跳跃扩散模型大偏差泛函的随机控制方法

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Stochastic control approach to large deviation functional for jump-diffusion models

　　摘要：本文提出了一种针对跳跃扩散过程的大偏差泛函的随机控制方法，拓展了现有文献中关于扩散过程的研究成果。跳跃所带来的重要新特征包括：相关的随机控制问题可转化为具有遍历成本准则的随机合作博弈，且相关HJB方程的解通常为非光滑函数，因此需要运用粘性解方法。文中还阐述了如何将指数型终值问题转化为上述框架。

引言：对于在度量空间S中取值的过程{Xt,t≥0}，大偏差理论中一个重要的泛函如下：Λ(l)?limT→∞?1Tlog?E[exp?(∫0Tl(Xs)ds)]，其中l是S上的某个（有界连续）函数。这类泛函在诸多领域都有重要应用。例如，在分析学中它与渐近拉普拉斯积分密切相关，在统计物理中与配分函数相关，在随机控制中与遍历风险敏感价值相关，而在费曼-卡茨半群算子的特征值研究中也有应用，参见[20]、[23]、[25]、[26]及其中的参考文献。金融领域出现的另一类问题则是如何评估大时间T时的预期终值ΓT=Eexp?(XT)。如果财富过程的动态由某个随机微分方程控制，可通过鞅方法结合测度变换技术，将ΓT转化为ΓT=E?[exp?(∫0Tl(Xs)ds)]的形式，参见[51]、[39]、[46]。因此，计算方程(1)的结果将有助于求解ΓT。通常，Λ(l)可以通过基于经验均值Mt或经验法则Lt的大偏差率泛函以变分形式表示，其中Mt?1t∫0tl(Xs)ds，Lt?1t∫0tδXsds，这里的δx是以x为中心的狄拉克测度。例如，如果Xt是一个马尔可夫过程，且其经验法则Lt满足具有率函数I的大偏差原理，那么Λ(l)=supμ∈M1(S)?[μ(l)?I(μ)]，此处M1(S)是S上所有概率测度的空间，μ(l)=∫ldμ，参见[21]、[22]、[24]。然而，这种变分形式通常不便于计算Λ(l)，因为大偏差率函数往往没有显式表达式，即便以变分形式呈现也是如此。在[31]和[25]中，人们首次提出了利用随机控制方法处理这一问题的重要思路，使得可以运用动态规划、价值迭代以及随机控制中的其他典型方法来估算Λ(l)。本文主要沿袭[31]中的方法，也可参考[32]、[29]、[30]。随机控制，尤其是在连续时间场景下，已被广泛研究数十年。最经典的框架涉及具有多种研究方向的扩散模型随机控制，有关受控扩散及若干经典准则的基础介绍可见[48]、[5]、[42]、[47]、[61]、[14]、[36]；关于切换扩散的最优控制可参见[35]、[54]、[15]、[44]；部分观测下的状态切换扩散研究见[27]；带有延迟的切换系统随机最优控制问题可参考[1]等。在Fleming的[31]、[32]、[29]、[30]中，不受控的大偏差问题被转化为随机控制问题，而受控的大偏差问题则被转化为具有遍历成本准则（单位时间的期望平均成本）的随机博弈。研究表明，这些转化后的控制问题的解确实能够刻画原始的大偏差泛函。近期，出于理论兴趣和应用需求，相关研究逐渐扩展到可能存在不连续状态或不连续路径的过程。本文主要研究在金融和保险领域，尤其是期权定价、风险管理以及灾难损失保险定价中起着重要作用的跳跃扩散模型。一般来说，受控跳跃扩散过程由随机微分方程dYt=b(Yt,At)dt+σ(Yt,At)dBt+∫R?{0}F(Yt,At,z)N?(dz,dt)控制，初始状态为Y0=y，其中Bt是布朗运动，N?(dz,dt)是具有强度测度ν(dz)的补偿泊松随机测度。为简化符号，此处仅考虑一维情况。