通过其生成子图对有限图上离散薛定谔算子的格林函数进行表征

《Linear Algebra and its Applications》：Characterization of Green's function of discrete Schr?dinger operator on a finite graph by its spanning subgraphs

　　摘要：本文研究了有限图上离散薛定谔算子的格林函数。通过调整适当的势函数，该框架可以表示拉普拉斯算子和无符号拉普拉斯算子。我们利用图结构给出了两种表示格林函数的方法。第一种方法基于含有自环的子树的图因子；第二种方法基于奇数环图因子。

引言：在离散谱几何研究领域中，一个主要课题是通过图的某些几何特性来描述离散薛定谔算子的谱结构。在分析谱结构时，算子的格林函数起着重要作用。对于一类特殊的算子，即拉普拉斯算子和无符号拉普拉斯算子，其格林函数可以用图的几何量来表示。例如，众所周知，具有基准点的图的拉普拉斯算子的格林函数可以通过计算由两个子树构成的生成树和生成森林的数量来表示（参见[1]及其中的参考文献）。另一方面，图的无符号拉普拉斯算子的格林函数则可以通过计算生成奇数环图的数量来表示[2]。在本文中，我们提供了底层图的几何结构，用以表示包括拉普拉斯算子和无符号拉普拉斯算子在内的一类通用离散薛定谔算子的格林函数。下面简要说明我们的设定；更一般的设定和结果将在后续章节中讨论。图Γ=(X,A)是一个有限图，包含顶点集X和边集A；δX?X被指定为Γ的边界。此外，对于具有势函数V的加权邻接算子M，我们定义离散薛定谔算子为MV=M+V。本文考虑以下问题：(MV?zI)f=g，边界条件为对于任意x∈δX，有f(x)=g(x)=0。上述问题的解可表示为f(x)=∑y∈X?δXGz(x,y)g(y)，其中Gz(?,?)被称为格林函数。我们利用一些图因子来表征格林函数。注意，如果设置V(u)=?deg?(u)，则可以得到拉普拉斯算子；如果设置V(u)=+deg?(u)，则可以得到无符号拉普拉斯算子。众所周知，将拉普拉斯算子在0特征空间的正交子空间上的逆运算可以给出图的电势，其电流满足反对称性；而无符号拉普拉斯算子的逆运算则给出电流满足对称性的势。这些矩阵可以通过一些图因子来表征；详见2.3小节，以及例如[2]、[3]中的更多细节。最近，在一系列关于量子行走的研究中（例如[4]、[5]、[8]、[9]，有关量子行走的综述及其参考文献见[11]），这些研究与静态离散薛定谔方程[6]相关，[9]中引入了以下能够插值拉普拉斯算子（α=1）和无符号拉普拉斯算子（α=?1）的广义拉普拉斯算子：Lα=M?j+(α)D+j?(α)ΠδX（α∈C?{0}），其中D是度矩阵，ΠδX是投影到CδX上的操作，j±(α)=(α±α?1)/2。[9]表明，其格林函数在表达量子行走的静态态及其散射信息方面起着关键作用。此外，还有研究表明，由可定向曲面上的2单元嵌入所诱导的格拉姆矩阵的格林函数可以描述量子行走的静态态[10]。在本文中，我们的设定包括了上述矩阵，并展示了相关的图因子。因此，我们的问题表述不仅涵盖了经典电路方程，还包括描述量子行走静态态的电路方程，后者近来已成为活跃的研究领域。本文的结构如下：第2节介绍图的设定以及离散薛定谔方程的格林函数；第3节给出我们的主要定理，描述了利用图因子表示格林函数的两种类型，并探讨了这两种表示之间的关系；第4节给出主要定理的证明；第5节展示本文中利用图因子计算格林函数的方法。

图示说明：设Γ=(X,A)为一个有限的、连通的且对称的有向图。对于任意a∈A，存在唯一的反向弧aˉ在A中。该图Γ可以有多条边，但没有自环。A中边a的起点和终点分别记为t(a)和o(a)。Γ的边界δX是X的一个真子集。A中边a的无向支撑边用|a|表示。注意|a|=|aˉ|。我们将E=E(Γ)={|a|:a∈A}定义为边的集合。Γ的生成子图Γ′（或因子）为……

主要定理：给定w:E→C和V:X→C，我们在E∪SδX（J=L,Q）上赋予权重wJ，具体定义为：wL(z;e)={?w(e):?e∈E,?z+VL(e):?e∈SδX,wQ(z;e)={+w(e):?e∈E,?z+VQ(e):?e∈SδX}，其中对于任意u∈X?δX，有VJ(u):={V(u)+π(u):?J=L,V(u)?π(u):?J=Q}。这里我们定义π(u):=∑a∈A;t(a)=uw(|a|)，适用于任意u∈X。不难看出，对于给定的w和V，有MV=?L+VL=Q+VQ。

定义3.1 生成子图的权重及生成子图族：对于子图H?Γ°，H的权重定义为WJ(z;H)=∏e∈E(H)wJ(z;e)。族HJ(Γ;δX)和HJ(Γ;δX;?,m)（?,m=1,2,3，J=L,Q）的权重定义为ι1(z;HJ(Γ;δX))={∑H∈HL(Γ;δX)WL(z;H):?J=L∑H∈HQ(Γ;δX)4b1

(3.6)的证明：设E→?A为从每对{a,aˉ}中移除一条对称弧所得的弧集。定向图Γ→=(X,E→∪SδX)与Γ°同构，作为此处考虑的变形图更为合适。因此|A|/2=|E→|。设自环集S=SδX为{σu|u∈X?δX}。定向关联矩阵BL∈C(E→∪S)×X定义为(BL)u,a={+1:?t(a)=u,?a∈E→∪S,?1:?o(a)=u,?a∈E→,0: 其他为任意u∈X，a∈E→∪S。设DL∈C(E→∪S)×(E→∪S)为对角矩阵，定义为(DL)a,b={wL(z;a):?a=b,0:}

示例：以图Γ=C3+P2为例。顶点由X(C3)={1,2,3}和V(P2)={1,4}标记。边界由δX={4}确定。图的结构见图1。定义2.1中的生成子图族HJ(Γ;δX)、HJ(Γ;δX;?,m)（?,m=1,2,3，J=L,Q）在图2中展示。考虑当对于任意e∈E有w(e)=1，对于任意u∈X有V(u)=0的情况。此时，?χMχ?的解析函数简化为?G(Γ;δX;V)=(χMχ??zI)?1=[?z111?z111?z]?1=?1(z?2)(z+1)2[(z?1)(z+1)(z+1)(z+1)(z+1)(z?1)(z+1)(z

未引用参考文献：[7]

致谢：Yu.H.感谢日本学术振兴会科学研究费补助金（C类）的资助（项目编号18K03401、23K03203）。E.S.感谢日本学术振兴会科学研究费补助金（C类）的资助（项目编号19K03616、24K06863）以及“装饰光子”的研究资助。Yusuke Higuchi | Etsuo Segawa