椭圆型界面问题弱Galerkin混合有限元方法中的曲线元素

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Curved elements in weak Galerkin mixed finite element method for elliptic interface problems

　　摘要：本文提出了一种基于曲线多边形划分的弱Galerkin混合有限元方法，用于求解具有曲线界面的椭圆型界面问题。为克服直线边缘近似带来的几何误差，引入了局部展直映射，从而在曲线边缘上构建基于边的有限元空间。该方法采用离散弱散度算子，并在混合公式中弱形式地处理界面跳变条件。分别在能量范数和L2范数下建立了最优阶误差估计，其收敛速率分别为O(hk+1)和O(hk+2)，且与扩散系数对比度无关。通过对各种曲线界面的数值实验，验证了理论上的收敛速率，并展示了该方法在不同系数对比度和界面几何形态下的稳健性。

引言：椭圆型界面问题广泛存在于众多科学和工程领域，如多孔介质流动、复合材料、热传导以及电磁波传播等[1]–[4]。典型的椭圆型界面问题可表述为：??·(A?u)=f，在Ω?Γ内；u=g，在?Ω?Γ上；[[u]]=u|Ω1?u|Ω2=gD，在Γ上；[[A?u·n]]=A1?u|Ω1·n1+A2?u|Ω2·n2=gN，在Γ上。其中，Ω?R2为有界多边形区域，满足Ω￣=Ω￣1∪Ω￣2，而Γ=?Ω1∩?Ω2为光滑曲线界面。ni表示?Ωi上的单位外法向量，i=1,2。扩散张量A在各个区域内足够光滑且呈均匀椭圆型，但在界面Γ处不连续。通过引入辅助通量变量q=?A?u，该问题可改写为以下一阶混合形式：A?1q+?u=0，?·q=f，在Ω?Γ内；u=g，在?Ω?Γ上；[[u]]Γ=gD，在Γ上；[[q·n]]Γ=?gN，在Γ上。式(1.8)中的符号源于定义q=?A?u以及ni为Ωi的外单位法向量的约定。上述混合公式在通量代表物理守恒量（如质量、热量或电通量）的应用中尤为重要。对于界面问题而言，法向通量条件(1.8)不仅仅是边界约束，更是物质界面间的传递规律。因此，理想的做法是以混合形式近似原始界面问题，直接处理通量跳变条件，并对通量变量进行直接近似，而不仅仅是近似标量变量u。对于曲线界面而言，这一要求更为复杂，因为法向量沿Γ变化，通量跳变需要在曲线界面边缘上处理。界面问题中的一个主要数值挑战就是如何处理曲线界面。在标准的直线边缘网格上，曲线界面通常被替换为分段线性段，从而导致几何误差。对于高阶数值方法，这些误差可能会主导离散化误差，使得预期的收敛速率无法达到最优[5]–[7]。避免这一问题的自然方法是在具有曲线边缘的元素上直接构建离散空间。这虽能消除直线边缘替代带来的几何误差，但也需要对相关的有限元空间和离散微分算子进行仔细的设计和分析。对于高阶近似，由于非仿射几何映射、数值积分、逆不等式以及曲线域上的迹估计等问题，处理曲线元素的工作变得极为复杂。为了解决这些难题，人们已经开发出了多种针对曲线网格的高阶数值框架。对于间断Galerkin方法及混合高阶方法，已有不少针对曲线网格的策略被提出[8]–[13]。现有方法主要依靠特殊设计的局部基函数、加权内积或依赖几何结构的稳定化技术，以保持曲线元素上的稳定性与近似性能。特别是Botti和Di Pietro[9]研究了曲线网格上的混合高阶方法，证明了其在一般曲线域上的高阶近似效果。另一类重要方法为虚拟单元法。VEM框架中首次系统性地处理曲线边缘的方法见于[14]，该文为涉及曲线边界的椭圆问题构建了曲线虚拟单元空间。后续研究进一步发展了保持多项式性质的公式，并将该方法扩展到混合型、波动型及非协调虚拟单元方法[15]–[18]。弱Galerkin有限元方法最初由Wang和Ye在[19]中提出，该方法利用弱定义的导数替代传统微分算子，从而允许在多边形和多面体网格上使用间断近似空间。由于其适用于复杂几何结构且具备局部质量守恒特性，WG方法已被成功应用于各类椭圆型及界面问题[20]–[24]。对于曲线网格，Mu[25]首先通过参数化表示曲线边界来构建离散形函数，从而提出了一种适用于曲线边缘的弱Galerkin有限元方法。随后，Guan等人[26]以及Li等人[27]分别对曲线网格上的稳定性与收敛性进行了分析。最近，曲线WG框架已被扩展到椭圆型界面问题及Stokes界面问题[28]–[29]，在这些研究中，离散空间是直接在具有曲线边缘的元素上构建的。这些工作为曲线几何结构上的WG方法奠定了重要基础。本文所采用的曲线边缘构建方法与[27]、[28]、[29]中的曲线WG方法思路一致，即直接在具有曲线边缘的元素上定义离散空间，而非依赖直线边缘近似。不过，此处采用的混合公式带来了更多挑战：通量被视为独立未知量，必须在与离散弱散度算子兼容的空间中进行近似；此外，通量的法向分量直接参与Neumann型界面传递条件，这使得通量空间的构建与分析成为核心问题。因此，无法通过简单扩展现有的曲线元素WG分析方法来获得稳定性与误差分析结果，需要单独处理曲线边缘离散空间、弱散度算子、界面通量条件以及混合变分结构之间的相互作用。除上述方法外，针对曲线几何结构的其他重要技术还包括等几何分析[30]–[32]、非仿射等参有限元方法[33]–[35]、拟态有限差分方法[36]，以及边界值修正技术[37]–[41]。这些方法从不同角度处理曲线几何结构，为精确模拟具有曲线界面和曲线边界的问题提供了有效工具。与直线边缘网格上的边界修正方法不同，此处采用的曲线边缘策略将曲线界面直接纳入网格及局部有限元空间之中。基于上述考虑，我们针对具有曲线界面的椭圆型界面问题，开发了一种基于曲线边缘的弱Galerkin混合有限元方法。该方法专为原始混合公式(1.5)–(1.8)设计，可直接纳入标量跳变条件与法向通量跳变条件。曲线界面被直接纳入网格，局部离散空间则在具有曲线界面边缘的元素上构建。由于该方法基于混合公式，通量被作为独立变量进行近似，因此必须同时分析离散弱散度算子、界面通量条件以及混合变分结构。我们还为标量变量与通量变量分别建立了稳定性与最优阶误差估计。本研究的主要创新点在于为原始混合形式的椭圆型界面问题，构建并分析了基于曲线边缘元素的混合WG离散化方法。虽然曲线边缘空间的构建遵循了[27]、[28]、[29]中的总体框架，但此处采用的混合公式引入了独立的通量变量与离散弱散度算子。因此，必须直接处理曲线界面上的Neumann型通量传递条件，且稳定性与误差分析需考虑曲线边缘空间、弱散度算子以及混合变分结构之间的相互作用。数值实验用于验证理论结果，并展示该方法在具有不连续系数的曲线界面问题上的性能。本文的其余部分结构如下：第2节介绍曲线元素弱Galerkin混合有限元方法的构建方法；第3节与第4节分别推导稳定性分析与最优误差估计；第5节汇报数值实验结果，以验证理论成果。

