三维Blume–Capel铁磁体中的一阶相变

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：First-order phase transitions in the three-dimensional Blume–Capel ferromagnet

　　摘要：我们通过结合多正则模拟与双参数Wang-Landau采样方法，研究了简单立方晶格上三维Blume–Capel铁磁体的一级相变。这种广义系综方法使得我们能够在广泛的温度和晶体场耦合范围内详细描述共存区域，研究范围从三临界点附近一直延伸到一级相变区域。我们分析了热力学量在有限尺寸下的标度行为，重点关注能量概率密度函数、自由能障碍以及界面特性。随着温度的降低，双峰能量分布的演变显示出从弱一级相变行为向强一级相变行为的逐渐过渡。通过自由能障碍的标度分析，我们确定了共存线上的界面张力，并通过其趋于零的行为来表征系统接近三临界区域的情况。同时，我们利用基于双参数Wang-Landau模拟得到的联合态密度进行场混合分析，以确定一级相变点并探究三临界行为。尽管这种方法在二维Blume–Capel模型中已非常成功，但我们在三维系统中发现，在三临界点附近，其实际应用变得越来越敏感，因为相关标度变量分布的浅层结构限制了目前可实现的系统尺寸下对共存条件的分辨能力。这些结果明确了该方法在三维中的适用范围，并为该模型的一级相变区域提供了完整的图像。

引言：一级相变是统计物理学中一类基本的集体现象，其特征为相共存、潜热以及分隔不同热力学状态的自由能障碍的出现[1]。尽管看似简单，一级相变却展现出丰富的现象学特征，包括亚稳定态和相共存，以及诸如双峰能量分布和非平凡的标度行为等典型的有限尺寸效应[2]。理解这些特征如何在相图的不同区域演化仍然是研究的热点，尤其是在一级相变与连续相变通过三临界点相连的系统中。在表现出此类行为的晶格模型中，Blume–Capel模型[3]、[4]因其最为简单且被广泛研究而处于重要地位，它是研究连续相变与不连续相变相互作用的典型框架，几十年来一直作为分析性和数值性研究临界现象的基准[5]。除了理论重要性外，该模型还与多种物理系统相关，包括多组分流体、三元合金以及3He–4He混合物[5]。最近，该模型的变体被用于研究铁磁材料[6]、润湿和界面吸附现象[7]，以及配分函数零点和能量分布零点的标度特性研究[8]、[9]。在没有外部磁场的情况下，该模型由哈密顿量H=?J∑〈xy〉σxσy+Δ∑xσx2=EJ+ΔEΔ描述，其中自旋变量σx取值?1、0和＋1，求和〈xy〉遍及所有最近邻对，J>0表示铁磁交换相互作用，在本文中统一设为1。晶体场耦合Δ控制着状态σx=0对应的空位浓度。将哈密顿量分解为键能贡献EJ和晶体场贡献EΔ，在本工作中所采用的广义系综模拟中这一分解尤为重要。在Δ→?∞的极限情况下，空位完全消失，模型简化为传统的自旋1/2伊辛铁磁体。Blume–Capel模型在(Δ,T)平面上的相图呈现出丰富的结构。相界将具有±1自旋状态长程有序的铁磁相与顺磁相分开。根据温度和晶体场的不同值，顺磁相可能对应于完全无序的自旋构型，或者对应于嵌入在以空位为主的背景中的稀疏±1自旋气体。在晶体场较弱且温度足够高的情况下，两种相之间的转变是连续的，属于伊辛普适类。随着晶体场的增强和温度的降低，最终会导致伴随相共存和潜热的不连续相变[3]、[4]。相界的连续段和一级相变段在三临界点(Δt,Tt)处相交，这使得Blume–Capel模型成为研究三临界行为的典型系统[5]、[10]、[11]。在本文中，我们采用Deserno[10]的三临界点估计值作为参考。不过，Deng和Bl?te后来使用簇蒙特卡罗模拟得到了略有不同的估计值Δt=2.848(1)和Tt=1.4019(2)[12]。这一估计值随后被Silva等人用于研究三维Blume–Capel反铁磁体，其零场相图与铁磁模型相同。重要的是，在三临界点处相界仍然平滑，连续相变线和一级相变线无缝连接，没有尖点[5]。若干精确结果和极限结果限定了相图的拓扑结构。在零温度下，只要每个自旋的相互作用能zJ/2超过晶体场惩罚Δ，铁磁有序在能量上更具优势，其中z表示配位数。因此，点(Δ0=zJ/2,T=0)属于相界[4]。在三维中，当晶体场消失时的转变温度尚无法精确确定，必须通过数值方法求解。在本研究中，我们关注简单立方晶格，此时z=6，故Δ0=3。对于这个系统，Deserno[10]使用微正则蒙特卡罗方法得到了最准确的三临界点估计值，即(Δt,Tt)=[2.84479(30),1.4182(55)]。图1展示了基于当前数据以及参考文献[10]、[14]、[15]、[16]、[17]中的先前数值结果的相图示意图；另见表1。在本文中，我们将J设为1，kB也设为1。自该模型最初提出以来，就一直备受关注，人们采用了多种分析和数值方法对其在各种晶格上的行为进行了研究，主要是在二维和三维中，例如参考文献[16]、[18]、[19]、[20]。大部分研究都集中在二维模型晶格上，采用了多种方法，包括实空间重整化[21]、蒙特卡罗模拟、蒙特卡罗重整化群计算[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、ε展开[35]、[36]、[37]、[38]、高低温级数展开[39]、[40]、[41]以及传递矩阵计算[42]、[43]、[44]、[45]。尽管已有大量研究，但在三维中，针对从三临界区域一直到低温的一级相变区域的全面有限尺寸标度研究仍然相对较少。为了解决这个问题，我们对简单立方晶格上的三维Blume–Capel模型进行了系统研究，重点关注相界的初级段及其与三临界区域的关系。我们的研究结合了多正则模拟与双参数Wang-Landau采样方法，从而能够在广泛的温度和晶体场耦合范围内准确描述系统的热力学行为。这一广义系综框架使我们能够直接了解系统的共存特性，并详细研究过渡线上的有限尺寸标度行为。我们特别关注能量概率密度函数的演变、相共存的发展，以及自由能障碍和界面张力的标度特性。通过分析从三临界点附近到一级相变区域深处的系列转变点，我们阐明了从弱一级相变行为向强一级相变行为的逐渐过渡，并为相图这一区域的转变特性提供了全面的描述。本文的其余部分安排如下：第2节介绍了本研究所使用的多正则模拟框架。在介绍相关的热力学量之后，我们讨论了用于描述一级相变区域以及分析与相共存和界面现象相关量的有限尺寸标度方法。第3节专门介绍双参数Wang-Landau方法。我们详细说明了联合态密度计算的方法，并运用场混合分析来研究三临界区域及其与相界初级段的关系。最后，第4节总结了我们的主要发现，并探讨了它们对理解三维Blume–Capel模型中的一级相变和三临界性的意义。

