逆散射变换：从求解方程到助力相干结构分析

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Inverse Scattering Transform: From solving equations to facilitating analysis of coherent structures

　　•我们概述了将逆散射变换方法应用于非可积非线性模型方面的最新进展，以豪斯-金兹堡-朗道方程作为具体示例。•该方法在分析锁模光纤激光器中的局域相干结构时尤为有用。•脉冲的“复杂性”与离散谱中的特征值数量相关，而脉冲的稳定性则与能量从连续谱向离散谱的转换有关。引言我们以具有可积方程——非线性薛定谔方程——作为核心部分的耗散模型为例，来说明这一通用方法。非线性薛定谔方程是非线性科学中的基本方程之一，在物理学及实际工程应用的诸多领域都具有重要意义，比如非线性光学、流体力学、等离子体物理、大气物理、生物物理、场论等等（参见Scott [1]、Zakharov [2]、Peregrine [3]、Zakharov和Shabat [4]、Agrawal [5]、Hasegawa和Kodama [6]、Mollenauer和Gordon [7]、Kuznetsov [8]、Newell [9]、Scott [10]、Pitaevskii和Stringari [11]、Falkovich [12]、Dunajski [13]以及其中的参考文献）。为简化表述，此处我们将使用光纤领域的符号和术语，例如，场的演化沿光纤方向用z表示，二阶导数前的符号由光纤色散决定，等等。不过，通过调整符号，所有结果都可以轻松应用于非线性薛定谔方程的其他场景。在标准无量纲形式下，非线性薛定谔方程表现为：i?q?z+σ2?2q?t2+|q|2q=0，其中σ=±1。这里，q(z, t)是变化缓慢的复光场包络；z是沿光纤的距离；t是时间变量；σ=?1和σ=1分别对应光纤中的正常色散和异常色散。非线性薛定谔方程属于所谓可积非线性偏微分方程类别，这类方程可以通过逆散射变换方法进行积分，这一方法是在Zakharov和Shabat的经典著作[4]中为该方程开发的。这种数学技术也被称为非线性傅里叶变换[NFT][14]，与传统的（线性）傅里叶变换类似。逆散射变换/非线性傅里叶变换包含两个关键部分：正变换和逆变换。正变换由谱学上的Zakharov–Shabat问题描述，该问题定义了由连续成分和离散成分构成的所谓非线性谱。只有在存在异常色散的情况下才会出现离散谱，它用于描述非线性薛定谔方程的孤子解。逆NFT则可用于从非线性谱中恢复非线性薛定谔方程的解。逆散射变换已被广泛用于描述可积非线性系统的解，包括分析无损耗和无增益情况下光在光纤中的非线性传播[4]、[15]、[16]、[17]、[18]，以及用于监测呼吸波、孤子、异常波等相干结构出现的所谓可积湍流[19]、[20]，还有调制不稳定性分析[21]、[22]，此外在需要可积模型的其他学科中也有所应用，比如用于描述海浪[23]。特别是在电信领域，人们提出了新的方法来编码和补偿光信号的非线性失真（参见[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]）。需要注意的是，在某些情况下，光在布拉格光栅上的散射问题可以简化为ZS系统[37]。具有时变哈密顿量的两级量子系统的线性薛定谔方程也可表示为ZS系统形式[38]。与可用于求解方程并便于分析的传统（线性）傅里叶变换类似，非线性傅里叶变换同样可用于求解（可积）非线性方程并分析不同波形，还能以低维方式呈现信息。这在表征局域波时尤其有效。因此，非线性傅里叶变换可用于分析非可积模型，比如用于描述激光辐射[39]、[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]、[48]、[49]、[50]，光频梳中的辐射与相干结构动力学[51]、[52]、[53]、[54]，海浪[55]、[56]、[57]、[58]、[59]，以及等离子体驱动的离子声学结构[60]。