片段摘录：
弱散度：设T为具有边界?T的多边形区域。T上的弱函数指的是v={v0,vb}，其中第一分量v0表示v在T内部的值，第二分量vb表示v在T边界上的值。需指出的是，vb并不一定与v0在?T上的迹有关。用V(T)表示T上的所有弱函数，即V(T)={v={v0,vb},v0∈[L2(T)]2,vb·n∈H?1/2(?T)}。
定义2.1 [21]：对于任意v∈V(T)，v的弱散度?w,T·v定义为双空间中的线性函数。
稳定性与唯一性：在每个属于Th的元素T上，用Q0表示通常的L2投影算子，作用在[Pk(T)]2上。然后我们定义投影Qhq={Q0q,Qb(q·n)n}。从(1.8)式可知，q·n在Γ上具有两个不同的值。为确保Qhq∈Vh，即Qb(q·n)·n在Eh中的每个e上取单一值，我们按如下方式定义Qb(q·n)：Qb(q·n)|e={Qb(q|T∩e·n),若ife?Γ&T?Ω1；Qb(q|T∩e·n)+QbgN，若ife?Γ&T?Ω2；Qb(q|T∩e·n)，若ife?Γ&T∈Th。类似地，用Qh表示L2投影算子，作用在Pk+1(T)上。设T1与T2为两个相邻的元素，它们共享……
误差方程：设(q,u)与(qh,uh)∈Vh×Wh分别为问题(1.5)–(1.8)以及WG-MFE方案(2.5)–(2.6)的数值解。用εh与eh表示(q,u)的L2投影与数值近似(qh,uh)之间的差异：εh=uh?Qhu，eh={e0,eb}=qh?Qhq。
引理4.1：对于任意v∈Vh与w∈Wh，误差函数εh与eh满足以下方程：as(eh,v)?b(v,εh)=?1(v)，对所有v∈Vh成立；b(eh,w)=?2(w)，对所有w∈Wh成立。其中，线性泛函?1(v)与?2(w)定义为：?1(v)=a(q?Qhq,v)?∑T∈ThhT〈(Q0q?Qb(q·n)n)……

数值实验：本节给出了四种类型界面上混合WG方法的数值结果，如图5.2、5.6、5.11和5.9所示。计算过程中采用了贴合区域的非结构化三角形与四边形网格。所有实验均采用多项式阶数k=2、3。测试了不同的参数组合(A1,A2)=(1,10),(10,1),(1,103),(103,1),(1,105),(105,1)。

结论：本文提出了一种用于具有曲线界面的椭圆型界面问题的曲线元素弱Galerkin混合有限元方法。通过引入局部展直映射，消除了直线边缘近似带来的几何误差。该方法结合了弱Galerkin离散化的灵活性与曲线网格上的精确几何表示能力，同时保持了每个曲线元素上的局部守恒性质。此外，还建立了最优阶误差估计。