用于麦克斯韦特征值问题的无假频混合骨架有限元方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A spurious-free mixed skeletal finite element method for Maxwell eigenvalue problem

　　摘要：本文提出了一种用于麦克斯韦特征值问题的混合骨架有限元方法。通过引入拉格朗日乘数，我们将问题转化为等价的混合形式，从而消除虚假的零特征值。我们证明了解算子的均匀收敛性，确保离散特征值中不存在虚假解。同时，我们还建立了特征函数和特征值的误差估计。此外，基于特征值误差展开，该方法仅在假设特征函数具有适当规律性的条件下就能给出特征值的渐近下界。数值实验验证了理论结果。

引言：设Ω为Rd中的有界单连通域（d=2,3）。本文研究以下麦克斯韦特征值问题：{?×μr?1?×u=ω2εru，在Ω内；?·εru=0，在Ω内；u×n=0，在?Ω上}，其中εr和μr分别表示相对介电常数张量和磁导率张量，n为向外单位法向量。为简化问题，我们考虑εr=1且μr=1的情况。在计算电磁学中，麦克斯韦方程的特征值计算至关重要。自从Silvester将基于节点的有限元方法引入电气工程领域[1]以来，它在处理均匀波导问题时展现出显著效用。然而，将其应用于非均匀波导时，往往会产生具有非零特征值的虚假模式。已有大量研究致力于消除这些不真实的数值伪象[2]。Rahman和Winkler指出，这类虚假模式违反了电磁场的无散度条件，于是他们提出了惩罚函数方法来强制满足这一约束[3]、[4]、[5]。不幸的是，这种方法既无法完全消除虚假模式，也无法为选择最优惩罚参数提供指导。另一种方法是通过选择合适的有限元空间来解决虚假模式问题[2]、[6]、[7]。例如，用于电场的H(curl; Ω)-一致边缘元素能够在保持切向连续性的同时允许法向分量在材料界面处发生跳跃。这种选择虽然能消除具有非零特征值的虚假模式，但具有零特征值的虚假模式依然存在。由于违反了高斯定律，虚假模式的数量等于内部节点的数量[8]。因此，要彻底消除虚假模式，就需要同时使用合适的有限元空间并明确强制满足无散度条件。Kikuchi[9]提出了一种有效的公式，将H(curl; Ω)-一致基函数与拉格朗日乘数相结合，以便在波导特征值计算中施加无散度约束。

麦克斯韦特征值问题已通过多种数值方法得到研究。关于边缘元素方法，读者可参考[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。关于拉格朗日有限元方法在此问题上的收敛性，已有相关研究[16]、[17]。同时，还提出了谱元法等更高阶的方法[18]。为了提高计算效率，人们还引入了包括双网格方法[19]、预处理技术[20]以及子空间迭代法[21]在内的各种加速技术。尽管取得了这些进展，但可靠地计算特征值界限仍然是一个关键问题。上下界对于量化特征值解的准确性和可靠性都十分重要[22]。对于麦克斯韦特征值问题，其上界可通过[23]得到。而更有趣的下界问题则可通过[24]、[25]、[26]中的方法来解决；不过，这些方法都需要对数值解进行简单的后处理才能得到特征值的下界。骨架有限元方法则是一类通用的离散化方案，它在网格骨架上引入辅助未知量。关于混合离散伽辽金法（HDG）、混合高阶法（HHO）和弱伽辽金法（WG）之间的联系，已有研究[27]、[28]进行了探讨，并建立了它们的等价性或统一框架。本文所采用的骨架有限元方法也属于弱伽辽金有限元方法。本文介绍并分析了一种混合骨架有限元方法，该方法既能给出麦克斯韦特征值的下界，又能避免虚假特征值的出现。通过利用拉格朗日乘数将原问题转化为等价的混合形式，我们的方法有效消除了虚假的零特征值。此外，我们还证明了解算子的均匀收敛性，从而保证了离散特征值问题中不存在虚假解。在Babu?ka–Osborn谱理论框架下，我们建立了特征函数和特征值的误差估计。最后，在假设特征函数具有适当规律性的条件下，我们基于特征值误差展开推导出了特征值的渐近下界。

本文结构如下：第2节介绍所需的函数空间，并为特征值问题和源问题推导出等价的混合形式。第3节阐述这些问题的数值求解方案。第4节对源问题进行误差分析。随后，第5节建立特征值问题的误差估计，并证明特征值具有下界性质。第6节通过数值示例验证了理论成果。

章节节选：

初步知识：设D为Rd中的任意有界多边形或多面体区域（d=2,3）。我们采用标准的Sobolev空间Hs(D)定义及其相关的内积(?·?, ?·?)s,D、范数‖?·?‖s,D以及半范数|?·?|s,D，其中s≥0。当s=0时，这些概念就退化为通常的L2(D)内积(?·?, ?·?)D和范数‖?·?‖D。当D=Ω时，我们就省略下标D。特别地，‖?·?‖表示L2(Ω)范数。接下来，我们回顾二维和三维中旋度算子的定义。

骨架有限元方法：在本节中，我们提出了一种用于求解麦克斯韦特征值问题(2.4)及其相关源问题(2.5)的骨架有限元方法。

源问题的误差估计：对特征值问题的分析依赖于相关源问题的误差估计，我们将在本节中建立这些估计。虽然此处使用的稳定化方法与[34]中的不同，但误差分析的思路类似。为完整性起见，我们将展示主要结果，并对当前公式带来的新因素进行详细分析。

特征值问题的误差估计：在本节中，我们利用第4节的结果来推导特征值问题(2.4)的误差估计。

数值实验：在本节中，我们在二维多边形和三维多面体上进行了数值测试，以验证所提方法的准确性和有效性。实验结果表明，该方法不存在虚假模式。

离散化过程(3.3)会导致如下广义特征值问题的出现：(ABT?BC)(UP)=λh(M000)(UP)，其中U和P分别是对应于Vh和Wh的系数向量。矩阵贡献分别为aw(uh,vh)?A，bh(vh,ph)?BT，?bh(uh,qh)??B，s2(ph,qh)C。

致谢：Shusheng Li负责写作——审阅与编辑、写作——初稿、软件、方法论、研究工作、形式分析；Qilong Zhai负责写作——审阅与编辑、方法论、资金获取、形式分析、概念构思。

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