壁湍流中复现能量谱的速度场随机生成

《Journal of Fluid Mechanics》：Stochastic generation of velocity fields to reproduce the energy spectrum in wall turbulence

　　

摘要翻译：
利用粗糙壁湍流边界层中均匀动量区（UMZ）的空间分布和统计特性的实验测量，研究人员先前引入了一种随机模型，用于生成代表粗糙子层和对数区的二维模态速度场（Ehsani等，2024a，J. Fluid Mech., vol. 979, p. A12；2024b，vol. 999, p. A56）。该合成流场包含在流向方向上拼接的空间相关的阶梯状速度剖面，其中每个阶梯对应一个分隔UMZ的内部剪切层，且UMZ遵循与壁面附着涡一致的标度。在此，研究人员进一步扩展该模型，利用从先前发表的统计结果中随机生成的涡核，并视机会将其置于内部剪切层附近，从而引入小尺度涡旋运动。文中讨论了拉伸和分布涡旋的策略，以及扩展合成场空间分辨率以捕捉最小流动尺度的技术。针对实验室和大气环境的新合成场能够以合理精度再现二阶湍流统计量和惯性区大部分范围内的能量谱，对于风洞数据集，能够捕捉到指数衰减的过渡，直至 $\textit{k}_{1}\eta \sim 0.2$（其中$\textit{k}_{1}$为流向波数，$\eta$为Kolmogorov长度尺度）。长期目标是扩展和改进这种自下而上、统计参数化的粗糙壁湍流重构方法，为大涡模拟开辟新的壁面建模途径。

论文解读：壁湍流能量谱的随机生成模型研究

一、研究背景与动机

壁湍流是流体力学中的核心问题，其复杂的多尺度结构长期困扰着研究者。过去半个世纪，现象学研究表明涡旋结构聚合在壁湍流中普遍存在。近年来，均匀动量区（UMZ）的检测为理解这些结构的标度和组织提供了新视角。UMZ的典型特征是有限内部变率的流动区域沿流向相干平流，流向速度梯度集中在薄内部剪切层中。观测到的UMZ和剪切层的交替可理想化为一系列瞬时阶梯状速度剖面，这些剖面在空间和时间上连续演化。每个速度阶梯可垂直平移、断裂或变形，从而对光滑壁和粗糙壁湍流边界层的平均特性和变率做出统计贡献。

在之前的工作中，研究人员基于粗糙壁湍流边界层的实验测量，开发了随机模型生成二维模态速度场，以代表粗糙子层和对数区。该合成流场包含流向方向上拼接的空间相关阶梯状速度剖面，其中每个阶梯对应一个分隔UMZ的内部剪切层，UMZ遵循与壁面附着涡一致的标度。该模型能再现大尺度（流向尺度为2-3倍边界层厚度δ）和超大尺度运动（流向尺度为(10-15)δ）以及对数区中流向速度谱的-5/3 Kolmogorov标度区。然而，该二维随机模型的空间和谱分辨率有限，忽略了小尺度湍流，并低估了雷诺剪切应力。为克服这些局限，本研究提出模型细化方法，纳入涡核的生成和放置，以捕捉小尺度涡旋运动，扩展空间分辨率至Kolmogorov尺度，并提高模型对湍流统计量和能量谱的预测能力。

二、研究方法与关键技术

研究人员利用三个不同雷诺数的实验数据集：两个风洞实验数据集（m1和m2，完全粗糙条件下由水平钢丝网产生）和一个大气表面层（ASL）数据集（明尼苏达州农村雪覆盖近平坦场地，通过超大规模粒子图像测速（SLPIV）获取）。主要关键技术包括：（1）基于粒子图像测速（PIV）数据检测UMZ，通过流向速度直方图的局部极大值确定模态速度，局部极小值对应剪切层；（2）采用逆变换采样从UMZ厚度、模态速度、垂直速度的累积分布函数（c.d.f.）生成阶梯状速度剖面，并施加流向与垂直速度的Pearson相关系数以重现雷诺剪切应力贡献；（3）通过最大互相关将单个速度剖面拼接为二维相关模态速度场，形成低分辨率随机生成速度场（LR-Gen）；（4）采用修正Akima（MAkima）插值法将低分辨率场提高到接近Kolmogorov尺度（Δx_HR≈πη）；（5）基于Oseen涡模型参数化涡核，从PIV数据中提取涡核半径、最大方位角速度和流向-垂直速度相关系数的统计分布，用偏斜高斯、对数正态-帕累托和指数分布拟合，并采用逆变换采样生成随机涡核；（6）通过Cholesky分解变换涡核速度分量，赋予其非零相关系数以贡献雷诺剪切应力；（7）在HR-SGVF中计算涡量强度λ_ci，识别剪切层簇，通过十分位匹配将生成涡核放置于剪切层中，并添加近壁方形涡核以修正壁面边界条件；（8）应用弱多元高斯核平滑锐利梯度，模拟粘性耗散效应。

