用于电磁散射计算的守恒通量物理引导神经网络

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Flux-conserved physics-informed neural networks for electromagnetic scattering computation

　　摘要：电磁场建模在遥感与目标检测中具有重要意义，但在存在异质界面、多种材料参数、各向异性介质以及多维场耦合的情况下，仍难以获得精确解。本文提出了一种基于通量守恒的物理信息神经网络框架，该框架结合了域分解方法、受离散伽辽金法启发的残差形式以及基于数值通量的界面耦合机制。在界面处采用Roe数值通量作为特定的迎风型通量，以促进子域间物理上一致的信息传递。此外，还引入了硬边界约束、联合输入输出归一化、基于梯度归一化的自适应损失平衡，以及两阶段自适应矩估计与有限记忆Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno优化策略，以提高训练的稳定性和精度。该框架在四个固定基准测试模型上进行了验证：一维双参数时域分层模型、一维频域各向异性模型、三维时域模型以及三维频域各向异性模型。在所有测试配置中，其预测结果与离散伽辽金法和有限元法的参考解高度吻合，最大相对场误差低于5%，且相比所用参考离散化方法，残差子元素数量减少了约50%。在所测试的一维基准模型中，该框架需要大约500秒的离线训练时间，但在经过约536次迭代后便展现出计算优势。与传统、保守型及扩展型物理信息神经网络相比，该框架在界面一致性和收敛稳定性方面均有提升。这些结果证明了所提框架在所研究配置下用于正演电磁场预测的有效性，而将其推广到未知参数、频率和几何结构，以及用于参数化和逆向建模，则需未来进一步研究。

