物理信息神经网络方案用于三能级非厄米量子系统中的绝热捷径

《Entropy》：A Physics-Informed Neural Network Scheme for Shortcuts to Adiabaticity in Three-Level Non-Hermitian Quantum Systems

　　

研究人员提出了一种物理信息神经网络（PINN）方案，用于设计三能级非厄米量子系统中的绝热捷径。PINN被用于求解一个逆控制问题，其中状态振幅和辅助驱动场同时从薛定谔残差、初始和目标布居数约束以及控制脉冲上的概率守恒约束中学习。学习到的补偿场抵消了中间态的损失，并在开放系统设置中实现了高保真度的布居数反转。重要的是，所施加的概率守恒被视为沿学习轨迹的辅助约束，而不是非厄米哈密顿量的内在属性。在这种约束演化下，在获得的状态上评估的哈密顿量期望值在数值精度内保持为实数。数值模拟和通过拟合控制场进行的独立传播验证了布居数反转，并在耦合强度和耗散率范围内表现出强大的泛化能力，这通过为每个参数集独立重新训练网络得到验证。结果表明，当将控制动力学和物理约束明确纳入损失函数时，PINN为非厄米绝热捷径协议提供了一种灵活的逆向设计工具。

绝热捷径（STA）在量子控制中因效率和可靠性而具有显著优势，但传统方法如过渡无量子驱动、Lewis-Riesenfeld不变量等在设计非厄米（NH）系统时面临挑战。非厄米哈密顿量因展现出奇偶时间对称性及奇异点（EP）等独特谱性质，在量子光学、拓扑光子学等领域具有广阔前景，然而其非幺正演化导致态矢模长变化，使得设计STA协议时需额外处理概率归一化、目标转移和补偿控制场。三能级系统作为多能级干涉和耦合效应的最小模型，对研究非厄米系统中的绝热捷径至关重要，但求解相关微分方程在传统数值方法中常存在困难。物理信息神经网络（PINN）通过将控制方程和物理约束嵌入损失函数，为逆向设计提供了新途径。本研究旨在利用PINN同时学习状态振幅和辅助驱动场，实现三能级非厄米量子系统中的高保真度布居数反转，并验证其泛化能力，论文发表在《Entropy》。研究人员通过构建STAPINNs框架，将动力学残差、初始条件、目标布居数和概率守恒约束纳入损失函数，训练神经网络以逼近非厄米薛定谔方程的解，并得到实值辅助驱动场。数值实验表明，该方法能有效抵消中间态耗散，实现稳定布居数反转，且在不同耦合强度和耗散率下保持高保真度，证明了PINN作为非厄米STA协议逆向设计工具的灵活性和有效性。

研究人员为开展研究用到的主要关键技术方法包括：利用全连接反向传播神经网络（BP神经网络）构建PINN模型，网络含8个隐藏层、每层100个节点，输入层为时间t，输出层7个节点（6个状态振幅的实部和虚部，1个实值辅助驱动场幅值）；采用Allen-Eberly（AE）模型参数化泵浦脉冲和斯托克斯脉冲，并将时间数据归一化处理；损失函数由四项组成：薛定谔残差损失、初始条件损失、目标边界布居数损失和概率守恒损失，通过PyTorch的MSELoss评估，自动微分计算导数；训练时从50个采样点批次输入，优化网络参数直至损失收敛。

### 无驱动验证
通过在不施加额外驱动场的情况下训练STAPINNs，得到布居数转移曲线，并与Mathematica求解结果对比，两者一致，验证了STAPINNs对三能级量子系统演化的数值模拟正确性。

### 布居数反转实现
在施加辅助驱动场后，训练STAPINNs得到布居数转移曲线，显示在时间中点处实现布居数反转，且稳定保持至最终时刻。将学习到的驱动函数代入原微分方程用Mathematica求解，结果高度吻合，证实了STAPINNs方法能同时获得有效驱动场并实现高保真度反转，且曲线表现出关于时间中点的反演对称性。

### 哈密顿量期望值的实数性
沿约束轨迹计算哈密顿量期望值，其虚部在数值精度内恒为零，实部曲线关于时间中点对称，表明在概率守恒约束下期望值保持实数，验证了约束设计的合理性。

### 训练动态与收敛性
展示不同训练轮次（epoch = 1000, 2000, 7000）下各损失分量的演变：初始条件损失、动力学残差损失、边界损失和概率守恒损失均随训练稳步下降，总损失在7000轮后降至10^-4以下，表明网络逐渐满足物理约束。

### 驱动函数与布居数的对称性
不同训练轮次下获得的驱动函数曲线在7000轮时呈现关于时间中点对称，对应的布居数转移曲线也表现出状态间的反演对称性，说明训练充分后网络学习到对称解。

### 泛化能力：耦合强度依赖性
独立重新训练网络以适配不同耦合强度Ω₀（0.5, 1.0, 1.5），所得布居数反转保真度均超过0.999，表明方法在广泛耦合强度范围内无需调整网络结构即可获得理想解，验证了泛化能力。

### 驱动函数的解析拟合
对学习到的离散驱动函数进行傅里叶级数和多项式展开，得到解析形式。代入原微分方程用Mathematica求解后，布居数转移曲线与原始结果高度一致，虽存在微小偏差，但均实现布居数反转，进一步验证了驱动函数的正确性，且傅里叶级数展开便于实验实现（如任意波形发生器）。

### 泛化能力：耗散率依赖性
定义保真度为目标态|3>的最终布居数，独立重新训练网络以适配不同耗散系数γ（从0.01至0.2），结果显示保真度随γ增大缓慢下降，但在γ增大10倍时仍高于0.99，增大20倍时高于0.93，表明STAPINNs在宽耗散范围内具有强泛化能力，无需针对参数调整网络架构。

在讨论部分，研究人员指出学习到的辅助驱动场可通过傅里叶级数展开为谐波叠加，便于实验生成，带宽和幅度限制可通过截断高频项缓解，且泛化测试表明方案在多种物理条件下仍保持高保真度，为从数值脉冲到实验可行控制场提供了实用路径。研究结论翻译如下：在本文中，研究人员提出了一种物理信息神经网络方案，用于三能级非厄米量子系统中绝热捷径的逆向设计。PINN通过最小化薛定谔残差、初始条件损失、边界布居数损失和概率守恒损失，同时学习状态振幅和辅助驱动场。修正后的动力学方程包含耗散贡献，确保哈密顿量、PINN训练目标与独立传播验证的一致性。数值实验表明，学习到的补偿场能够驱动高保真度布居数反转。为评估所提框架的泛化能力，研究人员为每个选定的物理参数值独立重新训练网络，结果表明该方法在测试的耦合强度Ω₀和耗散系数γ范围内持续产生高保真度控制脉冲，证实了其在不同参数区间内的适应性。该过程展示了逆向设计框架应用于新参数设置时的灵活性，而非特定固定脉冲形状的鲁棒性。所施加的概率守恒约束使沿学习轨迹的哈密顿量期望值在数值精度内保持为实数，但研究人员并不声称这一轨迹级结果确立了完整哈密顿量的伪厄米性或所有可观测量下期望值的实数性。观察到的布居数动力学中的近似时间反演对称性源于所选脉冲对称性和哈密顿量结构。这些结果表明，PINN为非厄米STA协议提供了一种灵活且有效的约束逆向设计工具。未来工作将包括与传统STA和最优控制方法的系统比较、更详细的收敛性分析，以及将当前方法扩展到多能级和多体开放量子系统。