在本文中，我们进一步拓展了非线性傅里叶变换在耗散介质中光学辐射分析中的应用。我们以豪斯-金兹堡-朗道方程作为重要示例，利用非线性傅里叶变换，用一组描述相干结构的低维特征来阐述光场动力学。与之前使用非线性傅里叶变换来表征激光发射和旁带的研究[41]、[43]、[49]、[50]、[52]、[53]相比，本研究系统地研究了在不同饱和能量和功率条件下豪斯-金兹堡-朗道方程的模式。我们的贡献在于计算方法层面，是对现有基于实验的非线性傅里叶变换激光研究的补充。在此，我们将利用非线性傅里叶变换重建的场与考虑损耗或增益时的非线性薛定谔方程的扰动理论预测结果进行比较，以确定在何种情况下通过离散谱来描述动力学更为合适（例如，当非线性谱中出现新的孤子时）。本文的主要内容是研究在基于豪斯-金兹堡-朗道方程的模型框架内，如何利用非线性傅里叶变换及离散谱从噪声中产生孤子，最终实现对豪斯-金兹堡-朗道型激光器工作状态的系统化与量化描述。我们发现，脉冲的“复杂性”与离散谱中的特征值数量相关，而脉冲的稳定性则与能量从连续谱向离散谱的转换有关。本文结构如下：第2节介绍作为被动锁模激光器启发式模型的三次方豪斯-金兹堡-朗道方程；第3节通过带有线性增益/损耗的非线性薛定谔方程为例，说明非线性傅里叶变换在非可积模型中的应用，并探讨扰动理论与非线性傅里叶变换之间的关联；第4节研究豪斯-金兹堡-朗道方程中的各种相干结构，展示如何在耗散非线性系统中运用逆散射变换来表征这些结构；最后第5节讨论未来展望。附录A简要回顾了非线性傅里叶变换的基本知识。章节摘录豪斯-金兹堡-朗道方程复金兹堡-朗道方程是一种重要的非线性模型，出现在物理学的多个领域。例如非线性波、二阶相变、超导性、超流动性、玻色-爱因斯坦凝聚态以及液晶等（参见[61]）。在假设电磁场包络的变化较缓的前提下，该方程可视为一阶近似，用于描述非平衡非线性系统的动力学。具有损耗/增益的非线性薛定谔方程的扰动理论我们的方法核心思想是利用离散谱来描述复杂的动力学过程。为阐明这一思路，我们打算对比非线性薛定谔方程的扰动理论与非线性傅里叶变换（仅使用离散谱），并将展示在哪些情况下，用非线性傅里叶变换描述动力学比用扰动理论更优。当非线性薛定谔方程右侧的额外非守恒项数值较小时，即i?A?z+12?2A?t2+|A|2A=iεA，结果与讨论在上一节中，我们通过具有损耗/增益的非线性薛定谔方程的简单示例表明，当信号中存在离散谱时，非线性傅里叶变换在从离散谱重建信号方面能比扰动理论提供更高的精度。对于更复杂的方程，如豪斯-金兹堡-朗道方程（2），非线性傅里叶变换的优势更为显著。在本节中，我们利用非线性傅里叶变换来分析那些无法通过扰动理论以同等精度描述的复杂动力学过程。结论与展望通常，逆散射变换用于求解可积方程。在这里，我们研究了将逆散射变换方法用于描述耗散系统中的相干结构，以锁模激光器背景下的豪斯-金兹堡-朗道方程作为具体案例。将逆散射变换作为一种表征工具，结果表明，即使存在增益、损耗和滤波效应，离散非线性谱仍能有效捕捉类似孤子的脉冲动力学特征。作者贡献声明I.S Chekhovskoy：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究。O.V Shtyrina：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论、形式分析、概念构建。M.P Fedoruk：撰写——审阅与编辑、验证、监督、项目管理、方法论、形式分析、概念构建。S.K Turitsyn：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、监督、项目管理、方法论、正式声明利益冲突作者声明不存在任何已知的可能影响本文研究工作的财务利益或个人关系。I.S Chekhovskoy|O.V Shtyrina|M.P Fedoruk|S.K Turitsyn