1满足一定的条件，使得相关推导成立。
结论：在本文中，我们研究了具有位置依赖相互作用和单位速度约束的Justh–Krishnaprasad（JK）模型的渐近行为。在初始方向角直径严格小于π的假设下，我们首先证明了这样一个二分性：即从长时间趋势来看，任意两个粒子要么在方向角上趋于对齐，要么在空间上趋于分离（见命题3.1）。对于两粒子系统，我们还得到了关于两者之间竞争关系的精确描述。