用于非线性微观结构逆向设计的双约束扩散模型及直接评估方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Dual-Constrained Diffusion Model for Nonlinear Microstructure Inverse Design with Direct Evaluation

　　摘要：扩散模型已成为逆向设计领域中强大的工具，但其随机特性通常需要借助替代模型或额外的数值模拟来验证目标条件是否得到满足。为解决这一瓶颈问题，我们提出了一种双约束扩散框架，该框架能够在物理约束和条件约束下同时生成结构设计及解场。该框架结合了用于训练阶段约束约束的双约束扩散模型（DCDM）与用于采样阶段指导的双引导扩散采样（DGS），从而无需额外数值模拟即可实现直接评估。我们通过单轴拉伸条件下基于预定应变能的超弹性微结构逆向设计来展示该框架。与传统扩散模型相比，采用DCDM与DGS的组合可将物理残差误差降低一个数量级以上。此外，1000个生成的候选方案可在约0.27秒内完成直接筛选。重要的是，由于在训练过程中就融入了双重约束，单个DCDM既支持无需指导的、与目标一致的生成，也可与DGS结合实现有指导的生成。对于高密度分布内的目标，无需指导的生成能够产生结构多样的候选方案，且其直接评估速度仅为有指导生成速度的五分之一。当需要更高目标精度或处理分布外的目标时，可在同一训练好的模型上启用DGS，以增加有效候选方案的数量，并确保在训练分布之外仍能保持目标条件的满足。所提出的框架为受物理定律支配系统的逆向设计提供了一种通用且实用的方法，仅需定义物理约束和条件残差即可。

引言：材料的宏观力学行为，包括刚度、强度以及与能量相关的响应，与其底层微结构的结构密切相关[[1], [2], [3]]。尤其是微结构内部材料属性的几何配置和空间分布，在很大程度上决定了这些力学响应。理解微结构与力学响应之间的关系，对于设计具有特定力学性能的微结构至关重要。为此，传统上微结构设计依赖于试错法或基于优化的方法。然而，由于设计空间维度高、非凸性以及设计变量与材料响应之间的非线性关系，这些方法依然存在诸多挑战[4]。近年来，基于机器学习的方法逐渐成为解决逆向设计问题中这些挑战的有希望的替代方案[5]。机器学习模型能够有效捕捉微结构与力学响应之间复杂且非线性的关系[6]。这些模型可用作计算成本高昂的数值模拟的替代模型，并可与元启发式优化方法相结合，用以寻找具有所需力学性能的微结构[7]。与此同时，变分自编码器[8]和生成对抗网络[9]等生成模型也被应用于逆向设计，但由于样本平滑性及训练稳定性等问题，它们的实际应用范围仍然有限[10]。最近，扩散模型[11,12]作为一种强大的生成模型出现，它们能够通过逐步去噪的过程学习复杂的 数据分布。这些模型已成功应用于逆向设计问题[4,[13], [14], [15]]。然而，由于扩散模型是概率性地生成样本的，因此所生成的设计并不总是严格满足目标条件。这就通常需要借助替代模型[4]或计算成本高昂的数值模拟[14,16]来进行额外验证或过滤。这种对外部验证的依赖在生成式逆向设计中构成了一个关键瓶颈，尤其是在需要筛选大量候选方案时。Bastek和Kochmann[13]通过同时生成位移场和应力场来进行评估，部分解决了这一限制。然而，由于没有明确强制机械一致性，仍可能存在与高精度数值模拟的差异。因此，将物理约束纳入扩散模型，为提高生成设计的物理可靠性以及减少对外部验证的依赖提供了有希望的方向。

受物理信息神经网络（PINN）[17]的启发，近期的一些研究试图将基于物理的信息引入机器学习模型，包括生成模型[18,19]。这些努力也被延伸到扩散模型中，以提高生成样本的物理一致性。例如，Shu等人[20]利用偏微分方程（PDE）残差作为物理信息条件，来指导高精度流场重建的去噪过程。Bastek等人[21]则通过在训练目标中加入基于物理的残差损失，将PDE约束纳入扩散模型训练中。另一种方法是在扩散采样过程中引入基于梯度的引导，从而在采样过程中融入物理约束[22,23]。CoCoGen[24]构建了一种条件扩散模型，并通过在反向扩散求解器中添加残差最小化步骤，直接在采样过程中修正中间扩散样本，从而确保物理一致性。为了解决部分观测条件下的逆问题，DiffusionPDE[25]利用从观测损失以及在对去噪后的估计值上计算的PDE损失所得到的梯度来指导采样过程。据我们所知，现有的扩散模型通常要么在训练阶段要么在采样阶段实施物理约束，而一种能够在两个阶段都施加物理约束和条件约束，并阐明它们在逆向设计中互补作用的统一框架，目前还几乎未被探索。

