Caputo-Hadamard时间分数化学趋化模型中的有限时间爆炸现象：分析与计算

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Finite time blow-up of a Caputo-Hadamard time fractional chemotaxis model: analysis and computation

　　摘要：我们研究了一种时间分数阶化学趋化模型，其中物种密度和化学浓度按照不同阶数的Caputo-Hadamard导数来演化。在扩散系数和初始数据满足适当假设的前提下，我们证明了Lebesgue空间中温和解的存在性与唯一性。随后我们证明了解的爆炸性行为，并通过数值实验展示了解在有限时间内发生爆炸的证据。为捕捉爆炸奇点并量化关键参数的影响，我们针对该系统的特定动力学特性开发了一种自适应移动网格方法。数值实验结果与分析得到的爆炸结论一致，为理解这种分数阶模型中有限时间爆炸的机制提供了详细见解。

引言：化学趋化模型描述了细胞、细菌及其他微生物朝向环境中化学吸引物定向移动的现象。这类现象的经典数学框架由Keller和Segel在20世纪70年代提出[1]，此后被称为Keller-Segel模型。过去几十年来，人们对经典化学趋化模型的分析理论及数值求解方法进行了大量研究。近年来，为解释异常扩散和记忆效应，人们引入了分数阶化学趋化模型。现有大多数分数阶化学趋化模型在整个系统中使用相同的分数阶数。然而，分数阶导数的记忆效应可能在细胞扩散和化学趋化传输过程中通过不同机制体现出来。在各类分数阶导数中，Caputo-Hadamard导数尤其适用于描述演化方程中极慢的动态过程[2][3]、Lomnitz对数蠕变现象[4]以及具有对数型渐近行为的其它相关现象，这为分析复杂的化学趋化系统提供了新的视角。受这些研究的启发，我们考虑了如下在有界域Ω?Rd（d≥1）上定义的Caputo-Hadamard时间分数阶化学趋化模型，该域具有光滑边界?Ω：{CHDa,tαu=?·(a?(x)?u?u?v),x∈Ω,t>a>0,CHDa,tβv=?·(b?(x)?v)?γv+ku,x∈Ω,t>a>0,?u?n=?v?n=0,x∈?Ω,t>a>0,u(x,a)=ua(x),v(x,a)=va(x),x∈Ω，其中α、β∈(0,1)，CHDa,tθ表示阶数为θ∈(0,1)的Caputo-Hadamard分数阶导数，??n表示在?Ω上的外法向导数。函数u(x,t)和v(x,t)分别代表细胞密度和化学浓度。参数γ≥0表示化学物质的衰减率，k>0表示细胞产生吸引物的速率。扩散张量由矩阵值函数a?(x)=[a?i,j(x)]和b?(x)=[b?i,j(x)]给出，且a?i,j,b?i,j∈L∞(Ω)。我们假设存在均匀椭圆性条件，即存在正常数λ和μ，使得对于所有x∈Ω，ξ∈Rd，都有0<λ|ξ|2≤∑i,j=1da?i,j(x)ξiξj≤μ|ξ|2，b?(x)也满足相同条件。近年来，关于分数阶化学趋化模型的研究日益增多。例如，[5][6][7][8]中的作者研究了各种时间分数阶模型中的局部适定性、全局存在性以及爆炸行为。akilandeeswari和tyagi[9]证明了在狄利克雷边界条件下非负弱解的存在性，而tuan等人[10]则探讨了与这类模型相关的柯西问题的适定性。此外，jiang和wang[11]研究了d≥2时在lp(rd)空间中的全局存在性及渐近稳定性，gao等人[12]则给出了类似域中弱解的l∞范数上界。kirane及其合作者[13][14][15][16]以及tatar[17][18][19][20]也研究了相关分数阶演化方程和 或积分-微分方程解的有限时间爆炸、不存在性以及定性行为。[21]中关于全局存在性和大时间行为的结论，可视为在适当条件下与此处讨论的有限时间爆炸现象相对应的成果。尽管取得了这些进展，但关于包含caputo-hadamard分数阶导数的化学趋化模型的研究仍然较少，尤其是在数值研究方面。正是基于这些情况，我们开展了对模型(1.1)的研究。在[22]中已经研究了当a?(x)=b?(x)=I、α=β且k=1时的情形。本研究将这一情形扩展到一般的均匀椭圆型扩散矩阵，更重要的是，对于细胞密度方程和化学吸引物方程分别采用了不同的Caputo-Hadamard阶数α和β。与[22]相比，这里的适定性分析需要处理两种不同的Caputo-Hadamard记忆核以及一般的椭圆型扩散算子，这就导致了u、v和?v所构成的耦合加权解空间。此外，[22]中的算法既适用于计算偶数个爆炸点，也适用于计算单个爆炸点，而本文构建的算法则可用于计算奇数个爆炸点。除了分析问题之外，对(1.1)中有限时间爆炸解的数值近似也面临诸多挑战。