带有兴奋性和抑制性神经元及适应性的速率模型中的分岔详细研究

《Journal of Computational Neuroscience》：Detailed study of bifurcations in a rate model with excitatory and inhibitory neurons and adaptation

　　

研究人员研究了基于群体的速率模型（rate model）的动力学行为，该模型包含放电适应性（firing adaptation）。模型中，兴奋性和抑制性神经元群体相互耦合，并在兴奋性群体上添加负反馈项作为放电适应性。在多项研究中，UP-DOWN转换（UP-DOWN transitions）是重点，本研究模型也表现出该现象。本文研究人员提供了平衡点（equilibrium points）的完整表征，包括其存在性和稳定性的精确条件。由于激活函数（activation function）是阈值线性函数（threshold linear function），计算可解析进行，并给出显式公式。研究人员使用分岔分析（bifurcation analysis）检测相空间（phase space）中的显著变化。提供了关于稳态数量的完整分岔图（bifurcation diagrams）列表。通过局部分岔分析（local bifurcation analysis）研究了与神经生物学相关的振荡动力学。该研究表明，尖波-涟漪振荡（sharp wave-ripple oscillations）可能在参数空间的某些区域出现。

**论文解读文章**

**研究背景与问题**
皮层活动表现出丰富的状态依赖性动力学，反映内部网络机制与全局脑状态之间的相互作用。其中，持续放电（UP状态）与静息（DOWN状态）交替的UP-DOWN转换是典型例子，在慢波睡眠、麻醉及清醒静息等状态下均被观察到，被认为支持记忆巩固、调节突触可塑性并维持网络平衡。此外，UP-DOWN转换还控制着更快、更局部的海马动力学事件，如尖波-涟漪振荡（sharp-wave ripples, SWRs）。SWRs发生在静息脑状态，表现为短暂的高频同步活动，由兴奋性锥体细胞与抑制性中间神经元协调产生，被认为通过时间压缩的序列重放促进记忆从海马向皮层网络的传递。现有研究表明，UP-DOWN转换源于皮层回路中兴奋与抑制平衡的双稳态网络动力学，而慢速适应机制（如放电频率适应或突触抑制）可驱动状态转换。Jercog等人（2017）提出了一个带有放电适应性的兴奋-抑制速率模型，通过慢适应变量实现UP-DOWN转换，并区分了亚稳态（metastability）和准稳态（quasi-stability）。然而，该模型的动力学结构尚未被系统表征：模型存在四个稳态，其存在性和稳定性不仅决定双稳态，还影响周期解的出现；系统包含11个参数，显著影响动力学行为，使得全局描述具有挑战性。因此，研究人员的主要目标是：通过确定平衡点的存在条件并分析其稳定性，理解系统的局部动力学；在此基础上，探究周期性行为的发生机制。论文发表在《Journal of Computational Neuroscience》。

**主要技术方法**
研究人员采用基于Jercog等人（2017）提出的三变量速率模型（系统1），该模型描述兴奋性（r_E）和抑制性（r_I）群体的放电率，以及兴奋性群体上的适应变量（a）。模型中的转移函数（transfer function）为阈值线性函数（threshold linear function），使得大部分计算可解析进行。研究人员通过线性化方法分析平衡点的局部稳定性，并利用分岔分析（bifurcation analysis）检测参数空间中的定性变化，包括折叠分岔（fold bifurcation）和焦点-中心-极限环分岔（focus-center-limit cycle bifurcation, FCLC）。主要控制参数为连接强度c和适应强度β，其余参数基于文献典型值设定（如g_E=1, g_I=4, θ_E=-5, θ_I=25, J_EI=1.5, J_IE=10, J_II=0.5, τ_E=7, τ_I=2, τ_a=90）。

