双季节性向量自回归过程的贝叶斯建模与预测

《Mathematics》：Bayesian Modeling and Forecasting of Double Seasonal Vector Autoregressive Processes

　　

在实际应用中，广泛存在的多元时间序列展现出两个同时存在且相互作用的季节性周期，例如每小时电力需求、日内金融价格以及亚日交通流量。现有的针对向量自回归(VAR)过程的贝叶斯框架最多只能容纳一个季节性周期，没有为高频多元数据中常见的双季节性情形建立成熟的方法论。本文通过引入双季节性向量自回归(DSVAR)模型填补了这一空白，该模型将单变量双季节性文献扩展到一致的多元设定中。这些模型通过一个乘法三重自回归算子定义，该算子自然地容纳了第二个季节性周期。在高斯误差假设下，研究人员推导了一个全面且解析方便的贝叶斯框架，用于DSVAR过程的建模与预测。研究人员考虑了两种先验族：一个共轭矩阵正态-威沙特先验(matrix normal-Wishart prior)，可产生精确的闭式推断；以及一个Jeffreys无信息先验(Jeffreys’ non-informative prior)。在每种先验下，研究人员推导了系数矩阵的边际后验分布为矩阵t分布(matrix-t distribution)，精度矩阵的边际后验为威沙特分布(Wishart distribution)。此外，研究人员推导了未来观测的预测分布为精确解析形式的多元t分布(multivariate-t)，连同其最高预测密度区域。该方法通过蒙特卡洛模拟实验进行验证，并应用于捷克共和国和德国的每小时电力负荷——两个物理互联的市场，具有显著的日内和周内季节性周期。与标准VAR、单季节性VAR以及单变量季节性AR模型的基准比较，确认了所提出的DSVAR框架在短期和长期预测中均能带来显著的预测增益。

**论文解读：双季节性向量自回归过程的贝叶斯建模与预测**

**研究背景与问题**

在经济学、工程学和环境科学中，许多现实系统产生高频观测数据，呈现出多个时间尺度上的季节性规律。例如，每小时电力需求不仅受24小时日内行为周期影响，还受168小时周内工作日与周末差异的驱动。这种双重季节性结构在日内金融价格、呼叫中心到达率、城市交通流量及气象测量中同样普遍存在。单变量双季节性建模已有较好发展，如泰勒(Taylor)引入的双季节性指数平滑模型及其ARMA对应模型，以及阿明(Amin)等人提出的贝叶斯估计技术。然而，在多元向量自回归(VAR)框架下，现有方法最多只能处理单一季节性周期，通常通过固定季节性哑变量或单一季节性滞后块来近似，而非通过原理性的乘法自回归算子。因此，对于高频多元数据中常见的双季节性情形，缺乏一个解析可处理的贝叶斯方法论。本文旨在填补这一空白，通过引入双季节性向量自回归(DSVAR)模型，提供完整的贝叶斯建模与预测框架。

**研究人员开展的研究与结论**

研究人员正式定义了DSVAR模型，通过一个乘法三重算子分解，将其扩展为七组结构化回归变量，并建立矩阵回归形式。在高斯误差假设下，研究人员推导了共轭矩阵正态-威沙特先验和Jeffreys无信息先验下系数矩阵的精确边际后验分布（矩阵t分布）和精度矩阵的后验分布（威沙特分布），以及一步向前预测分布的精确解析形式（多元t分布）及其最高预测密度区域。通过蒙特卡洛模拟实验验证了估计和预测的准确性，并应用于捷克共和国和德国每小时电力负荷数据，证实DSVAR模型在短期和长期预测中均优于标准VAR、单季节性VAR和单变量季节性AR基准模型。该论文发表在《Mathematics》。

**主要关键技术方法**

研究人员主要采用以下关键技术方法：首先，通过乘法三重自回归算子定义DSVAR模型，并利用线性化处理将交叉乘积块视为无约束自由参数，从而将模型转化为精确的线性高斯回归形式。其次，基于共轭矩阵正态-威沙特先验，利用贝叶斯矩阵回归理论推导出后验分布和预测分布的闭式解析表达式，无需马尔可夫链蒙特卡洛采样。此外，通过蒙特卡洛模拟实验评估不同参数配置下的估计和预测精度，并应用Diebold-Mariano检验比较预测准确性。样本数据来源为ENTSO-E透明度平台，覆盖捷克共和国和德国2024年5月20日起九周的每小时电力负荷数据。

**研究结果**

**2. 双季节性向量自回归(DSVAR)模型**
研究人员通过定义乘法三重滞后多项式算子，将单季节性VAR模型扩展为DSVAR模型，其展开式包含七组结构不同的滞后预测变量。通过线性化处理，将交叉乘积块视为自由参数，从而将模型转化为多元线性回归形式，为后续共轭贝叶斯分析奠定基础。

**3. DSVAR模型的后验分析**
在共轭矩阵正态-威沙特先验下，研究人员推导出系数矩阵的边际后验为矩阵t分布，精度矩阵的边际后验为威沙特分布，并给出后验均值和方差解析式。在Jeffreys先验下获得平行结果。这些闭式后验分布使得无需近似即可进行精确推断。

**4. DSVAR模型的预测分析**
研究人员推导了一步向前预测分布为精确的多元t分布，并给出预测均值和方差，以及最高预测密度区域。由于模型纯自回归结构，预测原点处的回归变量完全由观测数据确定，因此预测密度无需线性化近似。

**5. 模拟研究**
通过四个参数配置的蒙特卡洛实验，研究人员验证了贝叶斯估计和预测的准确性。结果表明：后验均值接近无偏，系数矩阵估计的均方根误差(RMSE)很小，精度矩阵估计存在有限样本正偏倚，但随样本量增加而减小。多步预测误差随预测步长增加而增大，但双季节性结构在长周期提供信息优势。先验敏感性分析表明，在中等样本量下后验和预测对先验选择不敏感。

**6. 应用于每小时电力市场**
对捷克共和国和德国九周每小时电力负荷数据，研究人员拟合了DSVAR(1,2,1,24,1,168)模型。残差分析显示模型充分捕捉了日和周季节性动态。在168小时测试集上，DSVAR模型在一步和168步预测中均优于标准VAR、单季节性VAR和单变量季节性AR基准，RMSE和MAPE显著降低，且Diebold-Mariano检验确认统计显著性。

**7. 结论**
本文引入并分析了DSVAR模型，专门用于同时具有两个季节性周期的多元时间序列。核心理论贡献在于精确的贝叶斯分布结果：在共轭先验下，系数矩阵后验为矩阵t分布，精度矩阵后验为威沙特分布，一步预测分布为精确多元t分布。蒙特卡洛模拟和电力负荷实证应用证实了DSVAR模型在预测上的优越性。研究结论部分指出：该框架在双季节性多元时间序列建模中提供了准确且解析可处理的贝叶斯方案，但存在高斯误差假设、固定季节性周期、大维度计算成本等局限性，未来工作可扩展至时间变系数、学生t误差分布以及与非参数方法的比较。