Drinfeld-Sokolov-Wilson系统周期性行波解的轨道稳定性

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Orbital stability of periodic traveling wave solutions for the Drinfeld-Sokolov-Wilson system

　　摘要：本文研究了Drinfeld-Sokolov-Wilson系统中周期行波解的轨道稳定性。文中明确推导出了两类光滑的周期行波解，即dnoidal型与cnoidal型解。通过将Floquet理论与Lamé方程的谱分析相结合，我们分析了线性化算子的谱结构。借助Grillakis、Shatah和Strauss提出的抽象轨道稳定性框架，进一步证明了在空间Hper1([0,L])×Lper2([0,L])中，dnoidal型周期行波对于周期扰动是轨道稳定的，而cnoidal型解则不稳定。

引言：本文研究Drinfeld–Sokolov–Wilson（DSW）系统：{ut+(uv)x+uxxx=0,vt+uux=0,(t,x)∈[0,∞]×[0,L)}，其中u=u(t,x)和v=v(t,x)为实值函数。该耦合系统最初由Drinfeld和Sokolov提出[1]、[2]，后来Wilson对其进行了扩展[3]。DSW系统用于描述二维长内重力波之间的强相互作用[4]、[5]。近年来，人们对DSW系统的适定性及谱稳定性给予了大量关注。在局部适定性方面，Christov、Hakkaev、Oh和Stefanov[6]证明了当初始数据属于Hs(T)×L2(T)且0≤s≤1/2时，具有周期背景的Cauchy问题具有局部适定性。此外，他们还运用改进的正规形式方法，证明了当初始数据满足u0∈H1(T)且v0∈L2(T)时，解的规则性具有全局持续性。这一持续性特性进而保证了解在相空间H1(T)×L2(T)内的全局存在性。在谱稳定性方面，Hakkaev[7]通过哈密顿系统的不稳定性指数理论，研究了周期行波对于共周期扰动的谱稳定性。对于cnoidal型周期波，存在一个临界椭圆模量κ*，当1/2< /><κ*时，对应波是谱稳定的；而当κ*??0的光滑周期函数。这类行波解可被视为泛函E+cF的临界点，其中E(u,v)和F(u,v)定义为E(u,v)=1/2∫0^L(ux2?u2v)dx，F(u,v)=1/2∫0^L(u2+v2)dx，它们分别是DSW系统的两个守恒密度。对于所构造的dnoidal型和cnoidal型周期解，我们在希尔伯特空间X≡Hper1([0,L])×Lper2([0,L])上对二阶变分算子Hc=δ2(E+cF)(ψc,φc)进行了谱分析。随后，通过运用GSS理论，我们得到了以下主要定理。定理1.1：dnoidal波的轨道稳定性设L?>?0且c>2π2/L2。假设ψ→=ψ→c=(ψc,1/2cψc2)表示定理2.1给出的周期行波解，那么对应轨道Ωψ→在Hper1([0,L])×Lper2([0,L])中相对于DSW系统(1.1)的流是轨道稳定的。定理1.2：cnoidal波的轨道不稳定性设L?>?0且c?>?0。假设ψ→=ψ→c=(ψc,1/2cψc2)表示定理2.3给出的周期行波解，那么对应轨道Ωψ→在Hper1([0,L])×Lper2([0,L])中相对于DSW系统(1.1)的流是轨道不稳定的。本文的其余部分结构如下：第2节中，我们构造了cnoidal型和dnoidal型周期行波解，并证明了它们随波速参数变化而形成光滑曲线。第3节对与每种周期行波形态相关的自伴线性化算子进行了详尽的谱分析。第4节则将前述谱分析结果与GSS轨道稳定性框架相结合，严格确立了我们在主定理中提出的轨道稳定性与不稳定性判据。