基于L-矩的简化五次HPM方法在非平稳非高斯地面运动作用下高土石坝的动态可靠性分析

《Engineering Structures》：Dynamic reliability analysis of high earth-rockfill dams under non-stationary and non-Gaussian ground motions using an L-moment-based simplified quintic HPM

　　摘要：记录到的地面运动具有非高斯特性。然而，捕捉随机地面运动的时频非平稳性及重尾非高斯特性仍然是一项挑战。鉴于通常情况下，远场地震加速度的偏度可忽略不计，而峰度却很高，本文提出了一种基于L矩的简化五次赫米特多项式模型。该模型旨在准确描述对称重尾分布，同时提升参数估计的数值稳定性。基于所提出的模型，还开发了一种高效的非迭代方法，用于估算与潜在高斯过程相关的演化功率谱密度。该模型被用于模拟完全非平稳的非高斯地震激励。研究结果表明，所提出的方法能够很好地捕捉重尾非高斯统计特性及目标相关结构。此外，还利用直接概率积分方法对某实际大坝的时变可靠性进行了评估，结果表明地震输入的非高斯特征会显著影响大坝的动态可靠性。

引言：外部激励的随机性以及结构参数的变化是导致结构随机性的主要因素，而在地震工程领域，外部激励的随机性主要表现为地震激励的随机性。由于加速度记录具有时频非平稳性，随机过程模型成为模拟随机地面运动的合理方法。自Priestley定义了演化非平稳随机过程以来，非平稳地面运动模型在地震工程中受到了越来越多的关注。由于其坚实的理论基础、概念上的简洁性以及较强的稳健性，谱表示法已被众多学者广泛采用。通过对记录到的地震加速度时间序列进行统计分析，已有不少研究提出了功率谱密度模型。通过引入调制函数，可以得到相应的演化功率谱密度，从而实现基于谱表示法的非平稳随机地震输入的模拟。然而，传统的谱表示法产生的仍是高斯随机过程，这意味着其应用隐含着地面运动边际分布为高斯的假设。一些研究表明，虽然典型远场地震加速度的偏度往往可以忽略，但其对应分布却具有明显的重尾特征（即峰度远高于高斯分布）。Gusev指出，部分实际记录的地面运动需要用非高斯重尾分布来描述。Radu和Grigoriu的研究显示，在不同土壤条件下的太平洋地震工程研究数据集中，地面运动的统计峰度系数在11.3到21.3之间。因此，开发一种能够模拟具有重尾边际分布的非平稳随机地面运动的谱表示法方法仍是一项挑战。目前，基于谱表示法的非高斯过程生成方法可分为两大类。一类是基于平移过程的迭代方案，代表性方法如Shields和Deodatis提出的基于谱表示法的迭代平移近似法，该方法能够生成一般的演化非平稳非高斯过程。不过，迭代方法往往耗时较长，不利于在实际工程中的应用推广。另一类则采用三次赫米特多项式模型，该模型的多项式形状参数是通过匹配目标过程的前四个中心矩来确定的。为避免求解非线性方程组，一些研究者开发了特定条件下的多项式系数近似表达式。Zhang等人通过试算建立了统一赫米特多项式，该方法既可用于硬化过程，也可用于软化过程，并已被广泛应用。Lu等人则将统一赫米特多项式框架用于生成非高斯随机过程，并推导出了显式的自相关函数映射关系。由于求解非线性方程的难度较大，现有研究主要以三次赫米特多项式为基础。然而，三次赫米特多项式往往无法准确描述强地面运动的显著重尾行为，因此需要更高阶的多项式模型。一个关键问题是，对于重尾分布，较高阶的中心矩在数学上会发散或出现数值不稳定现象，因此建立稳定且精确的高阶赫米特多项式以及单调的自相关函数变换模型仍是一项重大挑战。尽管在非高斯过程模拟方面已取得了一定进展，但针对非高斯地震激励下工程结构的可靠性评估研究仍相对较少。Xu等人利用功率谱迭代方案生成了非高斯地震输入，研究了非线性结构的随机动力响应及可靠性。Lan等人则应用谱表示法模拟了具有空间变异性的多点随机地面运动，同时采用统一赫米特多项式模型来描述非高斯特性，并对一座长跨度桥梁的地震易损性进行了评估。上述研究虽考虑了地震的非高斯特性，但却忽略了频域中的非平稳性。其主要原因在于，模拟完全非平稳且非高斯性的地震输入本身就极具挑战性，现有的有效模拟方法仍然有限。为解决上述问题，本文提出了一种基于L矩的简化五次赫米特多项式模型，通过L矩确定多项式系数，借助稳定的线性方程组，从而准确描述地面运动的重尾非高斯特性。同时，还建立了一个具有明确适用范围的完整自相关函数变换模型。此外，还提出了一种高效的方法用于估算潜在高斯过程的演化功率谱密度。另外，还引入了正交分解技术以加速谱表示过程，从而实现非平稳非高斯地震输入的高效模拟。在该框架下，通过直接概率积分方法对在不同边际分布假设下的大坝在地面运动作用下的可靠性进行了评估。研究框架如图1所示。

