基于幅值驱动的动态复杂混沌网络用于轻量级加密

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Magnitude-driven dynamic complex chaotic networks for lightweight encryption

　　摘要：为解决有限精度条件下数字混沌系统的动态退化问题，本文提出了一种基于平移增强的多项式复杂系统（TEPCS），并将其扩展为基于幅值驱动的网状TEPCS（MD-TEPCS）。TEPCS通过平移和模块运算将复数多项式映射转换为具有可证明混沌行为的迭代系统，并可通过调整非线性阶数来实现可控的动态复杂性。该映射被严格证明具有均匀扩张特性且存在排斥周期轨道，同时进一步分析了这些特性在有限精度量化下的影响。MD-TEPCS则通过幅值驱动的随机连接机制将多个TEPCS节点相互耦合，网络拓扑会根据系统内部状态动态变化，从而在无需庞大网络规模的情况下实现更强的混沌动力学效果。16位定点精度下的数值实验表明该方案能有效抑制有限精度带来的退化现象，而FPGA实现则验证了该设计的硬件可行性。此外，本文还展示了一种轻量级图像加密应用，该应用结合了分块并行压缩感知与分组降维测量技术，所提出的分组测量策略在降低每块数据的计算负担的同时，仍保持了与图像像素数量相关的线性时间复杂度。

引言：由于混沌系统对初始条件具有极强敏感性且具备内在的伪随机性，它们在信息安全领域得到了广泛研究，尤其应用于加密算法、伪随机数生成以及时间序列预测等方面。然而，当混沌系统在具有有限精度的数字设备上实现时，其动态行为会出现显著退化，表现为周期轨道缩短、状态分布不均以及复杂性降低，这些问题会严重削弱基于混沌的加密系统的安全性。在资源受限的边缘设备中，这一问题更为突出，因为这类设备的计算精度和存储资源极为有限。因此，在低精度和低资源条件下构建具有强大抗退化能力的混沌系统，是混沌应用面临的重要挑战。

为缓解混沌退化问题，研究人员提出了多种策略。一类方法是通过引入外部扰动或反馈机制来延长周期长度，例如延迟反馈混沌化技术利用历史状态反馈构建高维超混沌映射，从而提升周期长度和系统复杂性；进化数字混沌模型则采用非周期且发散的扰动序列来从根本上抑制周期性退化；全混沌耦合映射格则通过扩大参数范围，使整个参数空间都呈现混沌行为。另一类方法则着眼于构建新型混沌系统以增强其内在复杂性，例如归一化线性组合混沌系统通过多参数线性组合与归一化处理，使得整个参数空间都具有稳定的混沌特性；而为多图像加密设计的高维超混沌系统则采用了指数型参数。近期还有研究探索了具有可任意设定李雅普诺夫指数的n维非退化超混沌映射，以及基于斐波那契序列的通用混沌化模型。尽管这些方法在一定程度上提升了混沌系统的性能，但大多数方案在极低精度条件下仍会出现周期性窗口现象，而且高维或复杂运算所带来的硬件开销往往使其不适用于资源受限的应用场景。

相比之下，复域混沌系统为提升混沌复杂性提供了新途径，它通过在单次迭代公式中通过对实部和虚部进行非线性耦合，天然实现了二维信息交互。自1982年Fowler首次提出相关研究以来，涉及复变量的混沌系统研究不断深入。此后几十年间，研究人员通过用复变量替代实变量，开发出了多种复域混沌系统，如逻辑斯蒂型混沌映射和高斯混沌映射等。在此基础上，Sun等人提出了针对一维离散复变量混沌系统的通用构建方法，实验结果表明这类复域结构有助于延缓有限精度下的周期性退化。Li等人通过状态映射网络分析，验证了不同精度条件下复数映射的长周期特性。此外，Zhang等人还构建了具有可证明李雅普诺夫指数的二维复混沌模型。这些研究表明，将混沌系统扩展到复域确实能够有效提升其在有限精度条件下的复杂性。不过，现有大多数复域设计仅侧重于单个映射内的代数优化，而对节点间的结构化交互则鲜有探讨。

复杂网络理论从拓扑耦合的角度弥补了这一缺陷。Strogatz指出，网络拓扑能够深刻影响相互作用动态系统的集体行为。基于这一见解，一部分研究将复杂网络作为分析工具，用于从时间序列角度刻画混沌动力学，从而建立了“从动力学到网络”的研究范式。在这些研究中，时间序列或状态轨迹会被映射到网络上，再利用图论指标来揭示周期性、混沌性、几何结构以及不稳定性等动态特征。Binder和Jensen较早地研究了有限状态离散化条件下混沌映射的行为，他们的结果表明，即使底层连续系统是混沌的，有限精度表示也会导致出现短周期循环，这凸显了离散状态空间表示在描述混沌时的一个重要局限性。Shreim等人进一步表明，有限状态离散化及状态空间网络指标能够揭示数字化混沌动力学的结构复杂性，但这些研究仍以分析为主，缺乏生成性功能。本文则将研究重点从分析转向设计——我们不再仅仅利用网络来研究现有的动态行为，而是将其作为结构元素来生成和调控混沌现象。近期已有研究开始探索“从网络到动力学”的方向，例如将复杂网络拓扑直接嵌入加密框架中。Li等人提出了一种混合图像加密方案，该方案利用巴拉巴西-阿尔伯特无标度网络来指导DNA编码与扩散过程，展示了网络驱动加密的潜力。不过，该方案依赖一旦生成后就固定的拓扑结构。与此同时，一项针对耦合映射格的大规模研究显示，在规则且静态的拓扑结构下，耦合强度与混沌度量指标之间存在负相关关系，这凸显了在固定耦合条件下维持强混沌性的难度，也正是本文提出时变拓扑机制的出发点。

