利用代理模型的混合非侵入式局部/全局稳健优化方法

《Finite Elements in Analysis and Design》：Hybrid non-intrusive local/global approaches for robust optimization leveraging surrogate models

　　

• 提出了一种用于稳健设计的非侵入式局部/全局耦合方法（non-intrusive local/global coupling）。
• 局部/全局算法的特性使得一种生成元模型（metamodel）训练数据的低成本策略得以实现。
• 混合代理模型（hybrid surrogate model）能够高效传播不确定性。
• 两级多保真代理模型（two-level multifidelity surrogate model）加速了稳健优化。
• 完全非侵入式框架实现了快速有效的设计分析。

工业结构通常由相互关联的多层次模型描述，分析常采用自上而下的顺序流程，其中局部建模不确定性对全局性能的影响通常依赖安全系数进行粗略考虑。然而，局部变异性，如连接类型、几何构型或细尺度行为，可能导致过于保守的设计，并因反复重新设计而增加成本。传统子模型方法虽能对局部关键区域进行低成本重分析，但受限于纯自上而下的性质，无法反映局部修改对全局响应的影响，可能导致跨尺度的显著误差和非保守决策。为此，研究人员提出了一种在标准有限元框架内，面向稳健设计（robust design）的非侵入式局部/全局耦合策略，旨在显式纳入局部不确定性，并在设计早期阶段进行快速稳健优化。该研究发表于《Finite Elements in Analysis and Design》。

该研究的核心挑战在于高效传播跨尺度不确定性。传统的蒙特卡洛方法需要大量模型评估，对于大规模多尺度模型而言计算成本过高。虽然已有基于摄动的方法适用于子模型，但仅限制于小变异系数。为克服这些限制，研究人员构建了混合代理模型策略：在局部尺度采用多项式混沌展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）表征随机响应，在全局尺度采用克里金（kriging）对PCE系数随设计变量的变化进行插值。由于克里金提供均方误差（Mean Square Error, MSE）估计，可指导自适应采样；同时，非侵入式局部/全局耦合算法允许将多次不确定性求解的全局问题合并为多右手侧问题，从而显著减少计算量。此外，研究人员进一步引入多保真策略，利用Evofusion融合低保真和高保真数据，加速优化收敛。

在数值验证中，研究人员考虑了一含孔钢板在单向拉伸下的二维问题。局部不确定性包括孔的位置（dx, dy）和半径（dR），均服从均匀分布且变化幅度达40%。设计变量为加强筋的等效刚度参数E₁，其取值范围为200至1000 GPa。稳健优化目标为最小化最大Von Mises应力σ_VM的均值μ与标准差σ。结果显示，名义设计（孔居中，E₁=620 GPa）的变异系数高达约90%，位于Pareto前沿之外，说明其对几何不确定性极度敏感。通过混合代理模型，研究人员获得了Pareto前沿，并利用99.7%置信区间作为后处理准则，确定满足弹性极限约束的最小E₁约为620 GPa。该准则亦可直接作为优化约束加入，所得最小可行解一致。在计算成本方面，若采用纯PCE（即每次设计更新都重新进行完整不确定性传播），预计需约27天；而所提出的混合代理模型仅需约1小时40分钟（离线训练1.5小时，在线优化7.5分钟），实现了显著加速。

进一步地，研究人员对误差来源进行了分析。结果表明，耦合算法的收敛容差从10^-1降至10^-3时，最优设计从560 GPa变为620 GPa，说明耦合误差直接影响决策；克里金训练点数从3增加到20时，最优设计在680、600、620 GPa间变化，表明足够的训练样本对准确性至关重要。这种误差-成本权衡促成了自适应多保真策略的提出。

在多保真阶段，研究人员先以低保真模型（耦合容差10^-1）进行初步优化，通过自适应克里金和置信区间分析将设计空间缩小至E₁∈[561, 673] GPa。随后只使用3个高保真样本（容差10^-4）构建了Evofused混合代理模型，并在缩减空间中重新优化。最终得到的E₁^opt=620 GPa与前述一致，而总计算时间降至约50分钟，显示了多保真策略在控制工业成本方面的价值。

为考察方法在更高维随机问题中的可扩展性，研究人员将问题扩展为双孔结构，随机维度由d=3增至d=6。通过超双曲q-截断（q=0.5）将PCE基从全基的210项削减至40项，在均值配置上校准得到最优多项式阶数p=4，留一法（Leave-One-Out, LOO）误差为0.0613。基于300个参考样本的验证测试显示，截断PCE的均方误差为3.7%，均值和标准差预测误差均低于1%。随后构建了40个克里金模型，并成功得到Pareto前沿，证明该方法可处理此类更复杂的随机问题。

最后，研究人员总结了方法的优势与局限。优势在于其完全非侵入性、模块化结构以及与工业代码的兼容性，通过限制高保真评估显著降低计算成本。局限性包括：非侵入式耦合的残余误差会传递至代理模型；克里金超参数选择依赖问题；高维扩展需依赖稀疏和自适应技术；多保真中缩减设计空间的区间（约20%）是基于经验选取的，并不保证全局最优。未来工作将发展基于误差估计器的自适应细化策略，以更严格地指导高保真采样并确保Pareto前沿的收敛性。总之，该研究为非侵入式多尺度稳健优化提供了一种高效、实用的数值工具。