利用正则方法对抽象的Korovkin型算子及修正算子进行非线性统计近似

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Nonlinear statistical approximation of abstract Korovkin-type and modified operators with regular methods

　　摘要：本文提出了一系列对抽象Korovkin型逼近定理的扩展，通过利用统计收敛性将非线性因素纳入其中。在近期非线性版本的基础上，我们为作用在各种函数空间上的单调和次线性算子序列推导出了统计Korovkin型定理。此外，本文还通过正则矩阵方法引入了修正的多变量Bernstein Chlodovsky Kantorovich Choquet（BCKC）多项式算子，并确立了其在统计收敛条件下的逼近行为。这些结果大大拓展了Korovkin型理论的应用范围，从而展示了非线性算子在逼近理论中的理论深度与实用灵活性。我们还根据连续性模给出了收敛速率的计算方法。最后，我们首次为Bernstein Kantorovich Choquet（BKC）算子建立了Voronovskaya型逼近定理，从而将经典线性结果的适用范围扩展到了真正的非线性框架中。

引言：Korovkin的经典定理[25]形成于20世纪50年代，用于描述作用在连续函数上的正线性算子序列，它是逼近理论的基石（也可参见[4]）。自从Gadjiev和Orhan发表关键论文[15]以来，统计收敛性在逼近理论中得到了广泛应用，为超越传统收敛概念开辟了新途径。这类新的收敛方法旨在推广收敛概念，使得那些不具备常规收敛性的序列或级数也能有意义地确定其极限值。此后，人们不断对这一理论进行拓展，形成了诸多衍生结果（例如参见[8]、[10]、[24]、[30]）。

非线性算子理论是数学中发展迅速的一个分支，它与抽象理论以及现实世界的应用都有着密切的联系。近年来，最初为函数空间上的正线性算子设计的Korovkin经典逼近框架已被扩展到更一般的单调次线性算子场景。Gal和Niculescu的一系列研究[20]、[22]表明，这类算子与非线性Choquet积分有着密切关联，因此可视为线性理论的自然延伸。这些进展表明，许多针对正线性算子的经典结果可以有效地应用到更广泛的单调次线性算子类别中，从而为逼近理论带来了新的视角（例如参见[11]、[18]、[19]、[35]、[37]）。有趣的是，Choquet积分的研究最初是为了解决积分的可加性需要被共单调可加性所替代的问题，这一需求源于经济领域，而如今它已成为数据挖掘、信息融合、综合评估、决策制定以及博弈论等多个领域中的重要工具（例如参见[2]、[9]、[23]、[29]、[33]）。

尽管在抽象Korovkin型逼近理论以及非线性算子理论方面已经取得了显著进展，但至今仍缺乏一个能够通过统计收敛性将这两者整合起来的统一框架。本文的主要目的就是填补这一重要空白。经典定理本质上依赖于线性算子以及常规收敛性，这限制了人们对非可加结构（如由Choquet积分所描述的那种结构）的分析。而转向统计收敛框架则自然能克服这些传统限制。此外，为了展现这种方法的构建灵活性，我们特意运用正则矩阵方法引入了修正的多变量算子。最后，推动本研究开展的另一个重要动力是对非线性算子的渐近分析；通过首次为单调次线性算子建立Voronovskaya型定理，我们解决了现有文献中的一个重要未解问题。

为实现这些目标，本文着重体现了单调次线性方法的灵活性。需要强调的是，虽然某些论证思路借鉴了经典线性证明的方法，但由于要处理真正非线性环境中的复杂问题，因此必须进行大量的数学调整。为便于清晰阐述，第2节回顾了理解单调次线性算子及可求和性方法所需的基本概念。第3节介绍了我们的主要统计Korovkin型成果，第4节则通过示例来说明所提方法的适用性与创新性，其中包括对多变量Bernstein Chlodovsky Kantorovich Choquet算子的修正形式。最后，第5节和第6节分别阐述了收敛速率以及Voronovskaya型定理的内容。

章节节选：

初步知识：为确立本研究的核心成果，首先需要回顾一些关于可求和性方法、统计收敛性以及各类非线性算子的基本定义与性质。设A:={A(j)}={(ank(j))}是一列无限大的非负实矩阵。对于一列实数z={zk}，当级数∑∞k=1ank(j)zk对所有的n和j都收敛时，由(Az)nj:=∑∞k=1ank(j)zk定义的双重序列Az:={(Az)nj:n,j∈N}被称为z的A变换。

主要成果：我们研究的重点是为有限组测试函数下的单调次线性算子序列建立Korovkin型定理。我们的成果通过在多种函数空间中运用统计收敛性，对Korovkin抽象理论的先前非线性版本进行了拓展。

定理1：设M是一个紧致度量空间（带有度量d），{Tk}是一列从C(M)到其自身的次线性且单调算子。若满足以下条件：(i) 对于所有n和j，都有st?limkTk(1)=1，在M上一致成立；

具体应用：为展示这些抽象成果的实用性，我们现在研究几类特定的多变量算子。为此，我们给出了一些满足我们定理条件的多变量算子序列的例子（关于一维和双变量情况，可参见[16]、[20]、[22]，另可参考[1]、[11]、[19]）。我们研究了多变量可能性Kantorovich算子，以及多变量Szasz-Mirakjan-Kantorovich-Choquet（SMKC）算子。此外，我们还定义了……

Korovkin抽象定理的收敛速率估计：现在我们可以为抽象Korovkin型定理提供一些收敛速率的估计。设(M,d)是一个度量空间，且满足性质?(M?)：对于任意n∈N以及M中的不同点z和y，存在n+1个点ui，即i=0,1,...,n+1，使得z=u0，y=un+1，并且对于每个i=0,1,...,n，都有d(ui,ui+1)≤1nd(z,y)。需要注意的是，带有通常度量的欧几里得多维空间以及带有上确界范数的空间RΛ也满足?(M?)，这里Λ可以是任何非空抽象集合（也可参见次线性背景下的Voronovskaya型定理）。

在本节中，我们为Bernstein-Kantorovich-Choquet（BKC）多项式算子Kk,m(1):C([0,1])→C([0,1])建立了Voronovskaya型定理，其表达式为：Kk,m(1)(f)(z)=∑n=0k(C)∫nk+1n+1k+1f(u)dm(u)m([nk+1,n+1k+1])(kn)zn(1?z)k?n，其中m:=λ，这里的λ指的是勒贝格测度，且是在统计收敛的意义下定义的。根据Gal和Niculescu[22]的研究，我们知道这些算子是单调的、次线性的且具有平移性质。虽然经典的Voronovskaya结果[27]在针对线性正算子时已十分成熟，但目前……

作者贡献声明：作者已阅读并批准了最终稿件。

资金支持：作者并未获得任何用于本研究、作者身份确认或论文发表的财务资助。

塞夫达·伊尔迪兹
土耳其锡诺普大学科学与艺术学院数学系，锡诺普，57000