关于跳跃扩散在现金流和最小化风险期权定价中的应用实例，可见[45]、[37]；在最优消费与投资以及风险控制中的应用可见[56]、[55]；关于跳跃扩散随机控制的经典理论，可参见[49]、[34]。[4]和[6]分别研究了跳跃扩散的风险敏感控制与遍历控制，而[7]探讨了几乎必然的路径最优控制问题。切换型跳跃扩散模型则由[60]、[45]、[62]、[58]进行研究。本文在[32]的基础上，将研究范围扩展到跳跃扩散场景。尽管已有部分关于控制表示的研究成果（如[40]、[17]），但据我们所知，现有文献尚未涉及此类扩展。正如我们后续研究将看到的，由于跳跃的存在，无论是受控还是不受控情形下的问题都会变得更为复杂，因此我们需要对跳跃进行约束才能使该方法有效。虽然我们的框架在结构上与Fleming的方法有些相似，但在受限的特殊情况下仍存在本质差异。其中一个差异在于，我们将不受控的大偏差问题重新表述为具有两个相互独立控制的随机控制问题——一个由扩散部分产生，另一个由跳跃部分产生。这两个控制过程都旨在最大化（或最小化）一个共同的目标泛函，从而构成一个具有遍历成本准则的合作型随机微分博弈，详见我们的定理2。另一个需要指出的差异在于相关的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程。如[53]、[57]及其他文献所述，HJB方程是随机控制中的核心分析工具。虽然扩散模型会导出二阶非线性椭圆型或抛物型偏微分方程，这些方程已由[28]、[38]、[41]进行了深入研究，但跳跃扩散模型则引入了一个额外的非局部项I(Φ)(y)=∫[Φ(y+F(y,a,z))?Φ(y)??Φ(y)?F(y,a,z)]ν(dz)，这会大幅增加分析的复杂性，详见方程(20)。该非局部算子可能会影响解的光滑性，因此需要运用Lions[19]最初提出的粘性解理论来处理非光滑解。近年来，粘性解在随机控制中得到了广泛应用。粘性解的基本理论可见[18]、[33]，关于非局部偏微分方程和积分微分方程的内容也可参见[2]、[12]、[13]、[47]。关于包含跳跃的随机控制问题的基础理论可见[49]、[50]、[9]、[10]，最新研究成果可见[11]。至于解的稳定性问题，可参考[19]、[43]、[60]。最后，我们阐明本文结果与现有文献中一些成果之间的关系，以此作为引言的结尾。在我们的研究中，变分公式(9)起着至关重要的作用：它使得我们可以用受控跳跃扩散来为λ提供变分表示。类似的变分公式也出现在[16]中，但那是针对某些随机测度的泛函，正如[16]所示，它在推导大偏差原理时具有重要意义。其次，[52]研究了跳跃扩散的加性泛函大偏差问题，主要是在反射过程的背景下进行的。他们的分析基于对相关积分微分方程的解析处理，重点关注边界效应和谱性质，最终将加性过程的极限对数矩生成函数确定为与其特征函数对应的二阶线性算子的特征值。但只有在某些特殊情况下，该特征值的显式形式才是已知的。本文采用的方法在本质上有所不同：我们基于凸对偶性推导出一种变分表示，由此得到一个包含非局部指数项的非线性哈密顿-雅可比方程。这种表示揭示了一种在上述解析框架中并不明显的固有控制结构。第三，扩散过程的风险敏感控制问题已被广泛研究，例如在[4]中，通过遍历哈密顿-雅可比-贝尔曼方程来描述过程的长期增长率。本文可视为将这一视角扩展到含有跳跃成分的系统。但由于跳跃的存在，研究面临巨大困难，需要有效处理跳跃带来的非局部效应。我们采用了合适的凸对偶形式，从而得到了一个合作型控制结构。总体而言，本文的贡献在于为源自跳跃扩散动力学的某类非线性非局部算子所对应的特征值提供了解析表征，从而架起了遍历控制表示与非局部哈密顿-雅可比方程之间的桥梁。本文的结构如下：第2节我们正式给出随机控制表示公式，第3节给出证明；为保持逻辑连贯性，两个技术性引理的详细证明推迟到第4节；最后，第5节探讨指数型终值函数(2)的转化问题。