粒子-网格间断伽辽金方法，第一部分：弱可压缩自由表面与多相流

《Journal of Computational Physics》：A Particle-Grid Discontinuous Galerkin Method, Part 1: Weakly Compressible Free-Surface and Multiphase Flows

　　

研究人员提出了一种粒子-网格间断伽辽金（particle-grid discontinuous Galerkin, PG-DG）方法，用于模拟具有大密度比的弱可压缩自由表面与多相流。该方法中，间断伽辽金（discontinuous Galerkin, DG）单元的相分数直接由粒子计算，从而避免了相输运方程的求解，并消除了粒子域中的质量耗散。不同相分别更新场变量，随后采用后混合（post-mixing）方法在界面区域强制一致性，可降低该处较大的数值耗散。一组二维与三维算例表明，PG-DG即使在极低分辨率下对多相流依然鲁棒且精确。

研究背景方面，不可压与弱可压缩自由表面及多相流广泛存在于船舶水动力学、螺旋桨流与溃坝等问题中。传统基于欧拉网格的方法如有限差分（FDM）、有限体积（FVM）与有限元（FEM）需借助流体体积（volume-of-fluid, VOF）或水平集（level-set）等方法捕捉界面，但前者易界面抹平、后者长时模拟存在质量耗散，且三维界面重构计算昂贵。拉格朗日无网格法如光滑粒子流体动力学（smoothed particle hydrodynamics, SPH）虽适合自由表面，但粒子分布不均时精度低于一阶。混合欧拉-拉格朗日粒子-网格（particle-grid, PG）法如PIC、FLIP、物质点法（material point method, MPM）存在数值耗散或弱可压缩下体积锁定（volumetric locking）问题。弱可压缩流常用状态方程由密度求压力，现有PG法多针对不可压，且间断伽辽金（DG）兼具FVM与FEM优势却在弱可压缩多相流中极少探索。因此研究人员开展PG-DG方法研究，成果发表于《Journal of Computational Physics》。

关键技术方法上，研究人员采用结构化笛卡尔背景网格与P1多项式空间的DG离散，粒子间距等于网格分辨率，各相用独立粒子集标记并承载场变量；相分数由邻域粒子核函数加权直接求得而非求解输运方程；引入基于相状态（phase status）的粒子到网格（P2G）映射策略处理新占据单元，网格到粒子（G2P）用DG形函数传回；自由表面通量依邻胞是否为真空构造，多相流各相分别在相域内更新后通过后混合规则强制压力与速度一致；控制方程采用线性化Tait状态方程p=c2(ρ?ρ?)与弱可压缩Navier–Stokes方程。

研究结果如下。

1. 1.
   Introduction部分指出，纯网格法与纯无网格法在界面追踪或精度上各有局限，混合PG思路可行但既有PG法在弱可压缩多相大密度比下存在耗散与锁定；研究人员由此提出PG-DG以结合DG局部解与粒子标记优势。
2. 2.
   Weakly Compressible Navier–Stokes Equations部分给出双曲型弱可压缩NS方程及Tait状态方程线性化形式p=c2(ρ?ρ?)，并推导单元内P1型DG变分格式，证明单元平均量与高阶矩可分离更新。
3. 3.
   Field Mapping Between Particles and Grid部分定义粒子-单元映射κ与邻胞集N?，相分数α?,χ通过对相χ粒子在半径1.6Δx?内Wendland C2核加权求和并归一化获得；引入phase status判定避免全网格重复映射，P2G仅在状态变更胞重建，G2P用形函数Φ=(1,x,y,z)插值。
4. 4.
   Flux Construction与Post-mixing部分，自由表面通量按邻胞真空与否切换边界条件；多相流各相独立更新后，在界面胞用后混合规则统一p与v，削弱扩散界面法的数值耗散。
5. 5.
   Numerical Examples部分通过二维与三维算例验证，PG-DG在低分辨率、大密度比下质量守恒且界面锐利。

讨论与结论部分翻译：研究人员提出PG-DG方法，用粒子直接计相分数免除相输运方程及质量耗散，借DG框架的相状态映射与后混合降低界面耗散，证实其在弱可压缩自由表面与多相流中鲁棒精确，为兼顾界面锐度、质量守恒与精度的PG-DG模拟提供新途径。