半离散Korteweg-de Vries方程的振荡N-孤子解

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Oscillatory N-soliton solutions of semi-discrete Korteweg-de Vries equation

　　摘要
本研究旨在解决在振荡背景下具有Lax对与Hirota双线性表示的离散方程构造精确解的问题，重点研究半离散Korteweg-de Vries方程。我们提出了一种系统方法，用于构建该方程的精确、有界且实值解。首先，利用谱函数的Casoratians构造Darboux变换；其次，借助Hirota双线性表示及Neville theta函数的准周期性，构建该方程的初始解；第三，通过B?cklund变换得到由第一步给出的势函数所对应的谱函数的谱解；第四，将谱函数的Casoratians转化为Hirota求和式，从而确定确保新解为实值且有界的参数。最终得到了该方程的振荡N孤子解。最后，通过绘图展示了这些新解。

引言
孤子方程的可积离散化长期以来一直是研究热点[1][2][3]。以著名的Toda格点方程[4]为基础，Hirota和Satsuma[5]提出了半离散Korteweg-de Vries方程：
$$\frac{d^2 u}{dt^2} = r_{n+1} - r_{n-1},$$
其中$r_n = r_n(t)$为实值函数，$n \in \mathbb{Z}$，$t \in \mathbb{R}$。该方程作为描述无约束非线性波的连续KdV方程与完全离散的格点模型之间的重要桥梁，在非线性电LC网络[6][7]等物理场景中有着广泛应用。将$r_n(t) = 1 + a^2 \frac{u(x,\tau)}{2}$，其中$x = a^n \cos(\theta_s(2a)t)$，$\tau = a^2 \frac{\theta_s(2a)t}{6}$代入方程(1)并展开到$O(a^5)$阶，即可得到KdV方程：
$$u_t - 4\theta_s'''(0) u_x + 6u_{xx} + u_{xxxx} = 0,$$
其中$\theta_s$为Neville theta函数[8]。尽管方程(3)中的项$4\theta_s'''(0) u_x$并非必需，但它有助于方便地表达连续极限形式，如方程(59)。关于其可积结构，方程(1)的双线性形式及N孤子解最早在[9]中得以确立。后续研究还推导出了其非线性叠加公式[10]，并构建了一组无穷多的守恒律[11]。此外，已有大量显式解被报道，包括有理解[12]、极限解[13]以及流浪波[14]。

然而，事实证明，在振荡背景下获得精确解要比在恒定背景或平面波背景下困难得多。这一领域进展十分有限，直到近十年才重新引起研究兴趣。基于Cao[15][16]提出的将Lax可积系统转化为有限维Liouville可积系统的非线性化方法，Chen和Pelinovsky[17][18][19]成功构建了在周期背景上传播的流浪波解。Ling和Sun[20]通过Darboux-B?cklund变换，为正弦-戈登方程在摆动波和旋转波背景下的问题得到了精确的theta函数解以及多椭圆局域解的Pfaffian形式表达。Li和Geng在研究代数-几何解时，提出了一种利用Baker-Akhiezer函数来解决该问题的方法[21][22][23]，进而为多种长波-短波方程[24][25]以及半离散非线性薛定谔方程[8]获得了周期背景下的解。他们还提出了一种全面系统的方法，通过B?cklund变换和Darboux变换为Camassa-Holm方程导出振荡N呼吸波解[26]。Lin等人[27]进一步利用代数几何方法和Darboux变换，为Hirota方程在椭圆函数背景下的问题构建了孤子解和呼吸波解。对于四阶非线性薛定谔方程[28]，则通过theta函数和Darboux变换得到了周期背景下的多呼吸波及高阶流浪波。Zhen[29]利用Darboux变换，为扩展的mKdV方程在cnoidal波背景上构建了精确的流浪波，在dnoidal波背景上构建了代数孤子解。Zhai等人[30]开发了一种统一方法，用于在椭圆函数背景上求解混合AKNS层次结构问题，为AB系统和LPD方程导出了Jacobi椭圆解，随后又利用Darboux变换得到了此类周期背景下的Ma呼吸波、Akhmediev呼吸波以及流浪波。对于具有时变系数的复mKdV方程，Wei和Wen[31]进一步拓展了这一研究方向，他们在Jacobi椭圆函数周期背景上导出了呼吸波、流浪波以及有理孤子解，并通过调整时变系数分析了这些局域结构的动态行为。Rao等人[32]通过双线性方法研究了复修正Korteweg-de Vries方程在周期背景下的多重孤子解和呼吸波解，给出了它们的行列式表达式，并揭示了呼吸波的周期振幅行为。

