利用分数功率快照变换的动态模态分解方法预测熔盐反应堆中的核素数密度

《Annals of Nuclear Energy》：Nuclide number density prediction in molten salt reactors using dynamic mode decomposition with fractional-power snapshot transformation

　　•一种基于分数幂快照变换的DMD框架被开发用于核素密度预测。•通过引入与核素相关的变换，其精度优于原始DMD及全局变换。•在有无Kr/Xe去除的MSRE耗尽分析中，该方法降低了核素误差和keff偏差。

引言
燃耗分析旨在描述核燃料中核素组成的时间演化过程，通常通过控制核素产生与耗尽的Bateman方程来建立模型。由于这些方程的复杂性，人们广泛使用基于矩阵指数的方法，如切比雪夫有理逼近法（CRAM）（Pusa和Leppanen，2010；Isotalo和Pusa，2016；Zhang等人，2019），只要系数矩阵已知，这类方法就能高效求解耗尽方程。然而在实际反应堆计算中，由于中子通量及相关反应率会随核素组成的变化而改变，因此必须根据中子输运结果不断更新耗尽算子。这就意味着，要实现精确的输运-耗尽分析，就需要在整个燃耗过程中反复进行输运计算。因此，主要的计算负担并不在于求解耗尽方程本身，而在于反复获取构建这些方程所需的、与输运过程相关的量，尤其是在使用高精度蒙特卡罗输运方法时。蒙特卡罗输运方法因能够处理复杂几何结构、连续能量核数据以及详细的反应率信息，且近似程度较低，而被广泛用于高精度反应堆物理计算。对于需要精确反应率以描述不断变化的燃料组成的MSR耗尽分析而言，这类方法非常有用。不过，蒙特卡罗输运计算需要大量的粒子历史记录才能降低统计不确定性，因此在输运-耗尽耦合过程中反复进行蒙特卡罗计算会带来较高的计算成本（Romano等人，2015）。

为加速燃耗计算，此前人们尝试过预先预测中子通量或反应率，以此减少输运计算的频率。常见的方法包括预测-校正方案、线性外推法，以及针对钆等可燃吸收剂的更高阶校正方法（Yamamoto等人，2009；Carpenter和Wolf，2010；Zhang等人，2024；Lee等人，2013；Maria，2016）。还有一种基于扰动的无输运通量预测方法也被提出（Johnson和Kotlyar，2020）。尽管这些方法能够减轻部分计算负担，但它们通常基于有限数量变量的外推，难以准确描述耗尽过程中大型核素系统的耦合演化。

降阶建模为加速计算提供了另一种途径。降阶建模旨在通过低维子空间或由高精度数据构成的少数主导模式，来近似描述高维系统的演化过程。一旦建立了降阶模型，就可以以远低于反复求解原始全阶问题的成本来预测或重构未来状态。在耗尽分析中，这意味着可以从之前生成的快照中估算出核素数密度、燃耗矩阵、中子通量或与反应率相关的量，从而减少频繁进行高精度输运计算的必要。在反应堆应用中，正交分解和动态模态分解已被用于燃耗相关量的重构或预测（Antoulas等人，2015；Dominesey和Ji，2022；Chi和Yahui Wang Ma，2023；Mayorga等人，2022；Chatterjee，2000；Tissot等人，2014；Schmid和Sesterhenn，2010；Castagna等人，2020；Abdo等人，2019）。正交分解已被用于重构核素数密度、燃耗矩阵和多群通量（Castagna等人，2020），而动态模态分解则被应用于TRIGA反应堆实验中的同位素演化数据（Abdo等人，2019）。这些研究展示了降阶模型在描述耗尽动力学方面的潜力。然而，当目标是直接预测大型核素系统时，核素密度数据强烈的多尺度特性仍然是一个重大的数值挑战。

