步长逐渐缩小的随机游走的粗粒化香农熵

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Coarse-grained Shannon entropy of random walks with shrinking steps

　　摘要：在具有几何衰减幅度的离散步长的一维扩散过程中，通常与布朗运动相关的高斯展宽被以多尺度分形结构为特征的有限概率分布所取代。在本研究中，我们研究了步长逐渐缩小的随机游走（即伯努利卷积），重点关注其在二进制收缩比1/2附近的行为。我们的分析和数值结果表明，由伯努利卷积产生的粒子分布的粗粒化香农熵在二进制比处出现局部最大值，这一现象源于增加熵的扩散效应与试图降低熵的细微结构之间的竞争。这种熵最大值通常出现在由具有几何衰减幅度的有限离散噪声驱动的自回归过程中。我们探讨了伯努利卷积动力学对原细胞自我复制和囊泡增殖的潜在影响，从而建立了我们的信息论方法与早期细胞分裂的生物物理模型之间的联系。

引言：热力学第二定律提出的熵最大化原理决定了各种物理系统的平衡状态。熵最大值的出现或消失标志着宏观行为的重大变化，如相变。熵在其最大值附近的局部结构决定了热力学力，并控制着近平衡态下的动力学过程，在这些过程中，这些力与由热噪声驱动的随机扩散相互竞争[1]、[2]。

随机游走为建模物理和化学系统中的扩散行为提供了自然框架[3]、[4]、[5]。微观动力学决定了单个步长的统计特性，进而决定了随机游走终点位置的概率分布，从而决定了熵。这种熵可用于描述稳定状态、状态间的转换，并可用于推导热力学力。对于某些分布——尤其是分形分布——熵的计算在技术上具有挑战性，且通常取决于分形的分辨率尺度[4]。

步长逐渐缩小的随机游走[6]可用于描述物理系统在其稳定状态附近的动力学行为[7]。这些动力学通过自回归过程xn+1=rxn+ζn来建模，其中xn是系统状态，r∈(0,1)是每步收缩比（衰减因子），ζn是随机噪声。通过迭代递归关系可得xn=rnx0+∑k=0n?1rkζn?1?k，其中求和表示具有收缩因子r的随机游走[8]。相关的物理示例包括光学线宽展宽[9]、剪切流中的扩散[10]、细胞中的损伤积累[11]以及细菌的细胞大小调控[12]。

特别是，具有恒定平均大小的自我复制细胞的尺寸分布可以建模为自回归过程[12]、[13]，相当于具有几何缩小步长和随机噪声的扩散过程。在此框架中，收缩比r体现了细胞大小控制策略；例如，r=1/2对应于加法模型，即细胞在分裂前增加大致恒定的体积。噪声ζn通常来自高斯分布，但根据潜在的分子机制，它也可能是非高斯的[13]。例如，在原细胞模型[14]以及表现出奥斯特瓦尔德熟化现象[15]或具有特征尺度的膜不稳定性[16]的系统中，噪声可能来自离散分布，因为细胞生长是通过吞噬其他特定限制大小的囊泡或液滴来实现的[17]。

在这里，我们展示了由具有几何衰减幅度的无偏一维随机游走（即伯努利卷积[18]）生成的概率分布的香农信息论熵在r=1/2处出现局部最大值。这一最大值在超过一定阈值分辨率后出现，且在更精细的尺度上其吸引域会缩小。我们在一个原细胞分裂的简化模型背景下讨论了这一出现的局部熵最大值。具体而言，我们引入了一个类似加法器的自我复制模型，其中细胞在分裂前可以通过一次或两次固定体积的增加来实现生长。该模型自然地对应于伯努利卷积过程，因此在r=1/2的特殊情况下产生了最大熵尺寸分布。对于多分散系统，如胶体或早期的原细胞群体，尺寸分布由潜在的生长和复制动力学决定。有实验和理论证据表明，尺寸分布的熵对多分散系统的总自由能有显著贡献[19]，影响复制过程[20]，并影响胶体晶体的质量[21]、[22]。

章节摘录：

初步知识：伯努利卷积用于建模具有几何衰减幅度的离散步长的类扩散过程[18]。在本文中，我们用λ≡r?1>1来参数化每步收缩比，因此r=λ?1。二进制点对应于λ=2（r=1/2）。概率分布P(x;λ,l)是由伯努利卷积（方程(1)）在λ=2附近生成的对称（无偏）随机游走的终点x的分布，其步长k的幅度为λ?k：x=∑k=1lckλ?k，ck∈{?1,+1}，其中λ>1是每步收缩比的倒数。

粗粒化概率分布：图1显示了由伯努利卷积（方程(1)）在λ=2附近生成的概率分布P(x;λ,l)的行为。当λ=2时，当l→∞时，P(x;λ,l)呈矩形分布：liml→∞P(x;2,l)=1/2，当|x|<1时为1/2，否则为0。这直接来自方程(1)，该方程表明经过l步后会有2l个均匀分布的终点。当l→∞时，这些终点将区间[?1,1]完全覆盖。当λ偏离2时，会出现两种趋势：(i) 当λ<2时分布变宽，而当λ>2时分布变窄；(ii)

结果：我们的核心分析结果是，伯努利卷积的分形熵在λ=2处出现局部最大值。这一最大值的存在是由于在λ=2处熵的单边导数：?S/?λ2?>0，当l>5时（方程(9)），而?S/?λ2+<0（方程(12)）。图3显示了分形熵S(λ,l)在λ=2附近的行为，以Δλl为函数绘制，其中Δλ≡λ?2。我们通过实验发现，这一坐标反映了熵曲线的普遍行为。

讨论与结论：在本研究中，我们研究了步长呈几何级数衰减的无偏随机游走——每个后续步长都比前一个步长小一个固定的收缩比r。步长逐渐缩小的随机游走具有自相似性和分形行为[6]；因此，它们的性质取决于步数l，而l决定了分形的分辨率水平。具有逐渐减小步长的对称随机游走的终点由伯努利卷积方程(1)给出。

CRediT作者贡献声明：Alexander Feigel：写作——审稿与编辑，写作——初稿，可视化，验证，方法论，研究，数据整理，概念构建。Alexandre V. Morozov：写作——审稿与编辑，写作——初稿，可视化，验证，研究，形式分析，概念构建。

关于手稿准备过程中生成式AI和AI辅助技术的声明：在准备本作品期间，作者仅使用ChatGPT和Claude Code来检查手稿拼写和优化图表布局。作者根据需要对输出内容进行审阅和编辑，并对已发表文章的内容负全责。

利益冲突声明：作者声明没有利益冲突。

致谢：A.V.M.感谢罗格斯大学定量生物学中心的财政和后勤支持。A.F.感谢拉卡赫物理研究所的跨学科计算物理实验室提供的计算资源和技术支持。

Alexander Feigel|Alexandre V. Morozov
拉卡赫物理研究所，耶路撒冷希伯来大学，埃德蒙·J·萨夫拉校区，耶路撒冷，9190401，以色列