《Axioms》：A Sobolev–Information Perspective on Derivative-Observation-Augmented PINNs for Parameter Identification of Second-Order Dynamical Systems
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从稀疏测量数据中辨识动力系统的参数是结构健康监测和振动工程中的一项核心任务。对于二阶振荡器，标准物理信息神经网络存在困难，因为不同的参数值可能产生几乎相同的位移记录，导致逆问题呈现病态。研究人员提出了导数观测增强PINN (D-PINN)，该方法将速度测量值引
从稀疏测量数据中辨识动力系统的参数是结构健康监测和振动工程中的一项核心任务。对于二阶振荡器，标准物理信息神经网络存在困难，因为不同的参数值可能产生几乎相同的位移记录，导致逆问题呈现病态。研究人员提出了导数观测增强PINN (D-PINN)，该方法将速度测量值引入训练损失函数中以解决这种退化现象。有三个理论结果支持该方法：Sobolev型不等式证明约束速度误差能自动限制位移误差；Fisher信息分析表明速度观测增加了参数估计可用的信息量；基于残差的估计将参数误差限制在求解精度及其导数的范围内。在线性、受迫近共振和Duffing振荡器上的实验表明，在没有任何参数先验的情况下，D-PINN将阻尼系数相对误差从降低至。在附带一个微弱先验（偏离真值4.0达20%）的情况下，误差进一步降至，相比标准PINN实现了提升。研究人员还分析了该方法对先验质量、导数观测来源和测量噪声的敏感性，并明确了导数观测未能改善位移拟合的若干场景。
在结构动力学与振动工程领域，准确识别二阶常微分方程（ODE）描述的系统参数（特别是阻尼系数）对于结构健康监测、故障诊断和模型预测控制至关重要。传统参数估计方法如非线性最小二乘法（NLS）和卡尔曼滤波在数据充足且模型精确时效果良好，现代数据驱动框架如非线性动力学稀疏辨识（SINDy）虽能通过稀疏回归发现控制方程，但依赖昂贵的数值积分且难以融入额外物理约束。物理信息神经网络（PINNs）通过将微分方程残差作为软约束嵌入训练，为逆问题求解提供了全新范式。然而，在仅依赖位移观测时，PINNs面临逆问题退化的根本难题。由于不同阻尼系数值在离散稀疏时间点上产生的位移响应差异微乎其微，导致网络在损失景观中存在观测等效流形，优化极度病态。
为解决此问题，研究人员提出了一种将速度（一阶导数）观测直接引入损失函数的导数观测增强PINN (D-PINN)。研究表明，标准PINNs虽能实现低位移均方误差（MSE），但无法确保参数的准确辨识，因为纯粹改善函数逼近并不会增加参数的可观测信息。该研究发表在《Axioms》期刊，此项研究不仅从理论上明确解释了导数观测提升参数可辨识性的内在机理，更在涵盖真实结构的实验验证中展现了巨大的工程实用价值。
在该项研究中，研究人员构建了基于自动微分与确定性傅里叶特征映射的神经网络架构表示位移函数，提出了引入导数观测项与非预见性弱物理先验正则化项的复合损失函数，采用Adam优化器配合学习率余弦退火策略（共20,000个训练周期）进行参数联合优化。为全面测度算法表现，研究在合成的线性、近共振受迫振动及非线性Duffing三类振荡器数据集上，使用10个随机种子进行了多维独立评估，并引入了真实飞行器F-16地面振动测试（GVT）公开基准数据集进行跨模态验证。
在“线性振荡器的主要结果”部分，研究表明在精确无噪声环境下经典NLS具有极高的参数恢复精度，但标准PINN、傅里叶PINN和梯度增强PINN（gPINN）因观测退化产生巨大的阻尼相对误差。即便Sobolev-PINN实现了极低的位移误差，却因缺乏物理残差驱动而完全无法辨识参数。提出的无先验D-PINN将误差缩减3.4倍，结合偏离真值20%的弱先验时进一步将误差降至2.1%，实现了相对标准PINN大幅提升。研究还发现先验信息作用于参数估计时存在不对称响应，低估真值的弱先验效果显著优于高估值。
在“受迫振动与Duffing振荡器”部分，近共振受迫振动使标准PINN因条件病态发生灾难性发散，而D-PINN提供了关键稳定作用以防止发散；在引入立方刚度的非线性Duffing振荡器中，结合弱先验的D-PINN依然保持极强的参数辨识能力，展现出良好的泛化性。
在“导数观测源与真实实验数据分析”部分，研究发现相对于精确速度观测，附加适度高斯噪声的导数测量并不会严重干扰D-PINN的估计性能。但通过有限差分（FD）结合Savitzky–Golay（SG）平滑滤波获取的导数由于滤除高频阻尼敏感分量会显著降低估计精度。在F-16真实飞行结构实验中，针对附带高阶模态耦合与传感器噪声的观测数据，NLS因模型理想化假设失效，而D-PINN凭借柔性的神经表示与导数约束，准确抓取了局部动力演化信息，其刚度辨识相对误差降至，相比标准PINN提升了7.1倍。
研究人员总结讨论了导数观测方法的适用条件与局限。在位移拟合方面，导数观测并不会带来超越标准PINNs的普遍增益，其核心价值完全聚焦于解决参数估计逆向问题的奇异性。此外，傅里叶特征表示是网络有效吸收高振荡导数信息的先决条件。最后总结部分明确指出：由于如同项一般直接乘载阻尼信息，速度观测天然地携带了位移记录中缺失的信息熵。将其引入PINNs优化体系，从解析根源上消解了阻尼参数的退化难题。基于Sobolev信息不等式证实速度误差对位移误差的直接控制，Fisher信息矩阵论证了观测导数对局部可辨识性的正向增益，以及残差界限指出的误差演绎链条，均从理论层面完备支撑了该D-PINN方法。无论面对线性、强非线性或真实结构测试场景，导数观测均稳健地展示了快速收敛与高抗噪能力，是强化二阶动力系统逆问题参数可辨识性的极具学术与工程前景的有效手段。
