带移民的分支过程的完整左尾渐近性

《Journal of Applied Probability》：Complete left-tail asymptotic for branching processes with immigration

　　

研究人员推导了带移民的Galton-Watson过程鞅极限密度的完整左尾渐近级数。研究人员证明该级数处处收敛，不仅限于小参数情形。这是关于带移民分支过程左尾渐近的首个完整结果。从该级数中还将得到一个良好、快速计算的密度近似。

**论文解读：带移民的Galton–Watson过程鞅极限密度的完整左尾渐近**

**1. 研究背景与问题**

分支过程（Branching Process）是概率论中描述种群繁衍的经典模型，其中Galton–Watson过程（Galton–Watson Process, GW过程）是其核心代表。在超临界GW过程中，鞅极限（Martingale Limit）的分布尾部行为是研究重点。对于不带移民的经典情形，已有研究系统分析了鞅极限密度的左尾渐近，从最初对第一项渐近项的精确估计（Dubuc, 1971），到Biggins和Bingham（1993）给出显式形式，再到Kutsenko（2013）推导出完整的左尾渐近级数。该级数通过Karlin–McGregor函数（Karlin–McGregor Function）显式表达，且处处收敛，不仅限于小参数。

然而，在带移民的GW过程（GW Process with Immigration）中，每个时间步都有新个体加入，使得过程更复杂。目前仅有的结果局限于第一项渐近项（Berestycki等, 2011; Chu等, 2012）。将Kutsenko（2013）的完整结果直接推广到带移民情形存在困难，因为经典情形的函数方程和周期函数构造不再直接适用，需要发展新的技术方法。因此，本研究旨在填补这一空白，为带移民的GW过程鞅极限密度建立完整的左尾渐近级数。

**2. 研究内容与结论**

研究人员定义了带移民的GW过程：
\(X_{\mathrm{imm},t+1} = \sum_{j=1}^{X_{\mathrm{imm},t}} \xi_{j,t} + Y_t\)，其中\(\xi_{j,t}\)为独立同分布的自然数取值随机变量，其概率生成函数为\(P(z) = p_1z + p_2z^2 + \cdots\)，且考虑Schr?der情形（\(p_0=0, 0 0\)，以保证存在正概率使得过程停留在同一状态。

通过类比经典情形，鞅极限\(W_{\mathrm{imm}} = \lim_{t\to\infty} \mu^{-t} X_{\mathrm{imm},t}\)（\(\mu = P'(1)\)）的密度\(p_{\mathrm{imm}}(x)\)可表示为Fourier逆变换：
\(p_{\mathrm{imm}}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi_{\mathrm{imm}}(\mathrm{i}y) \mathrm{e}^{\mathrm{i}yx} \mathrm{d}y\)，其中\(\Pi_{\mathrm{imm}}(z) = \Pi(z) \cdot R(z)\)，\(\Pi(z)\)满足Poincaré型方程，\(R(z) = \prod_{t=1}^{\infty} Q(\Pi(\mu^{-t}z))\)。

研究人员引入一系列辅助函数：\(\Phi(z)\)（满足Schr?der方程\( \Phi(P(z)) = p_1 \Phi(z)\)），\(\Psi(z) = \prod_{t=0}^{\infty} q_0^{-1} Q(P_t(z))\)（满足\(Q(z)\Psi(P(z)) = q_0 \Psi(z)\)），以及周期函数\(K(z) = p_1^{-z} \Phi(\Pi(\mu^z))\)和\(L(z) = q_0^{-z} R(\mu^z) \Psi(\Pi(\mu^z))\)。这些函数在填充Julia集（Filled Julia Set）的零分量\(\mathscr{J}_P^0\)内解析，且依赖于临界角\(\theta^*\)（满足\(\theta^* > \pi\)强度条件，保证级数收敛）。

**主要结论（定理1）：** 若\(\theta^* > \pi\)，则对于\(x>0\)，
\(p_{\mathrm{imm}}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n x^{-\log_\mu (p_1^{n+1} q_0) - 1} B_n(-\log_\mu x)\)，
其中\(\log_\mu (\cdot) = \ln(\cdot)/\ln\mu\)，系数\(A_n\)来自函数\(A(z) = \Phi^{-1}(z) / (z \Psi(\Phi^{-1}(z))) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n z^n\)，周期函数\(B_n(z)\)通过Fourier级数定义为
\(B_n(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{\vartheta_{nm} \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}mz}}{\Gamma\big( -(\ln(p_1^{n+1}q_0) + 2\pi\mathrm{i}m)/\ln\mu \big)}\)，
其中\(\vartheta_{nm}\)是周期函数\((K^{n+1} \cdot L)(z)\)的Fourier系数。该级数双重求和，且收敛速度超指数：
\(\left| \frac{A_n \vartheta_{nm}}{\Gamma\big( -(\ln(p_1^{n+1}q_0) + 2\pi\mathrm{i}m)/\ln\mu \big)} \right| \leq C \mathrm{e}^{-\alpha n \ln(n+1) - \beta |m|}\)，\(\alpha, \beta, C > 0\)。