在这项工作中，我们提出了一种双约束扩散框架，该框架通过同时在物理约束和条件约束下生成设计场和解场，直接解决了这一验证瓶颈问题。该框架将用于训练阶段约束约束的双约束扩散模型（DCDM）与用于采样阶段约束约束的双引导扩散采样（DGS）相结合。通过确保生成的联合场的物理一致性，该框架使得无需借助替代模型或额外数值模拟，就能直接对生成样本的力学响应进行评估。以由超弹性离散块组成的机械MNIST[26]数据集作为控制基准，该框架实现了直接基于样本的评估，不仅结果可靠，而且计算效率高，1000个候选方案仅需0.27秒即可完成评估，同时与数值模拟结果高度吻合。在高密度分布内条件下，无需指导的DCDM能够更快地产生更多样化的候选方案，且直接评估结果可靠；而DGS则能进一步提升目标条件的满足程度。在分布外目标条件下，要实现可靠的逆向设计，则需要在经过物理约束训练的模型上应用DGS，这表明，当所学的生成分布不具备物理一致性时，仅依靠采样阶段的引导是不够的。图1总结了该框架的整体工作流程，展示了如何在无需额外数值模拟的情况下，通过双重约束生成物理一致的联合场并直接评估响应结果。

本研究的主要贡献如下：(1)建立了一种生成式逆向设计框架，该框架通过同时在物理一致性约束下生成设计场和解场，实现了无需替代模型或额外数值模拟即可对设计候选方案进行直接且可靠的评估。(2)通过将物理残差和条件残差纳入DCDM训练和DGS采样中，提出了双重约束建模方法，从而在整个生成过程中实现约束约束。(3)阐明了训练阶段和采样阶段约束约束的互补作用：在分布内条件下，训练阶段的双重约束能够实现与目标一致、无需指导的生成，且能产生更多结构多样的候选方案；而在同一训练好的DCDM基础上增加采样阶段的双重引导，则能提高候选方案的有效性，并使其在分布外条件下也能保持可靠性能。

本文的其余部分安排如下。第2节介绍所提出的框架，并阐述如何将物理约束和条件约束纳入训练阶段和采样阶段。第3节介绍问题设定，包括逆向设计公式、数据生成流程以及物理残差和条件残差的弱形式表达。第4节展示逆向设计结果，并评估所提框架的性能。第5节对全文进行总结，概述主要研究发现。

片段内容：去噪扩散模型：去噪扩散模型近期已成为最著名的生成模型之一[11,12,22]。它通过学习从简单的先验分布p(xT)（通常是标准高斯分布N(0,I)）中抽取的样本逐步去除噪声，从而被训练用来从目标数据分布q(x0)中生成样本。扩散模型包含两个过程：正向扩散过程和反向去噪过程。在正向过程中，高斯噪声会逐步被注入到纯净的数据中。

问题表述：为评估所提出的框架，我们考虑了这样一个逆向设计问题：即确定在50%单轴拉伸条件下能够达到预定应变能的微结构。该微结构的非线性力学行为采用可压缩的Neo-Hookean超弹性材料模型进行建模，相应的应变能函数W表示为：W(F)=12μ[F:F?3?2ln(detF)]+12λ[12((detF)2?1)?ln(detF)]，其中F为变形梯度，μ、λ为拉梅常数。

用于微结构逆向设计的扩散模型训练：在本节中，扩散模型被训练用来在给定预定目标应变能ψtarg的条件下，同时生成杨氏模量场和相应的位移场。我们研究了不同的训练策略，以评估引入物理损失和条件损失对物理一致性和条件满足程度的影响。网络架构、实现方式及超参数的详细说明见附录A。文中还进行了敏感性分析。

结论：本研究提出了一种双约束扩散框架，该框架通过在训练过程中施加物理约束和条件约束，并采用双引导扩散采样，从而同时生成设计场和解场。通过将这些约束纳入生成过程，该框架使得无需依赖替代模型或额外数值模拟，即可直接对生成的候选方案进行评估。该框架的有效性已通过……得到验证。

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