尽管取得了这些进展，但对于诸如半离散KdV方程这类用theta函数表示的离散或半离散可积方程，在振荡背景下构造精确解仍然是一项重大挑战。在本研究中，我们采用以下系统方法为半离散KdV方程构建振荡背景下的解：首先，利用谱函数的Casoratians[36]构造Darboux变换[33][34][35]；其次，从双线性方程中找到用Neville theta函数表示的初始解；第三，借助B?cklund变换[9][37][38]求解谱函数；第四，将Casoratians重写为Hirota求和式，从而得到半离散KdV方程(1)的有界实值解。该方法具有通用性，可应用于各类可积非线性演化方程。本文中构建的变换如图1中的红线所示。

本文结构如下：第2节分析Lax对，并利用离散Darboux变换与Casoratian技术得到变换关系；第3节从Hirota双线性方程出发构建用theta函数表示的初始解，再通过B?cklund变换求解谱问题；第4节构建新的解并加以绘图。

片段摘录
**Darboux变换**
半离散KdV方程(1)存在一个Lax对，即一个矩阵谱问题和一个辅助问题：
$$\Phi_{n+1} = U_n \Phi_n, \quad \Phi_{n,t} = V_n \Phi_n, \quad \Phi_n = (\phi_n - 1)\phi_n, \quad U_n = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \lambda^2 r_n \end{pmatrix}, \quad V_n = 2(\lambda - \lambda r_n - 1, r_n - \lambda),$$
其中$\lambda \in \mathbb{C}$为常数谱参数，$\phi_n = \phi_n(t, \lambda)$为特征函数。由此可得谱问题的兼容条件：
$$U_n t + U_n V_n - V_{n+1} U_n = 0.$$
现在我们来构造Darboux变换。设$\Phi^n = T_n \Phi_n$为谱问题的规范变换。

**初始解与谱函数**
将变换$r_n(t) = f_{n+1}(t)f_{n-1}(t)f_{n2}(t)$代入方程(1)，可得：
$$\frac{d^2 f_{n2}}{dt^2} = f_{n+2}f_{n+1}^2 - f_{n}f_{n+1}^2 - f_{n2}f_{n-1}^2.$$
因此有：
$$f_{n+1,t}f_{n-1} - f_{n,t}f_{n+1} + f_{n+2}f_{n-1} - A f_{n+1}f_n = 0,$$
其中$A$为与$n$和$t$无关的常数。为便于表述，方程(22)可写成经典的双线性方程形式：
$$\sinh(D_{n2})[D_t + 2\sinh(D_{n2})]f_n f_n = (A - 1)\cosh(D_{n2})f_n f_n,$$
这是通过引入双线性算子$D_t$和$D_{n2}$实现的：
$$D_t f_n f_n = (\partial_t - \partial_{t'})g_n(t)f_n(t') = g_{n,t}f_n - g_{n,f_n,t},$$
$$e^{h D_{n2}}g_n f_n = \sinh(S_n') - h g_n f_n' = (S_{hgn})(S - h f_n),$$
$$\cosh(h D_{n2})g_n f_n = e^{h D_{n2}} + e^{-h D_{n2}}2g_n f_n =$$

**新解**
固定$a \in \mathbb{R}$，$m \in (0, 1)$，$h_1, h_2, \dots, h_N \in \mathbb{R}$，然后定义：
$$\alpha_j = \alpha|h = h_j, \quad \beta_j = \beta|h = h_j, \quad \lambda_j = \lambda|h = h_j, \quad 1 \leq j \leq N,$$
其中$\alpha$、$\beta$和$\lambda$由方程(34)和(35)确定。此外，假设常数满足$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N > 0$，这样$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$即为实数。相应地，对于所有$\chi_1, \chi_2, \dots, \chi_N \in \mathbb{R}$，定义：
$$\psi_j,n = \lambda_j - \frac{n}{2}\theta_n(\xi_n(t) + h_j)\theta_n(\xi_n(t))e^{\alpha_j n + \beta_j t},$$
$$\psi_{\bar{j},n} = \lambda_j - \frac{n}{2}\theta_n(\xi_n(t) - h_j)\theta_n(\xi_n(t))e^{-\alpha_j n - \beta_j t},$$
$$\phi_j,n = \chi_j\psi_j,n + \psi_{\bar{j},n},$$
它们表示在$\lambda = \lambda_j$时谱问题(4)的解，$1 \leq j \leq N$。根据定理2，将每个$\phi_j,n$代入……

**结论**
总之，本研究为半离散KdV方程的精确振荡解构建了一个系统框架，解决了离散可积系统研究中的一个长期存在的难题。我们通过整合三种互补的技术——双线性形式与theta函数解、用于推导Lax对的B?cklund变换，以及通过CRediT作者贡献声明
Ruomeng Li：研究、形式分析、方法论、资源准备。
Liangkun Fang：研究、形式分析、软件支持。
Xianguo Geng：指导、写作——审阅与编辑。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。
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