具有弱非局域性和双幂律非线性特性的共振薛定谔方程中的波元组

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Wave tuples in the resonant Schr?dinger equation with weak non-locality and dual-power law nonlinearity

　　摘要：本文研究了具有弱非局域性和双幂律非线性的共振薛定谔方程的行波解。我们重点探讨了六种重要的有界行波类型，包括孤立波、尖峰波、周期波、紧致波、峰波以及周期峰波，并使用由六个非负整数构成的元组——即波元组来表示这些波的数量。我们给出了不同波元组对应的参数条件，最终得到了该方程的15种不同波元组。这些结果表明存在4种共存模式，且最大的共存数量为5。

引言：薛定谔方程的行波解是研究中的重要课题，因为它在长距离光纤通信中能够保持波形稳定[1][2][3]，同时为非线性频率转换提供了有效方法，还应用于玻色-爱因斯坦凝聚态的量子模拟以及非线性水波包分析中。为了解释高阶非线性光学介质中孤子的传播机制，1989年Gagnon[4]研究了非线性三次五次薛定谔方程iut+uxx+(b1|u|2+b2|u|4)u=0的行波解，其中u(x, t)是空间变量x和时间变量t的复函数，b1和b2为实数且满足b12+b22≠0。方程中的三项iut、uxx以及(b1|u|2+b2|u|4)u分别代表时间演化、群速度色散以及波传播与介质特性之间的相互作用。由于波函数u是复函数，可表示为u(x,t)=Ψ(x,t)exp(Φ(x,t)i)，其中实函数Ψ和Φ分别描述波的振幅（其为复数的模值，故非负）和相位。如[5][6][7]所示，行波解可表示为Ψ(x,t)=ψ(x?vt)=:ψ(ξ)，Φ(x,t)=θ(x?vt)=:θ(ξ)，其中ψ和θ是关于ξ:=x?vt的实函数，v∈R为波速。当Ψ(x,t)=f(x)且Φ(x,t)=g(x)?a^t时，其中f和g为实函数，a^为实常数，Gagnon[4]得出了方程(1.1)的孤立解和周期解。

为了解释朗缪尔波与电子之间非线性相互作用的动力学特性，2015年Zhou等人[8]考虑了包含额外弱非局域性项|u|xx2u的非线性薛定谔方程，即iut+auxx+(b1|u|2+b2|u|4)u+ω|u|xx2u=0，其中b1、b2和ω为实数且满足ab1b2ω≠0。该附加项由响应函数的宽度以及光脉冲强度决定。他们采用拟解法[9]得到孤立解和尖峰解，利用Riccati方程方法[10]得到尖峰解和周期解，还通过雅可比椭圆函数方法[11]得到了方程(1.4)的孤立解、尖峰解和周期解。

为描述非线性光纤中光脉冲的传播特性，2016年Zayed和Alurrfi[12]在方程(1.1)中引入了另一个非线性项u|u|xx/|u|，即共振非线性薛定谔方程iut+auxx+(b1|u|2+b2|u|4)u+c|u|xx|u|u=0，其中b1、b2和c为实数且满足ab1b2c≠0。该附加项代表了等离子体中的共振现象[13]以及量子力学中的玻姆势[14]。他们运用扩展辅助方程方法[15]得到了孤立解、尖峰解和周期解。2022年Song、Wang和Li[16]将方程(1.5)化简为没有不变线的平面常微分系统，研究了行波的分岔现象，并给出了孤立解、尖峰解和周期解的表达式。

为描述非局域非线性介质中光束强度变化对折射率的影响，2020年Das、Saha和Ghosh[17]同时考虑了两种额外的非线性项——共振项和弱非局域性项，由此得到了包含弱非局域性的共振非线性薛定谔方程iut+auxx+bF(|u|2)u+c|u|xx|u|u+ω|u|xx2u=0，其中F(z):=zr+τz2r表示双幂律形式，该形式在[2][18][19]中被用于描述介质的不同非线性响应，也存在于LiNbO3等光伏光折变材料中。通过分析简化后的平面常微分系统的相图，他们给出了当τ=0且r=1时方程(1.6)存在孤立解、尖峰解和周期解的参数条件。