简介：设Z(t)为一个均值为μ(t)、标准差为σ(t)的非高斯随机过程，其标准化随机过程记为ZS(t)。根据赫米特多项式展开式，可建立ZS(t)与标准高斯随机过程US(t)之间的近似关系：ZS(t)=Z(t)?μ(t)σ(t)≈κ(t){?1[US(t)]+∑i=2Nηi+1(t)?i[US(t)]}，其中?i[US(t)]为i阶赫米特多项式，N为展开项的数量，κ(t)和ηi(t)为形状系数。

基于正交分解的谱表示法：一旦估算出演化功率谱密度，就可以通过谱表示法来模拟潜在的高斯过程。在随机地面运动模拟中，常用的谱表示公式如下：U～S(t)=2∑k=0Nω?12S～G(kΔω,t)Δωcos(kΔωt+φk);Δω=ωu/Nω，其中ωu表示截止频率，Nω表示角频率采样点的数量，φk为在[0,2π]范围内均匀分布的随机相位。当前框架中公式(31)的主要限制在于其直接的数值实现难度。

通过直接概率积分法进行随机动力分析：在概率守恒框架下，响应变量Y(t)和随机输入向量Θ的概率密度函数pY(y,t)和pΘ(θ)满足以下关系：∫ΩYpY(y,t)dy=∫ΩΘpΘ(θ)dθ。Y(t)和随机向量Θ的联合概率密度函数pYΘ(y,θ,t)可通过求解方程(39)来获得：?pYΘ(y,θ,t)?t+Y?(θ,t)?pYΘ(y,θ,t)?y=0。方程(39)的初始条件为：pYΘ(y,θ,t0)=δ(y?y0)pΘ(θ)，其中δ(?)为狄拉克δ函数。

模型参数：本节以实际大坝——汝梅坝为例，研究其在非高斯地震激励下的结构可靠性。该大坝的坝顶高程为2907.00米。图3展示了包括材料区域和关键几何尺寸在内的二维有限元网格。该模型被离散为15,310个二维平面应变实体单元，共有15,382个节点。基岩被建模为密度为2600千克/立方米的线弹性材料。

讨论：为明确所提框架的范围及数值研究结果的适用性，下文将探讨其主要局限性、工程意义以及未来改进的方向。(1)所提出的随机地面运动模型的适用性与局限性。本研究提出的简化五次赫米特多项式模型主要适用于具有对称或近似对称重尾边际分布的随机地面运动。该模型具有零偏度特性。

结论：针对现有三次赫米特多项式模型的不足，本文提出了一种新的赫米特多项式模型，用于模拟时频非平稳且重尾的非高斯随机地面运动。通过引入L矩，解决了高阶赫米特多项式系数难以获得的难题，同时简化了高阶赫米特多项式，使得完整的自相关函数变换模型能够更易于构建。此外，还提出了一种非迭代的演化功率谱密度估算方法，以避免高昂的计算成本。

作者贡献说明：Jun Liu负责写作——审阅与编辑、可视化、验证工作；Bin Xu负责验证、监督、资源协调、项目管理及方法论工作；Rui Pang负责研究调查、资金申请、形式分析、数据整理及概念构思工作；Dianjun Zhu负责写作——审阅与编辑、方法论工作；Mingyang Xu负责写作——审阅与编辑、软件应用及方法论工作；Haoyu Yao负责写作——审阅与编辑、初稿撰写及方法论工作。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号为52479094、52379117、52279096、52279125）以及辽宁省科技计划联合计划（2023JH2/101700339）的支持。在此对这些资助表示衷心的感谢。

Haoyu Yao|Mingyang Xu|Dianjun Zhu|Rui Pang|Bin Xu|Jun Liu中国大连理工大学基础设施工程学院，大连116024