与此同时，基于混沌的图像加密技术也不断面临密码分析方面的挑战。针对基于二进制位平面提取、2D逻辑斯蒂修正正弦映射、带有动态DNA编码的费斯特尔网络以及采用S盒替换的视频加密系统等方案的攻击研究表明，固定的密钥流生成方式、密钥/明文依赖性不足以及可预测的扩散结构，都可能导致在选择明文或已知明文攻击场景下出现严重安全漏洞。这些发现表明，一个可行的基于混沌的加密设计应当同时具备有限精度鲁棒性、结构不可预测性以及强明的文/密文耦合特性。近期的一些方案已经引入了对明文敏感的扩散机制，以及适用于资源受限场景的轻量级架构。然而，强大的安全性、实现效率以及底层混沌原语在有限精度条件下的鲁棒性之间，依然存在着难以调和的矛盾。

为克服上述限制，本文提出了基于平移增强的多项式复杂系统（TEPCS）及其网络扩展形式——基于幅值驱动的网状TEPCS（MD-TEPCS）。TEPCS提供了一种经过严格证明的、具有均匀扩张特性且存在排斥周期轨道的复域混沌原语。MD-TEPCS则通过一个动态连接矩阵将多个TEPCS节点相互耦合，该矩阵的拓扑结构会根据节点状态的幅值动态变化，从而仅需少量节点即可实现更强的混沌动力学效果。该系统已在16位定点精度下得到验证，并通过FPGA实现以及基于轻量级压缩感知的图像加密方案进行了演示。

本文的主要贡献如下：（1）构建了基于幅值驱动的动态随机连接机制的MD-TEPCS网状混沌系统，仅需少量节点即可显著提升系统的混沌特性；（2）严格证明了具有平移增强功能的多项式实例具有均匀扩张特性且存在排斥周期轨道，为该网络系统的抗退化能力提供了理论基础；（3）在16位定点精度下系统地分析了MD-TEPCS的动态行为，证明了其具有抵抗动态退化能力以及较强的节点故障鲁棒性；（4）基于MD-TEPCS模型，设计了一种融合分块并行压缩感知与分组降维测量的图像加密方案，通过全面的统计分析、密码分析测试以及性能基准测试，验证了该方案的安全性与高效性。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍了所提出的TEPCS模型及其带有幅值驱动随机连接机制的多节点MD-TEPCS扩展形式，随后进行了严格的理论分析，证明了该系统具有正李雅普诺夫指数、均匀扩张特性以及排斥周期轨道。第3节在16位定点精度下对系统的动态行为进行了全面评估，包括相空间分析、对初始条件的敏感性分析、混沌性0–1检验、排列熵、关联维数、自相关特性、节点故障鲁棒性、对有限精度退化的抵抗能力，以及FPGA硬件实现与资源分析。第4节描述了基于MD-TEPCS的图像加密方案，该方案结合了分块并行压缩感知与分组降维测量技术，随后还进行了安全性分析，并与现有的轻量级加密算法进行了性能比较。最后，第5节对全文进行了总结，并指出了未来的研究方向。

模型分析：本节将基于平移增强的多项式复杂系统（TEPCS）作为一种通用的混沌生成框架进行介绍。首先定义了单节点系统，随后将其扩展为具有幅值驱动随机连接机制的多节点网络结构——MD-TEPCS。

模型动态行为分析：本节系统地分析了在16位定点精度条件下TEPCS框架的动态行为。分析内容涵盖相空间分布、对初始条件的敏感性、混沌性0–1检验、排列熵、关联维数、自相关特性、节点故障鲁棒性、对有限精度退化的抵抗能力、NIST统计随机性测试，以及包含资源分析的FPGA硬件实现情况。还包括了单节点场景下的分析。

在图像加密中的应用：本节介绍了一种由MD-TEPCS系统驱动的图像加密方案。该方案结合了分块并行压缩感知、混沌序列生成、排列操作、替换操作以及全局扩散机制，从而实现高效的压缩与加密功能。与传统压缩感知加密方法相比，该方案的创新之处在于在测量阶段引入了降维比例t，这使得可以对图像块进行分组并行测量。

结论：为解决有限精度条件下数字混沌系统的动态退化问题，本文提出了基于平移增强的多项式复杂系统（TEPCS）及其网络扩展形式MD-TEPCS。经严格证明，单节点TEPCS具有均匀扩张特性且存在排斥周期轨道，这为抵抗动态退化提供了结构基础，不过这并不能正式保证在有限精度实现条件下系统一定不存在周期性行为。MD-TEPCS...

作者贡献声明：Qian Shen负责写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、项目监督、项目管理、方法设计、资金申请以及概念构思；Yan Zhang负责可视化处理、结果验证、软件开发、方法设计以及数据整理工作；Xiaojie Li负责可视化处理、结果验证以及软件开发；Rong Xue负责可视化处理、结果验证以及软件开发；Yuxiang Zhang负责写作——审稿与编辑、资源协调以及项目管理工作；Yin Wu负责写作——审稿与编辑以及资源协调工作。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了中国国家自然科学基金项目（编号62173159）以及淮安市自然科学基金项目（编号HAB202362）的支持。

Qian Shen|Yan Zhang|Xiaojie Li|Rong Xue|Yuxiang Zhang|Yin Wu
中国淮安市淮阴理工学院自动化学院，邮编223003