该模型中爆炸解的快速增长和奇异行为要求使用自适应网格方法。移动网格方法能够根据偏微分方程解的结构进行调整。在化学趋化系统中，解的径向对称性使得可以从初始数据中较早地定位爆炸点。我们在重分区框架内通过引入辅助函数，开发了一种辅助移动网格方法[23]。与标准移动网格方法相比，这种方法在捕捉爆炸奇点方面具有更高的灵活性和效率。本文的其余部分结构如下：第2节介绍分数阶导数的主要定义和性质，重点讨论Caputo-Hadamard类型；第3节为化学趋化系统(1.1)建立局部适定性以及爆炸性行为的分析；第4节详细介绍所提出的数值方案，包括时间离散方法的误差分析以及空间移动网格策略，同时还通过数值实验分析了影响爆炸时间的主要因素。 预备知识：在本节中，我们将介绍一些必要的定义。hadamard型（分数阶）积分和导数定义如下：定义2.1 [3][24]：对于属于l1(a,b)空间且a>0的给定函数f(x)，其阶数为α（α>0）的Hadamard积分为HDa,t?αf(t)=1Γ(α)∫at(logtτ)α?1f(τ)dττ,t>a，其中log表示自然对数（下文同）。定义2.2 [3][24][25]：对于属于ACδ1[a,b]空间且a>0的给定函数f(t)，其阶数为α∈(0,1)的Caputo-Hadamard导数为CHDa,tαf(t)=1Γ(1?α)∫at(logtτ)?αδf(τ)dττ,t>Solution and its properties：设p∈(1,∞)，定义WN2,p(Ω):={?∈W2,p(Ω):???n=0on?Ω}。我们用A和B表示作用在Lp(Ω)空间上的算子，其定义域分别为D(A)=D(B)=WN2,p(Ω)。众所周知，半群{G(t)}t≥0:={e?tA}t≥0及其相关估计已有较多研究，可参考[28][29]。下面我们回顾一下由算子A生成的热半群G(t)的著名Lr1–Lr2估计。引理3.1 [8]：设1
credit作者贡献声明：dingding cao：撰写——初稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构思。changpin li：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、监督、方法论、研究、资金获取、形式分析、概念构思。paul andries zegeling：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论、研究、形式分析、概念构思。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。dingding cao|changpin li|paul andries zegeling numerical methods and experiments：目前，已有不少关于有限时间爆炸 熄灭现象的数值研究，例如[22][32][33][34]及其中引用的文献。在这里，我们对(1.1)式的有限时间爆炸解进行了数值研究。在本节中，我们首先研究在固定区间[a, t]?[a, tmax)上的时间离散格式。为了进行后续的稳定性和误差分析，我们事先假设精确解满足supt∈[a,t]∥u(t)∥lr(ω)+supt∈[a,t]∥v(t)∥ls(ω) conclusion：本文从分析和计算两个角度研究了一个具有不同分数阶数的caputo–hadamard分数阶化学趋化系统。在分析层面，我们证明了温和解的局部适定性，推导出了最大延展性质，并研究了相关的爆炸行为。在计算层面，我们分析了一种解耦的时间离散格式，并开发了一种辅助移动网格方法，用于捕捉单点及多点爆炸模式。 credit作者贡献声明：dingding cao：撰写——初稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构思。changpin li：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、监督、方法论、研究、资金获取、形式分析、概念构思。paul andries zegeling：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论、研究、形式分析、概念构思。 利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。dingding cao|changpin li|paul andries>
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