本文研究了具有弱非局域性和双幂律非线性的方程(1.6)的六种重要有界行波类型[20][21][22]，包括孤立波、尖峰波、周期波、紧致波这类光滑行波，以及峰波和周期峰波这类不光滑行波。我们使用由六个非负整数ζ、κ、ρ、?、φ、φ组成的元组w=(ζ,κ,ρ,?,φ,φ)，即波元组，来表示这六种有界行波的数量。在第2节中，我们推导出了方程(1.6)行波对应的常微分方程系统(2.4)，并发现该系统是一个平面哈密顿系统。我们证明了该系统存在两条不变线，还分析了双曲情形和非双曲情形下所有平衡点的性质。特别是在引理2的证明中提到的(S4b)和(S4c)两种子情形下，存在一个零化度为nilpotent的平衡点。为确定该平衡点的性质，我们需要将系统化为Kukles形式以便应用已有判据。我们借助隐函数定理克服了这一转化过程中的困难，最终得出该退化平衡点存在四个共存的双曲扇区。在第3节中，我们找到了所有能量值相等的条件，这有助于确定所有的异宿环并划分参数空间。为此，我们需要处理一个次数为2r+1（r>0可能不是整数）的函数，以确定其正零点的存在性与唯一性。第3节得到的引理3的结果使得我们在第4节能够给出异宿环和同宿环的数量，进而找到所有由异宿环或同宿环以及它们与不变线的交点所围成的周期性环面。在第4节中，我们在τ<0且a<0的条件下，通过定理1得出了方程(1.6)的所有波元组。第5节则总结了所有情形下的方程(1.6)的波元组，指出该方程共有15种不同的波元组，它们对应于整个参数空间中的15组不相交的参数子集。此外，我们还发现这15种波元组存在4种共存模式以及6种共存数量。

章节摘录：
不变线与平衡点：将(1.2)和(1.3)代入方程(1.6)后，从实部和虚部分别可得(a+c+2ωψ2)ψ″+2ωψ(ψ′)2+vψθ′?aψ(θ′)2+bψ2r+1+bτψ?r+1=0，?vψ′+2aψ′θ′+aψθ″=0，其中′表示d/dξ，且(a,b,c,ω,v,τ)∈R??{0}。将系统(2.1)的虚部乘以ψ并积分一次后，可得θ′=v2a+c?aψ2，其中c?∈R为不定积分得到的常数。我们重点研究c?=0的情形，此时从(2.2)可知相位函数θ(ξ)为线性函数。

能量值相等条件：引理2中给出的平衡点性质决定了系统(2.4)在(ψ, y)平面上的相图，而这些相图实际上是由平衡点的能量值决定的。根据(2.5)，平衡点的能量值分别为E?=h?:=H(E?)=0，E*=h*:=H(E*)=r2v2(?1/2τ)1/r/4a(2r+1)(r+1)，E±(1)=h±(1):=H(E±(1))=?r((?ab±(ab(ab?τv2))1/2)/2τab)(r+1)/r(rab±(r+1)(ab(ab?τv2))1/2)/2a(2r+1)(r+1)，E±(2)=h(2):=H(E±(2))=0，E±(3)=h(3):=H(E±(3))=?(a+c){bτ((?(a+c)/2ω)r+(2r+1)/2τ(r+1))2/(2r+1)+(τv2(r+1)2?ab(2r+1)}。

波与波元组的识别：在本节中，我们运用引理2和3来划分参数空间Ω，以涵盖六种波的各种可能情况。由于在7维的Ω空间中详细阐述所有划分方式会占用过多篇幅，因此我们仅讨论Λs（s=1,2,3）中的情形，这些是引理3中(K1)-(K6)各类情况下12组参数集中较为常见的类型，以此展示六种波的更多可能性。根据引理2之前给出的Λns的定义，可知Λ?∪Λ?∪Λ?={v^∈Ω|τ<0,a<0}。考虑到Ω要求r>0且v≠0，我们取r=3/4，v=1。

结论：与定理1中针对v^∈Λ?∪Λ?∪Λ?的情况类似，我们也可以研究所有v^∈Ω时的波元组。虽然省略了类似的讨论，但可以确定的是，对于所有v^∈Ω，方程(1.6)依然最多只有与定理1证明最后一段中相同的15种波元组wl，l=1,...,15。我们对这些波元组的总结如下：当v^∈Ξl（l=1,...,15）时，对应的波元组为wl，其中Ξl是附录中定义的15组不相交的子集，且Ω=?l=11?Ξl。对于波元组w=(ζ,κ,ρ,?,φ,φ)，记[w]:=sgn(ζ)+sCRedI。

作者贡献说明：任民荣负责文章的写作——初稿撰写及研究工作；张文年负责文章的写作——审阅与编辑、方法设计、研究工作以及概念构建。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

任民荣 | 张文年