一种用于学习与历史相关的本构律及确定内部变量可识别性的神经网络框架

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：A Neural-Network Framework to Learn History-Dependent Constitutive Laws and Identifiability of Internal Variables

　　•在对称变形梯度张量空间上训练出符合热力学原理的多元凸神经网络，并以与客观性相一致的方式将其扩展到非对称变形梯度空间。•通过拟合多晶镁微观结构的泰勒平均响应来验证该框架，其相对误差仅为2%，且相比原始模型具有显著的速度提升，同时不影响预测精度。•实证研究表明，内部变量可通过线性变换来识别；文中还提供了支持这一观察的理论结果。

引言
在与其工程应用相关的宏观尺度上对材料的机械响应进行建模往往十分复杂。这是因为材料的宏观响应是发生在比工程应用尺度更细的尺度上的物理过程所累积的结果。此外，材料机械响应的物理机制在更细的尺度上通常更为简单，因此也更容易被理解。在此背景下，均质化是指基于对材料微观行为的了解来获得其有效的宏观响应。虽然在简化条件下，或许可以从已知的微观物理规律推导出描述宏观响应的方程（Bensoussan等人，2011年；Kovachki等人，2022年；Pavliotis和Stuart，2008年），但对于许多类型的材料而言，这种推导往往难以实现。因此，采用计算方法进行均质化就显得不可或缺，即利用细尺度过程的数据来模拟粗尺度下的本构律。近年来，人们开始探索数据驱动方法，以降低两尺度均质化的有限元计算成本。Lefik等人（2009年）提出了利用经过训练的神经网络来捕捉层状超导体的有效特性，并将其应用于复合材料设计中。Mozaffar等人（2019年）则通过学习循环神经网络，来捕捉在显著畸变硬化作用下的固定代表体积元的有效响应；该框架还被进一步扩展用于研究不同微观结构对代表体积元响应的影响。Ghavamian和Simone（2019年）通过建模问题证明，循环神经网络可用作微观问题的替代模型，从而降低两尺度材料模拟中的有限元计算成本。更多关于利用循环神经网络加速两尺度材料模拟的研究可见于Logarzo等人（2021年）和Wu等人（2020年）的成果。Wu等人（2020年）研究了纤维增强基体的有效响应，假设纤维具有超弹性，而基体则遵循J2塑性行为。Im等人（2021年）开发了一种基于长短期记忆架构的框架，用于学习弹塑性材料的替代模型。Bonatti和Mohr（2022年）则提出了一种在不同时间离散化下仍保持一致的架构。更多关于利用神经网络的研究可见As’ad和Farhat（2026年）针对粘弹性织物的研究，以及Liu等人（2023年）针对具有历史依赖应力-应变响应的塑料材料的研究。在数据驱动的均质化方法中，单元格的响应会被拟合到一个神经网络模型中，该模型随后被用作宏观尺度有限元求解器中的本构律。

除均质化场景外，神经网络也被用于将实验数据拟合为本构模型。历史上，人们已经开发出了许多有限变形本构律，用于模拟材料的宏观非线性响应。然而，这些经典的非线性本构律是为非常特定的材料设计的，通常无法很好地推广到类似但不同的材料上。对于那些响应取决于载荷历史的材料行为，建模有限变形本构律则变得更加复杂。诸如粘弹性（Francfort和Suquet，1986年）、塑性（T. J. R. Hughes，2006年）以及快速变化连续体的均质化响应（Brenner和Suquet，2013年）等情形都可能出现依赖历史的行为。因此，人们试图利用神经网络的泛化能力，来学习各类材料的本构响应。

在本研究中，利用神经网络模型来学习多晶单元格在有限变形作用下的均质化响应的本构律。金属在有限变形下的机械响应属于非弹性响应，因此需要引入一组内部变量来进行建模。在力学的热力学形式体系中，内部变量被用于模拟非弹性材料。其基本思路是通过引入一组内部变量（ξ1,?,ξn）来扩展热力学状态变量的集合，从而描述两个热力学平衡状态之间的过渡。内部变量在力学中的首次应用可追溯到Coleman和Gurtin（1967年）的工作，他们推导出了关于内部变量的热力学约束，并分析了它们与动力学稳定性的关系。Rice（1971年）将这一理论特别应用于金属塑性研究，利用内部变量来表示由位错引起的局部微观结构重排的平均行为。关于内部状态变量理论的综述可见Horstemeyer和Bammann（2010年）的文章。在传统方法中，内部变量及其演化方程作为本构律的一部分被预先设定，其演化方程则通过金属塑性中的屈服强度等实验观测结果来进行校准。同时，内部变量也可能源于一种近似理论方法，该方法用于近似处理那些反映历史依赖性的积分。内部变量的物理意义取决于它们的应用场景。在金属塑性研究中，内部变量被假定用来表示塑性应变，而塑性应变被认为能够反映由位错重排引起的平均变形。但在粘弹性研究中，内部变量则是源于对积分的近似处理（Bhattacharya等人，2023年；Francfort和Suquet，1986年），因此并不代表任何物理量或可通过实验测量的量。在更为现代的数据驱动本构建模方法中，内部变量及其演化规律是从数据中发现的。

基于循环神经网络的本构律可以直接将应变映射为应力，或将位移映射为力，这类架构无需预先满足以下要求：(a)热力学第二定律，(b)材料稳定性，以及(c)能够保证控制方程存在解的数学条件。Ball（1976年、1977年）为超弹性材料描述了这些数学条件，Mielke（2003年）、Ortiz和Stainier（1999年）则将这些条件扩展到了具有历史依赖性的材料上。对于具有历史依赖性的控制方程而言，解的存在依赖于能量势的多元凸性（Ball，1976年），以及能量势和耗散势的矫顽性（Francfort和Mielke，2006年；Mainik和Mielke，2005年；Mielke，2004年；Mielke等人，2018年）。本文的研究是在现有关于多晶材料均质化宏观机械响应建模的文献基础上展开的。本研究假设该响应为粘塑性响应，旨在建立从应变历史到应力的映射关系。为此，本文引入了一种基于内部变量理论的新型神经网络框架。现将本研究的主要贡献总结如下：