在我们之前的工作中，我们提出了一种基于DMD的方法，用于预测压水反应堆中的时空核素数密度（Xue等人，2025；Shuai等人，2024），初步建立了将DMD与传统的输运-燃耗耦合计算相结合的框架。不过，该方法在预测大规模核素系统时存在局限性，精度也仅为中等水平。为解决局部偏差问题，我们的团队引入了核素分类机制，为DMD预测生成锕系元素快照，并将其应用于压水反应堆组件燃耗问题。后来，观察到燃耗过程中中子通量和核素截面呈平滑演化趋势，我们又开发了用于预测截面和通量等燃耗参数的DMD方法（Xue等人，2025）。这种方法能够利用先前生成的数据预测与燃耗矩阵相关的量，从而减少重复进行输运计算的必要，并在测试案例中提升了预测精度。Zhang（Zhang等人，2025）通过嵌入基于核素数密度残差的约束的DMD降阶模型，重构了输运-燃耗耦合过程，在含钆轻水反应堆问题中实现了显著的精度提升。

尽管取得了这些进展，但将标准DMD直接应用于核素演化预测仍面临明显的数值难题。反应堆耗尽过程中的核素数密度跨度很大，而且不同锕系元素和裂变产物的时间变化差异显著。如果直接将这些原始快照用于DMD分析，巨大的尺度差异会削弱低秩近似效果，导致浓度低但具有重要动态意义的核素的表征能力下降。一种实用的解决方法是在进行DMD分解之前对快照数据进行预处理，从而压缩数据的动态范围，同时保留其主要的时间特征。在分解之前将原始状态变量映射到新的可观测量空间，这一做法在概念上与Williams等人最初提出的扩展DMD框架一致（Williams等人，2015）。

基于扩展DMD的底层理念，本研究探讨了针对MSR耗尽问题、采用分数幂快照变换的基于DMD的核素数密度预测方法。本研究的主要贡献有三点：首先，系统地评估了全局分数幂预处理对DMD预测的影响，而不仅仅将比较范围限制在原始DMD上；其次，引入了一种基于极值比的核素相关变换，以便根据各核素的时间变化范围调整幅度压缩程度；第三，从整体预测误差、代表性核素的误差以及有效增殖因子的偏差这三个方面，对该方法在MSRE耗尽案例和Kr/Xe去除案例中的表现进行了评估。这些结果阐明了在特定运行条件下，快照表示方法在提升基于DMD的核素演化预测精度和稳健性方面的作用。

本文的结构如下：第2节阐述燃耗计算理论以及带有快照变换的动态模态分解算法；第3节展示数值测试结果；最后，第4节总结本研究得出的结论。

章节片段
核素耗尽理论
在反应堆运行过程中，由于受到中子通量辐照以及材料放射性衰变的影响，核燃料的组成会发生变化。燃耗计算就是为了确定燃料组成的时间演化过程。核反应堆系统中的核素演化受中子诱发反应和放射性衰变的控制，可通过燃耗方程来描述：
$\frac{dN_i(t,r)}{dt}=-\lambda_i+\int_0^\infty\sigma_{a,i}(E)\phi(t,r,E)dE·N_i(t,r)+\sum_j b_{j,i}\lambda_jN_j(t,r)+\sum_k\int_0^\infty\sigma_{k,i}(E)\phi(t,r,E)dE·N_k(t,r)+S_i(t,r)$
其中$N_i(t,r)$为...

燃耗计算代码
MACT（Zhang等人，2025）是一种用C语言编写的专用代码，用于熔盐反应堆的耗尽和源项分析。与为固体燃料系统开发的传统耗尽分析工具不同，MACT能够处理液体燃料运行特有的现象，包括连续加料、在线后处理以及由流动驱动的核素输运。为描述加料过程，MACT包含了相对型、恒定型以及随时间变化的多项式和指数型加料模型。

伪衰变

结论
本研究探讨了利用分数幂快照变换、基于DMD的熔盐反应堆核素数密度演化预测方法。结果表明，在进行DMD分析之前对快照矩阵进行预处理，可以有效提升具有强多尺度特征的耗尽数据的预测精度。与以往基于DMD的耗尽预测研究相比，本工作有一个更具体的发现：快照数据本身的表示方式非常重要。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了以下机构的资助：中国科学院特别研究助理项目；基于同步辐射方法的熔盐反应堆中难溶裂变产物迁移特性研究项目（E4559610）；百兆瓦级示范反应堆中钍-铀燃料循环的运行效率与模式研究项目（E4559608）。

张云飞|郭健|朱贵峰|赵学超|颜睿|邹阳|张倩