三、研究结果

1. 平均速度、方差和雷诺剪切应力
模型平均流向速度剖面与实验测量和理论对数律在对数区和粗糙子层内紧密吻合。低分辨率模型（LR-Gen）在近壁区高估平均速度，而引入近壁涡核后，HR+VorX-Gen在中粗糙度范围内（对于风洞数据集z/z₀≈15-30，对于ASL z/z₀≈350-600）与理论对数律和测量值更好重合。二阶统计量方面，LR-Gen过高的流向速度方差在加入近壁涡后被抑制，与风洞和大气测量更一致。雷诺剪切应力在加入剪切层涡和近壁涡后显著增加，尤其是风洞数据集，与近壁测量值更好吻合。但流向和垂直速度方差在z/z₀≈20-60范围内略高估。在高海拔处，所有方差统计量回归至LR-Gen值，垂直速度方差和雷诺剪切应力仍低估，归因于远离壁面处剪切层数量减少，缺少区域内部小尺度贡献。生成的流向速度方差呈对数衰减，符合附着涡模型预测，Townsend-Perry常数A=1.45和1.46（m1和m2），略高于实验值A=1.24。二阶结构函数D₁₁在对数区内呈线性增长，进一步证实附着涡特征。

2. 流向速度功率谱
HR+VorX-Gen谱在从生产区到惯性区的整个波数范围内与热线测量紧密吻合。在粗糙子层内（z/δ≈0.02-0.04），LR-Gen高估生产区能量，近壁涡的加入平滑了场，衰减了生产区方差，使模型与观测一致。惯性区中，由于模态速度剖面的变率和剪切层位置与强度的轻微不匹配，模型谱近似呈-5/3衰减。耗散区内，从HR-Gen到HR+VorX-Gen的改进表明，仅扩展空间分辨率不足以复现正确的尺度相关方差，涡旋运动是关键成分。HR+VorX-Gen在耗散区与实验谱较吻合，但耗散截止比测量谱更平缓，可能因涡核半径分布未完全解析Kolmogorov尺度，且高斯滤波器不能完全模拟粘性。对于ASL数据集，模型谱在近壁位置（z/δ=0.01）与观测和理论-5/3衰减吻合，但在较高位置（z/δ=0.03）惯性区高波数端能量中等程度低估，归因于剪切层数量减少和涡旋密度降低。

四、讨论与结论

对ASL谱缺陷的讨论表明，多个因素影响模型表现。ASL中涡旋性质由风洞数据推断的分布确定，但分布以ASL特定Taylor微尺度和摩擦速度标度。ASL中涡旋数量显著少于风洞，因为每单位高度剪切层数较少，这直接源于UMZ厚度的z标度，在ASL中UMZ尺寸大数个量级。每Taylor微尺度面积的正向和反向涡密度峰值，风洞约为0.3（z/δ≈0.04），ASL降至约0.06（z/δ≈0.02）。缺乏剪切层内的涡旋导致远离壁面处垂直速度方差和uw方差低估。尽管存在局限，模型仍能合理再现一阶和二阶统计量及能量谱，证明湍流统计量可作为壁标度流动结构拼接的随机结果来理解和预测，与附着涡假设一致。

研究结论表明，将适当变换的Oseen涡核纳入随机生成的模态速度场，有效改善了雷诺剪切应力和垂直速度方差，并将模态速度模型从惯性区扩展至Kolmogorov尺度，使模态场能有效复现完整的湍流谱。模型的主要优势在于其简洁性，参数以无量纲形式提供，可望推广至其他数据集。未来计划结合UMZ剖面生成和涡生成，仅利用少量参数（δ、u_τ、z₀、λ_T）的概率分布生成合成速度场，用于大涡模拟的初始边界条件。但需注意，涡旋变量的分布参数需在更广泛条件下进一步验证，且模型需从二维扩展至三维。