**意义：** 这是首次得到带移民分支过程鞅极限密度的完整左尾渐近级数，且级数处处收敛。基于该级数，可构造快速计算的良好近似公式（如忽略振荡项或仅取有限项），与直接Fourier逆变换相比，计算速度从数分钟降至实时，且精度在中等\(x\)值时很高。数值示例（以\(P(z)=p_1z+(1-p_1)z^2\)，\(Q(z)=q_0+(1-q_0)z\)）验证了近似效果，并展示了振荡项在修正伪振荡和捕捉对数周期振荡中的作用。

**3. 主要技术方法**

- **复分析与动力系统：** 利用填充Julia集\(\mathscr{J}_P\)及其零分量\(\mathscr{J}_P^0\)界定函数\(\Phi\)、\(\Psi\)的解析区域；通过临界角\(\theta^*\)（大于\(\pi\)）保证周期函数\(K\)、\(L\)在足够宽的带状区域解析，从而Fourier系数指数衰减。
- **Fourier变换与Gamma函数：** 将密度表示为Fourier逆积分，通过Cauchy积分公式将积分路径平移到实部为\(\rho>0\)的垂直线，利用Hankel积分表示（Gamma函数）将积分转化为级数。
- **函数方程与迭代：** 构造Poincaré型函数方程（如\(\Pi(\mu z) = P(\Pi(z))\)）和Schr?der型方程（\(\Phi(P(z)) = p_1 \Phi(z)\)），通过迭代定义\(\Pi\)、\(\Phi\)、\(\Psi\)、\(R\)等函数，并推导出周期函数\(K\)、\(L\)。
- **级数估计与收敛性：** 利用Cauchy估计控制Taylor系数\(A_n\)的指数增长，结合Gamma函数的Stirling近似和Fourier系数的指数衰减，证明双重级数超指数收敛，从而允许逐项积分与求和交换。

**4. 研究结果（按原文结构）**

**定理1（完整左尾渐近级数）：** 在条件\(\theta^* > \pi\)下，密度\(p_{\mathrm{imm}}(x)\)由公式(11)给出，级数双重求和，收敛速度如(13)所示。该定理通过将\(\Pi_{\mathrm{imm}}(z)\)展开为级数(35)，并在垂直线\(\rho + \mathrm{i}\mathbb{R}\)上逐项积分，利用Lemma 1保证积分存在，最终得到(41)并完成证明。

**近似公式：** 从定理1中忽略振荡项（即取\(m=0\)）得到快速近似公式(14)，只需计算\(N\)项（如\(N=10\)）即可获得良好精度，计算速度远优于直接Fourier积分。进一步，考虑有限个振荡项（如\(M=1\)或\(M=2\)）的近似公式(17)可修正伪振荡，并捕捉到\(x\)接近0时的对数周期振荡（见图3(b)）。数值实验表明，当\(x \in [0,4]\)时，\(N=10\)的近似已足够；在更大\(x\)或接近0时，需增大\(N\)并加入振荡项以提高精度。

**5. 讨论与结论**

**讨论：** 研究人员指出，临界角条件\(\theta^* > \pi\)本质上是保证周期函数\(K\)、\(L\)在足够宽的带状区域解析，从而确保Fourier系数的指数衰减和级数超指数收敛。该条件具有几何解释，对应于Julia集在1附近的开角大于\(\pi\)，且对于所有概率生成函数\(P(z)\)，单位圆盘属于填充Julia集，因此\(\theta^* \geq \pi\)，额外要求\(\theta^* > \pi\)是合理的。对于具体例子，可直接构造Julia集验证条件。此外，近似公式(14)的快速计算依赖于系数\(A_n\)和周期函数值\(K(0)\)、\(L(0)\)的快速求取，后者可通过函数方程(15)、(16)的Taylor展开递推得到。

**结论（翻译自原文结论部分）：**
研究人员推导了带移民的Galton–Watson过程鞅极限密度的完整左尾渐近级数。研究人员证明该级数处处收敛，不仅限于小参数情形。这是关于带移民分支过程左尾渐近的首个完整结果。从该级数中还将得到一个良好、快速计算的密度近似。