双圆限制四体问题的Levi-Civita正则化与Kustaanheimo–Stiefel正则化

《New Astronomy》：Levi-Civita and Kustaanheimo–Stiefel regularizations of the bicircular restricted four-body problem

　　•推导出了双圆限制性四体问题的正则化运动方程。•应用了Levi-Civita变换和Kustaanheimo–Stiefel变换。•给出了正则化框架的一个应用示例。•探讨了进一步的潜在应用。

引言
在N体问题中，引力奇点在分析处理以及数值计算碰撞或接近碰撞的轨道时存在诸多问题。正则化理论被发展出来用以缓解引力奇点，从而获得行为良好的系统。这些正则化技术通过引入合适的变量变换和时间重标度，将奇异的运动方程转化为常规方程（Celletti, 2006）。根据所研究问题的维度以及需要消除的奇点数量，存在多种正则化技术。其中，Levi-Civita变换（Levi-Civita, 1904）、Kustaanheimo–Stiefel变换（Kustaanheimo和Stiefel, 1965）以及Birkhoff变换（Birkhoff, 1915）可能是最具代表性的几种。前两种是局部方法，只能消除一个奇点，而后者是一种全局方法，能够同时正则化两个奇点（Szebehely, 1967）。Levi-Civita变换和Birkhoff变换适用于平面问题，而Kustaanheimo–Stiefel变换则可用于处理空间问题。正则化技术的应用包括周期轨道的计算（Broucke, 1971, Howell和Breakwell, 1984, Aydin和Batkhin, 2025, Kumar和Moreno, 2025）、近距离相遇的分析（Lega等人, 2011, Cardin和Guzzo, 2022, Rossi和Guzzo, 2024）、转移轨道的设计（Kechichian, 2002, Oshima等人, 2017, Tselousova等人, 2020），包括多条飞掠轨迹（Bonasera, 2017, Gonzalez-Franquesa等人, 2022），以及轨道优化（Jezewski, 1977, Thorne和Hall, 1997, Oguri, 2024, Korneev和Trofimov, 2024）。近期还有研究采用Levi-Civita变换以及Kustaanheimo–Stiefel变换的变体，来消除与轨道优化中推力大小导数相关的奇点（Oshima, 2023, Oshima, 2024b, Oshima, 2024a, Fanger和Russell, Yamamoto等人, 2025a, Yamamoto等人, 2025b）。

在多体动力学背景下，圆形限制性三体问题中的雅可比常数在推导正则化运动方程中起着关键作用（Celletti, 2006）。然而，像椭圆限制性三体问题和双圆限制性四体问题这样更高精度的模型是非自治的，因此在没有运动常数的情况下，需要额外的处理方法来正则化其动力学行为。迄今为止，人们已经采用能量微分方程（Broucke, 1971, Kechichian, 2002）或扩展相空间（Rossi和Guzzo, 2024）来成功缓解ER3BP中的奇点问题。即使在月球附近，太阳的引力扰动也可能产生显著影响（Boudad等人, 2020）。如果能够消除描述日地月粒子系统的BCR4BP中月球处的奇点，就可以计算出在月球处发生的奇异碰撞轨道，而这在标准的非正则化模型中是无法实现的。基于这一动机，本文借助能量微分方程（Broucke, 1971）对BCR4BP的时变动力学进行了正则化处理。本研究采用了便于将月球视为静止状态的地球-月球旋转参考系。本文详细推导了BCR4BP的正则化微分方程，并以月球碰撞轨道作为应用示例，研究了受太阳扰动的地球到月球转移轨道的解空间。在本文的其余部分，第2节概述了BCR4BP。第3节和第4节分别应用Levi-Civita变换和Kustaanheimo–Stiefel变换于平面和空间BCR4BP，以消除月球处的奇点。第5节给出了正则化BCR4BP框架的一个应用示例。第6节探讨了进一步的潜在应用。

章节摘录
双圆限制性四体问题
双圆限制性四体问题（BCR4BP）（Simó等人, 1995）描述了在太阳、地球和月球的引力作用下，一个粒子的轨道运动。该模型假设地球和月球围绕地球-月球质心做圆周运动，而太阳和地球-月球质心则围绕它们共同的质心做圆周运动。同时假设太阳、地球和月球处于同一个轨道平面上。BCR4BP并非一个连贯的……

平面BCR4BP的Levi-Civita正则化
本节致力于基于Levi-Civita变换推导平面BCR4BP的正则化微分方程。我们首先引入变量变换x?1+μ=u12?u22,y=2u1u2，以及时间重标度dt=r2ds，其中s被称为虚拟时间。通过链式法则可得X?=X′r2，以及X?=X′′?r?2X′r22，这里X表示任意变量，撇号表示对s的导数。此后，撇号始终表示对虚拟时间的导数。

空间BCR4BP的Kustaanheimo-Stiefel正则化
本节按照前一节的方法，基于Kustaanheimo–Stiefel变换推导空间BCR4BP的正则化微分方程。同样引入了变量变换x?1+μ=u12?u22?u32+u42,y=2(u1u2?u3u4),z=2(u1u3+u2u4)，时间重标度dt=r2ds，时间微分方程t′=r2，以及能量微分方程E′=r2?U??t。对方程(36)关于s求导后可得x′=2(u1u1′?u2u2′?u3u3′+u4u4′)，y′=2(u1u2′+u2u1′?u3u4′?u4u3′)，z′=2(u1u3′+u3u……

应用示例
本节利用平面BCR4BP中的正则化微分方程，通过传播源自月球引力奇点的月球碰撞轨道，来研究受太阳扰动的地球到月球转移轨道的解空间。由于空间问题的公式类似，且需要额外处理两个搜索变量，导致计算量较大，因此此处未进行空间问题的计算。月球碰撞轨道初始条件的设定见附录。

潜在应用
由于所建立的框架消除了BCR4BP动力学中月球处的奇点，因此其具有广阔的应用前景，比如更稳定地计算受到月球和太阳引力扰动的轨道。碰撞轨道在理解周期轨道之间的关系（Aydin和Batkhin, 2025）以及太阳引力扰动对月球附近周期轨道稳定性的影响（Boudad等人, 2020）方面起着重要作用，这也凸显出使用该正则化框架的优势。

结论
本文推导出了BCR4BP的正则化运动方程，该模型一直是描述日地月粒子系统动力学环境的最常用模型之一。本文分别应用了Levi-Civita变换和Kustaanheimo–Stiefel变换，消除了平面和空间BCR4BP动力学中月球处的引力奇点。本文详细推导了由运动方程和能量方程组成的正则化微分方程……

CRediT作者贡献声明
Keita Kishigami：撰写——初稿，研究。Kenta Oshima：撰写——审阅与编辑，指导，方法论，研究，资金获取，概念构思。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究部分得到了日本学术振兴会资助项目编号24K17448的支持。

Keita Kishigami | Kenta Oshima