(i)本文引入了一种符合热力学第二定律、材料稳定性、客观性以及非线性动量平衡方程解的存在理论要求的神经网络框架，用于学习将应变历史映射为应力的本构律。虽然已有研究施加了其中一些约束条件：As’ad等人（2022年）和Klein等人（2022年）针对超弹性材料分别考虑了多元凸性和材料稳定性与客观性；Flaschel等人（2025年）针对一维弹塑性材料考虑了热力学第二定律，而As’ad和Farhat（2023年）则针对二维粘弹性材料进行了相关研究。不过，目前尚无研究在该框架下对三维金属粘塑性材料的两尺度均质化问题进行测试。Karimi和Bhattacharya（2024年）以及Liu等人（2023年）提出了最新的粘塑性均质化方法，他们采用了在时间离散化下保持不变的神经网络框架，通过学习内部变量的演化来获取具有历史依赖性的本构律，但其架构并不符合前述的数学要求。

(ii)该多元凸模型在对称变形梯度空间上得到训练，并以与客观性相一致的方式被扩展到非对称变形梯度空间。现有文献表明，不存在既具有多元凸性又具备客观性的抽象本构律形式。只有通过基于不变量的模型，且在材料对称性方面做出更多假设，才能同时实现这两点，例如Schr?der等人（2010年）的研究。Klein等人（2022年）采用了一种数据驱动方法，在损失函数中加入基于客观性的额外项，以此同时实现多元凸性和客观性。然而，这种数据驱动方法在应力预测方面的表现不佳。因此，本文提出了一种新的方法，通过定义能量函数来实现客观性，同时确保模型的多元凸性。

(iii)本文通过拟合多晶镁微观结构的泰勒平均响应来验证该框架，其相对误差仅为2%，且相比原始模型具有显著的速度提升，同时不影响预测精度。

(iv)实证研究表明，内部变量可通过线性变换来识别；文中还提供了支持这一观察的理论结果。

对于非弹性材料，已有研究指出，从数据中学习得到的内部变量并非唯一（Flaschel等人，2025年），但目前尚无理论研究对这些不同但等价的内部变量集合进行刻画，仅知道它们可通过线性变换相互转换；文中也提供了支持这一观察的理论结果。

本文的结构如下：第2节介绍了与建模非弹性历史依赖机械响应相关的数学背景，包括热力学第二定律、多元凸性、与材料稳定性相关的势能增长特性以及客观性。第2节还阐述了勒让德变换在明确动力学公式构建中的应用。第3节介绍了神经网络框架（C1），内容包括用于参数化各种势能的神经网络架构描述、确保能量势具有多元凸性和客观性的方法、确保耗散势具有凸性的方法，以及用于推动势能增长的函数；同一节还详细介绍了数据生成和训练的过程（C2）。第4节介绍了（C3）和（C4），展示了所提出的能量分解方法的优势以及该框架在提升预测精度方面的有效性。第4节还包含了关于内部变量可通过线性变换识别的实证验证结果及相应的理论支持（C5）。最后，第5节对本文的局限性及未来研究方向进行了总结讨论。

片段摘录
数学框架
设F(t)∈R3×3和P?(t)∈R3×3分别表示由目标材料决定的变形梯度与第一Piola-Kirchhoff应力。粘塑性材料的行为可表示为一种非马尔可夫映射形式：Ψ?:{F(τ):τ∈(0,t)}?P?(t)。本文中始终使用上标?来区分真实映射与其近似形式。在第2.1节中，我们提出了一个马尔可夫形式的表述方法，用于建模具有历史依赖性的本构律，并明确了所期望的物理性质。

方法论
在第3.1节中，我们提出了一种通过在学习到的本构律中引入增长机制来确保材料稳定性的方法。第3.2节描述了用于参数化W和D的不同类型的神经网络架构。第3.3节则介绍了将能量函数分解为等容分量与等积分量的方法，这种分解方式有助于提高预测精度。关于数据集和神经网络训练的详细信息分别见“结果与讨论”部分。

结果与讨论
本研究开发的替代神经网络本构律被用于预测三维镁多晶体的泰勒平均响应。下文列出了本研究的关键结果，并说明了它们在本节中的呈现顺序。关键结果如下：
(i)多元凸神经网络在预测镁多晶体的泰勒平均响应时，其相对误差仅为2%，同时还能满足多种理想的物理性质要求。

结论
在本研究中，我们提出了一种基于能量的神经网络框架，用于建模具有历史依赖性的本构律。该框架依托于内部变量理论，旨在具备因果性、可解释性，并融入物理学知识，即热力学第二定律和材料稳定性原则，同时也与非线性平衡问题的存在性理论相一致。我们提出了基于神经网络的本构律方法，以确保其与材料稳定性以及相关规范的一致性。代码地址为https://github.com/m-raj/Learning-Stable-Material-Model.git，数据可应要求提供。

CRediT作者贡献说明：
Mayank Raj：撰写——初稿，撰写——审阅与编辑，验证，可视化，形式分析。
Lianghao Cao：撰写——审阅与编辑，软件，方法论，研究，形式分析。
Andrew Stuart：撰写——审阅与编辑，方法论，形式分析，资金获取。
Kaushik Bhattacharya：撰写——审阅与编辑，指导，形式分析，资金获取。

利益冲突声明：
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

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