**研究结果**
**3.1 稳态及其稳定性**
研究人员推导了系统（1）的四个平衡点，并给出了每种情况下的存在条件：
- **情况1**：r_E=0, r_I=0, a=0，存在当且仅当θ_E≥0且θ_I≥0。
- **情况2**：r_E=0, r_I=-g_Iθ_I/d_I, a=0，存在当且仅当θ_Ig_IcJ_EI ≤ d_Iθ_E且θ_I≤0。
- **情况3**：r_E=g_Eθ_E/(d_E-g_Eβ), r_I=0, a=βr_E，存在条件如公式（3）。
- **情况4**：r_E=g_EA/N, r_I=g_IB/N, a=βg_EA/N，存在条件为N>0, A≥0, B≥0或N<0, A≤0, B≤0。
通过线性化计算Jacobi矩阵，研究人员确定了各平衡点的稳定性：情况1和2始终稳定（当存在时）；情况3的稳定性通过特征方程分析，失稳条件为g_EcJ_EE=τ_E/τ_a+1；情况4的稳定性变化由公式（6）和（7）给出，对应于焦点-中心-极限环分岔的条件。

**3.2 局部分岔图**
研究人员在控制参数(c, β)平面上推导了三种分岔曲线：曲线（7）来自情况2，为垂直线；曲线（10）来自情况3，为直线；曲线（11）来自情况4，为凹曲线。通过分析参数θ_E和θ_I的符号以及b_E和b_I（定义见公式（12））的符号，将(θ_E, θ_I)平面划分为8个区域（I至VIII），每个区域对应一组可能的分岔图。定理9总结了所有可能的分岔图，共14种（图2），展示了不同参数设定下稳态数量的变化区域。

**3.3 导致周期轨道的分岔**
研究人员研究了焦点-中心-极限环分岔（FCLC）在分段线性系统中的应用。给出了情况3和情况4平衡点发生FCLC分岔的解析条件。通过固定参数（公式（15））并变化J_EE，在(c, β)平面上获得了6种不同的二维分岔图（图5）。以J_EE=11.4为例（图5b），详细展示了动力学行为：情况3的平衡点在FCLC曲线左侧稳定、右侧失稳，并产生稳定周期轨道；情况4的平衡点沿FCLC曲线发生超临界和亚临界分岔，存在退化的FCLC点（类似Bautin分岔），导致稳定与不稳定周期轨道共存，并通过周期折叠分岔（cycle fold bifurcation）湮灭。特别地，在参数空间某些区域（如β=11, c=1.05），研究人员观察到类似尖波-涟漪振荡（SWR）的周期轨道：一个大幅周期轨道包含慢速部分（尖波）和快速振荡（涟漪），与海马切片中记录的SWRs定性相似。

**讨论与结论**
研究人员通过解析计算和分岔分析，系统地表征了基于群体的速率模型（1）的参数空间动力学。获得了所有平衡点的存在条件和稳定性，列出了所有可能的分岔图，并揭示了焦点-中心-极限环分岔如何导致周期解的产生。研究结果表明，通过变化全部11个参数，可以区分出多种分岔图；当纳入周期解并仅将部分参数作为控制参数时，动力学行为更为复杂。检测导致振荡动力学的进一步分岔是未来工作的有趣方向。研究结论部分翻译如下： “在这项工作中，我们旨在根据其动力学行为对基于群体的速率模型（1）的参数空间进行完整表征。该模型最初由Jercog等人（2017）提出，描述了反复耦合的兴奋性和抑制性群体的平均放电活动。负反馈也被添加到兴奋性群体，代表兴奋性细胞经历的放电适应性。由于激活函数是阈值线性函数，该模型可以使用解析工具进行检查。在本文中，计算了所有平衡点及其存在条件，并进行了全面的稳定性分析。确定了折叠分岔曲线，指示稳态数量的变化，并列出了在给定参数设置下可能发生的所有可能分岔图。我们还研究了焦点-中心-极限环分岔如何在系统中发生，导致平衡点的稳定性变化和周期轨道的产生。推导了分岔曲线的解析公式，但仅通过变化三个控制参数的值列出了分岔图。在二维参数空间中详细研究了系统的动力学行为，并检测到一个余维二的分岔。呈现了最有趣的相图，包括通过焦点-中心-极限环分岔产生极限环，以及类似于尖波-涟漪振荡的周期行为。这些结果表明，通过只关注平衡点的数量，变化全部11个参数可以区分出多种分岔图。当包含周期解且仅将部分参数视为控制参数时，产生的动力学行为变得更为复杂。检测导致振荡动力学的进一步分岔可能是未来工作的一个有趣方向。”