基于有根正则树且采用多数更新策略的学习模型：收敛性与相变现象

《Advances in Applied Probability》：Learning models on rooted regular trees with majority update policy: Convergence and phase transition

　　摘要：我们研究在有根正则树上的社会学习模型。在该有根树$\mathbb{T}_{m}$中，每个节点恰好有m个子节点，每个时间步$t \in \mathbb{N}_{0}$时，智能体可以选择两种可用技术中的其一：B和R。设时间步t时位于$\mathbb{T}_{m}$中节点v的智能体所选择的技术为$C_{t}(v)$。初始时，$\{C_{0}(v)\,:\, v \in \mathbb{T}_{m}\}$是一组独立同分布的随机变量，其中$C_{0}(v)=B$的概率为$\pi_{0}$。在时间步t，位于节点v的智能体会进行一项实验，若$C_{t}(v)=B$，则实验成功的概率为$p_{B}$；若$C_{t}(v)=R$，则成功概率为$p_{R}$。若节点v的子节点为$v_{1}, \ldots, v_{m}$，则当所有满足$C_{t}(v_{i})=B$的子节点$v_{i}$的成功次数严格多于所有满足$C_{t}(v_{j})=R$的子节点$v_{j}$的成功次数时，位于节点v的智能体会将它们的技术更新为$C_{t+1}(v)=B$。若这两组成功次数相等，则智能体以1/2的概率将$C_{t+1}(v)$设置为B，否则$C_{t+1}(v)=R$。我们证明$\{C_{t}(v)\,:\, v \in \mathbb{T}_{m}\}$也具有独立同分布性，且$C_{t}(v)=B$的概率为$\pi_{t}$，此处序列$\{\pi_{t}\}_{t \in \mathbb{N}_{0}}$会收敛到函数$g_{m}$在[0, 1]区间内的某个固定点$\pi$。我们还证明，当$m \geqslant 3$时，存在一个$p(m) \in (0,1)$，使得当$p \leqslant p(m)$时，函数$g_{m}$仅有唯一固定点1/2；而当$p > p(m)$时，函数$g_{m}$有三个不同的固定点，分别为$\alpha$、1/2和$1-\alpha$，其中$\alpha \in [0,1/2)$。当$m=3$且$p_{B}=1$、$p_{R} \in [0,1)$时，我们证明函数$g_{3}$：(i) 当$p_{R} < \sqrt{3}-1$时有一个唯一固定点1；(ii) 当$p_{R} = \sqrt{3}-1$时有两个不同固定点，其中一个为1；(iii) 当$p_{R} > \sqrt{3}-1$时有三个不同固定点，其中一个为1。当函数$g_{m}$存在多个固定点时，我们还根据$\pi_{0}$的值指明了哪个固定点等于$\pi$。最后，对于$m=2$的情况，我们描述了在所有$p_{B}$和$p_{R}$取值下$g_{2}$的行为特征。