引言：电磁散射计算是计算电磁学的核心内容，广泛应用于诸多关键领域，包括新型超材料设计、地球物理资源勘探、雷达目标识别与隐身技术、遥感与地球观测、现代通信与无线网络，以及医学电磁成像等（Chen等人，2016；Fung和Chen，2010；Hassan和El-Shenawee，2011；Knott等人，1985；Yang等人，2019）。为满足这些应用中对精度、效率及稳健性的日益严格要求，人们开发出了众多数值方法并将其作为基础工具。其中，由于概念简单且具备捕捉宽频带电磁响应的能力，时域有限差分法被广泛采用（Teixeira等人，2023）。有限元法则在模拟复杂几何形状和非均匀介质方面具有显著灵活性（Key和Weiss，2006）。作为一种精确的数值方法（Chen和Liu，2013；Hesthaven和Warburton，2008），离散伽辽金时域法有效地结合了有限元法的几何适应性以及有限体积法基于通量的显式时间步进优势。通过引入数值通量，该方法能够自然处理解的不连续性，并在模拟复杂多尺度电磁问题方面表现出强大能力（Tobón等人，2015）。然而，在处理高级应用中的复杂介质以及高频或宽频场景所带来的挑战时，传统数值方法仍存在诸多局限，如“维度灾难”、不断上升的计算成本，以及精度与效率之间的权衡。在太赫兹探测（Nagatsuma等人，2016）和集成光子器件设计（Bogaerts等人，2020）等高频宽频场景中，往往需要极其精细的空间离散化，这不仅加剧了与维度相关的难题，还会导致计算成本和内存需求大幅增加（Hesthaven等人，2016）。此外，模拟电学各向异性、空间色散或强非线性层状复合材料等复杂介质时，其本构关系极为复杂，会在控制方程中引入陡峭的梯度和不连续性，从而影响基于网格的求解器的稳定性和收敛性（Monk，2003）。在多物理场耦合分析（Benner等人，2021）或跨时域/频域协同仿真中，这一问题尤为突出，因为传统方法通常依赖不同的公式和离散化策略，从而导致实现过程繁琐且计算开销巨大。近年来，人工智能的兴起为科学计算带来了范式转变的机会（Cuomo等人，2022）。其中，物理信息神经网络作为一种代表性方法，通过将控制方程和边界条件作为软约束嵌入损失函数中，即便在几乎没有标记数据的情况下也能解决正问题和逆问题（Sukumar和Srivastava，2022）。它们在流体力学（Cai等人，2021）、固体力学（Haghighat等人，2021）以及电磁学（Wu等人，2025）等领域展现了巨大潜力。由于其无需构建网格，不仅避免了传统网格生成带来的困难，而且在处理高维问题时也更具优势。不过，将标准物理信息神经网络应用于电磁散射问题，尤其是那些涉及高对比度界面或守恒律要求的场景时，会暴露出若干固有缺陷：其一，损失函数内的多任务竞争会导致梯度幅值出现显著差异，引发梯度病态问题，进而阻碍向物理上可行的解的收敛（Wang等人，2021）；其二，传统物理信息神经网络仅依赖偏微分方程约束，难以严格保证物理量在局域和全局上的守恒性（McClenny和Braga-Neto，2023）；其三，在复杂介质的界面处，这类网络难以自动满足电磁通量连续性，容易产生非物理性的振荡现象（Sarma等人，2024）。为解决标准物理信息神经网络存在的上述问题，人们开发出了多种先进架构，每种架构都针对特定的缺陷进行优化。保守型物理信息神经网络率先采用了域分解方法来增强局部守恒特性，该方法在预定义的子域内使用独立的神经网络，并引入额外的损失项以强制满足界面通量连续性，从而提高具有不连续或异质特征问题的求解精度。在此基础上，扩展型物理信息神经网络提供了一种更为通用的域分解框架，它能够更灵活地处理复杂几何结构，并允许在不同子域采用不同的网络架构，以便更好地匹配局部解的特性。与此同时，另一重要研究方向则是从偏微分方程的强形式转向弱形式。变分物理信息神经网络通过利用变分原理降低了解的平滑度要求，这对于规则性较低的问题而言具有优势。这一方法后来通过hp-VPINNs框架得到了进一步改进，该框架融入了hp有限元方法的理念。具体而言，hp-VPINNs采用高阶多项式测试函数，同时支持在网格（h-精化）和多项式阶数（p-精化）两方面进行自适应优化，从而提升了更多类型问题的求解效率和精度。不过，这类方法尚未完全融合计算电磁学中成熟的数值通量理论。在此背景下，将数值分析中的严谨离散化方案与物理信息神经网络的灵活建模能力相结合，逐渐成为一项新的研究方向。早期研究尝试将谱方法（Kharazmi等人，2021）和低维离散化概念（Sharma和Shankar，2022）引入电磁问题中，初步展示了这种整合方法的潜力。最近，将神经网络与经典数值离散化方法相结合的研究越来越受到关注。例如，采用离散伽辽金有限元方法训练的物理信息神经网络将离散伽辽金有限元思想引入到物理信息神经网络的训练过程中，为将神经网络近似方法与稳定的数值残差评估相结合提供了可能（Grekas等人，2025）。同时，基于物理信息神经网络的方法也被应用于电磁分析、瞬态电磁建模、光子纳米结构的参数反演以及三维电磁散射问题研究（Chen和Dal Negro，2022；Khan和Lowther，2022；Noakoasteen等人，2020；Zhang等人，2月）。这些研究表明，物理信息学习在计算电磁学领域具有巨大潜力，但其稳定性、界面处理能力以及对异质层状介质的适用性仍有待进一步研究。尽管现有研究已在将数值方法与物理信息神经网络相结合方面取得了一定进展，但针对涉及时域和频域建模、复杂各向异性介质以及材料界面的电磁散射问题，目前仍缺乏统一且稳定的建模框架。特别是如何系统地将离散伽辽金时域法的数值通量机制与神经网络的域分解能力相结合，仍是一个未解决的问题。为解决这一问题，本文提出了一种用于电磁散射问题的基于通量守恒的物理信息神经网络，即FC-PINNs。该框架在物理信息神经网络公式中引入了受离散伽辽金法启发的残差形式以及通量守恒的界面耦合机制，从而在子域内部实现结构化的残差评估，并确保子域间的信息传递具有物理一致性。本文的主要贡献如下：首先，提出了一种适用于时域和频域电磁建模的统一FC-PINNs框架，选取了三个具有代表性的电磁问题进行测试，包括介电常数和磁导率均存在变化的一维时域分层模型、导电率具有各向异性的单维频域分层模型，以及三维时域模型；其中三维时域模型还被用于验证该框架在处理多维电磁场传播问题时的适用性。这些基准问题共同体现了FC-PINNs在处理具有不同物理规律、复杂材料属性以及高空间维度特征的电磁建模任务方面的巨大潜力。其次，本文开发了一种受离散伽辽金时域法启发的强形式残差模型以及通量守恒的界面处理方法。该方法结合了保守型物理信息神经网络的域分解策略与离散伽辽金时域法的数值通量形式，通过在插值节点处利用固定的质量算子和刚度算子构建残差损失函数。此外，在子域界面处引入Roe数值通量，以实现物理上一致的通量耦合，这有助于减少界面不连续性，提升所学解的稳定性。第三，本文整合了一套协调的训练策略，以提高收敛稳定性。通过硬边界约束更精确地施加边界条件，同时采用联合输入输出归一化以及基于GradNorm的自适应损失平衡机制，来缓解不同损失项之间的尺度失衡和梯度竞争问题。另外，还采用了两阶段Adam算法与有限记忆Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno优化算法相结合的策略，进一步提升收敛效率和解的精度。最后，本文进行了系统的数值验证和对比分析。所提出的FC-PINNs在双参数时域分层模型、频域各向异性分层模型以及三维时域模型上进行了测试，其结果与高精度的离散伽辽金时域法和有限元法解，以及传统的物理信息神经网络、保守型物理信息神经网络、扩展型物理信息神经网络及其相关变体进行了比较。此外，还进一步分析了关键超参数、数值通量方案、界面处理方式以及优化稳定性等因素对方法精度、收敛行为和稳健性的影响。通过引入三维时域基准测试，进一步验证了FC-PINNs在多维电磁问题上的初步适用性。本文的其余部分结构如下：第二节推导了三维时域和频域问题的控制方程，并给出了在子域界面处应用数值通量的离散伽辽金时域法公式。第三节介绍了物理信息神经网络的基本理论，并阐述了所提出的FC-PINNs框架，包括网络架构、损失函数构建、边界处理方法、归一化策略、自适应权重分配以及优化流程。第四节在四个具有代表性的电磁基准问题上验证了所提方法，即双参数一维时域分层模型、一维频域各向异性模型、三维时域模型以及三维频域各向异性模型，并将其与离散伽辽金时域法、有限元法、保守型物理信息神经网络、扩展型物理信息神经网络以及其他类型的物理信息神经网络方法进行了对比。第五节进一步研究了FC-PINNs对关键超参数和数值通量方案的敏感性，同时通过消融实验评估了硬边界约束、归一化处理、自适应损失平衡、Roe通量以及两阶段优化策略各自的贡献作用。此外，还分析了优化过程的特征以及界面稳定性，以此解释所提方法为何能实现更好的收敛性能。最后，第六节对全文进行了总结，并指出了未来的研究方向。首先，根据误差定义来确定神经网络的控制方程、边界条件、初始条件以及输入输出变量。为定量评估所提出的FC-PINNs的预测精度，本研究采用了两种误差度量指标：最大相对场误差和相对L2误差。对于给定的电磁场分量，最大相对场误差定义为Emax==max|upred?uref|max|uref|，其中upred表示通过FC-PINNs得到的预测场，uref则表示参考数值解。相对L2误差则定义为EL2==||upred?uref||2||uref||2。