章节片段：
多正则模拟：我们使用多正则模拟研究了三维Blume–Capel模型的一级相变区域。由于多正则方法能够克服自由能障碍并高效地采样相共存构型，因此特别适合用于研究不连续相变。它们可直接提供描述一级相变行为的概率分布和有限尺寸标度特性。在下文中，我们……

双参数Wang-Landau模拟：在本节中，我们结合场混合方法和Wang-Landau联合态密度，来确定相界初级段上的转变点。我们首先描述了双参数Wang-Landau模拟的数值实现方式，然后阐述了用于定位有限尺寸伪转变点并将其外推到热力学极限的流程。

结论：总之，多正则方法和Wang-Landau方法的结合，使我们能够详细研究三维Blume–Capel铁磁体在相图较广区域内的各级相变。所得到的转变点再现并扩展了已知的相界，而响应函数、概率分布、自由能障碍以及表面张力的标度行为也一致支持了其一级相变的特性。

作者贡献声明：D. Mataragkas：撰写——初稿、软件、方法论、数据整理。A. Vasilopoulos：撰写——初稿、验证、软件、方法论、数据整理。Z.D. Vatansever：撰写——审阅与编辑、验证、方法论。Y. Kim：验证、方法论、数据整理。D.-H. Kim：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、方法论、资金获取、形式分析、概念构建。N.G. Fytas：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿。

利益冲突声明：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢：本文中部分数值计算是在埃塞克斯大学的高性能计算集群CERES上完成的。A. Vasilopoulos和N.G. Fytas的工作得到了工程与物理科学研究委员会（项目编号EP/X026116/1）的支持。Y. Kim和D.-H. Kim的工作则得到了由教育部和光州市政府资助的光州RISE中心所在的区域创新系统与教育（RISE）计划的支持。

D. Mataragkas|A. Vasilopoulos|Z.D. Vatansever|Y. Kim|D.-H. Kim|N.G. Fytas
英国埃塞克斯大学数学、统计学与精算科学学院，科尔切斯特，CO4 3SQ