优化景观与界面稳定性分析
为进一步研究所提出的通量耦合形式对训练过程的影响，本小节分析了所提FC-PINNs的优化景观及界面稳定性。在原有的cPINNs公式中，相邻子域之间的耦合通常是通过惩罚项来实现的，这些惩罚项直接强制要求解在界面处以及通量上的连续性。尽管这种处理方式较为简单，但基于惩罚的耦合可能会引入一些问题。

总结
本文提出了一种用于分层、非均匀各向异性介质中电磁场建模的FC-PINNs框架。该框架结合了域分解方法、受DGTD启发的强形式残差项以及基于数值通量的界面耦合机制。此外，还引入了硬边界约束、联合输入输出归一化、基于GradNorm的自适应损失平衡策略，以及两阶段Adam–L-BFGS优化策略，以提高训练稳定性与预测精度。

CRediT作者贡献声明
彭晨宇：概念构思、形式分析、资金获取、方法设计、软件开发、初稿撰写、审稿与编辑。肖涛杰：形式分析、方法设计、项目管理、资源协调、验证工作、审稿与编辑。王思凡：形式分析、研究工作。张华建：资金获取、软件开发、验证工作。陈新海：研究工作、项目管理。赵佳佳：项目管理、资源协调。赵雷：资源协调。龚春烨：

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（2023YFA1011704、2021YFB0300101）、国家自然科学基金（编号42104078、62405033）的支持，同时部分资金来自湖南省自然科学基金（编号2024JJ5041）。彭晨宇于2019年在中国河北防灾科技学院获得学士学位，目前在中国湖南长沙理工大学攻读硕士学位。他的研究兴趣包括深度学习应用及电磁散射计算。

彭晨宇|肖涛杰|王思凡|张华建|陈新海|赵佳佳|赵雷|龚春烨
中国长沙410073，国防科技大学前沿装备数字化软件实验室