具有毛细效应的球对称可压缩流体的定常解

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Stationary solutions to the spherically symmetric compressible fluid with capillarity effect

　　摘要：我们研究在边界和远场数据已给定的情况下，定义于外部区域Ω={x∈Rn||x|>1}（n≥2）的球对称Navier–Stokes–Korteweg（NSK）系统。研究表明，若边界数据足够小，则存在唯一的平滑稳态解，该解满足具有不可透壁、入口流和出口流边界条件的球对称NSK系统。我们还确定了这些稳态解的衰减率：对于不可透壁问题，稳态解会呈指数级衰减至远场状态；而对于入口流/出口流问题，稳态解则呈代数级衰减。最后，我们研究了当毛细系数趋近于零时，不可透壁问题稳态解的渐近收敛性。数值结果验证了我们所得到的稳态解收敛率是最优的。

引言：本文研究具有毛细效应的粘性可压缩流体在域Ω?Rn（n>1）中的动力学行为，其运动由所谓的可压缩Navier–Stokes–Korteweg（NSK）方程描述：ρt+?·(ρU)=0,t>0,x∈Ω,ρ(Ut+(U·?U))+?P(ρ)=νΔU+(ν+λ)?(?·U)+κρ?Δρ，其中ρ和U分别为流体的密度和速度，ν和λ为粘度系数，满足ν>0且2ν+nλ≥0，κ>0为毛细系数。压力P(ρ)假定具有多项式形式P(ρ)=ργ，其中绝热常数γ≥1。带有毛细效应的流体运动方程最早由van der Waals[1]和Korteweg[2]提出，而方程(1.1)的现代形式则是Dunn和Serrin[3]通过考虑间隙功的热力学原理严格推导出来的。自NSK模型被引入后，文献中已经研究了诸多相关课题，如局部和全局解的存在性[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]，非线性波的稳定性[12],[13],[14],[15],[16],[17]，以及粘度或毛细系数趋于零的情形[4],[6],[18]。本文关注的是当域为外部区域Ω:={x∈Rn||x|>1}时，方程(1.1)的球对称解。将形如ρ(t,x)=ρ(t,r),U(t,x)=xru(t,r)，其中r:=|x|的球对称函数代入(1.1)后，可得到关于(ρ, u)的方程：ρt+(rn?1ρu)rrn?1=0,t>0,r∈(1,∞),ρ(ut+uur)+P(ρ)r=μ((rn?1u)rrn?1)r+κρ(ρrr+n?1rρ?r)r。此处μ:=2ν+λ>0为正常数。我们考虑初边值问题(1.2)，其初始条件为(ρ(0,r),u(0,r))=(ρ0(r),u0(r))，且满足ρ0(r)>0，同时远场条件为limr→∞(ρ(t,r),u(t,r))=(ρ+,u+)，t>0，其中ρ+>0且u+∈R为常数。最后，边界条件r=1的值根据边界处速度的符号来确定：{u(t,1)=u?,ρr(t,1)=ρb,t>0,ifu?≤0,(ρ,u)(t,1)=(ρ?,u?),ρr(t,1)=ρb,t>0,ifu?>0，其中ρ?>0, u?∈R且ρb∈R为常数。当u?>0时，该初边值问题称为入口流问题；当u?=0时，称为不可透壁问题；而当u?<0时，则称为出口流问题。需要注意的是，对于入口流问题，由于边界r=1处的特征曲线指向域内部，因此需要规定边界值ρ(t,1)=ρ?，才能使初边值问题(1.2)有良好定义。对于另外两种情况，则无法指定ρ的边界值，它由解本身决定。当毛细效应消失，即方程(1.2)中κ=0时，该问题简化为标准的球对称Navier–Stokes（NS）方程，其稳态解的存在性及其随时间的渐近行为已被广泛研究。对于不可透壁问题，Jiang[19]证明了球对称NS方程存在唯一的全局经典解，并且还展示了当n=3时的时间渐近稳定性。后来，Nakamura、Nishibata和Yanagi[20]进一步扩展了这一结果，证明了在大初始数据及存在外力场情况下的时间渐近稳定性。对于导热流体，Nakamura和Nishibata[21]证明了在存在势力场时的长时间行为。另一方面，当边界处的速度非零时，要确定稳态解的存在性及其随时间的渐近行为则需要更复杂的分析。在[22]中，Hashimoto和Matsumura证明了球对称NS方程的入口流和出口流问题都存在稳态解。在[23]中研究了小初始扰动下出口流问题的时间渐近稳定性，而大初始数据的情况则在[24]中得到解决。对于入口流问题，[25]证明了在小初始扰动下的时间渐近稳定性。此外，我们建议读者参考[26]，了解球对称Navier–Stokes–Fourier系统中入口流/出口流问题的稳态解存在性，以及[27]中关于NS方程稳态解的无粘极限研究。然而，据作者所知，文献中尚未研究NSK方程的球对称解。因此，本文旨在首次尝试将这些关于NS方程的结果拓展到具有毛细效应的可压缩流体上。具体而言，我们的首要目标是证明存在满足以下条件的稳态解(ρ?,u?)(r)：1rn?1(rn?1ρ?u?)r=0,r>1,ρ?u?u?r+P(ρ?)r=μ((rn?1u?)rrn?1)r+κρ?(ρ?rr+n?1rρ?r)r，同时还需满足远场条件和边界条件：limr→∞(ρ?(r),u?(r))=(ρ+,u+),u?(1)=u?,ρ?r(1)=ρb。由(1.3)1可知rn?1ρ?(r)u?(r)=ρ?(1)u?，即u?(r)=ρ?(1)ρ?(r)u?r1?n，r≥1。因此，当n>1时，远场速度的唯一可能值为u+=0。此外，对于不可透壁问题，有u?=0，这意味着对于所有r≥1，都有u?(r)=0。将u?≡0代入(1.3)2后，可得到关于ρ?的如下非线性方程：P(ρ?)r=κρ?(ρ?rr+n?1rρ?r)r，同时仍需满足远场条件和边界条件ρ?r(1)=ρb,limr→∞ρ?(r)=ρ+。特别地，对于多项式形式的压力P(ρ)=ργ（γ≥1），方程(1.6)变为sh(ρ?)r=κ(ρ?rr+n?1rρ?r)r，其中h(ρ):=∫ρP′(σ)σdσ={γγ?1ργ?1ifγ>1,logρifγ=1。本文的第一个结果是证明了不可透壁问题存在稳态解。定理1.1 不可透壁问题假设u?=0。设σ为任意满足0< />< /><δ，则存在唯一的平滑解ρ?(r)满足方程(1.6)–(1.7)，且满足|ρ?(r)?ρ+|≤c|ρb|e?σr，r≥1。注1.1与标准ns方程情形不同，nsk系统中不可透壁问题的稳态解并非平凡解。现在，我们考虑u?≠0的入口流或出口流问题。此时，速度并非恒为零，而是由ρ?按照(1.5)式确定。本文的第二个结果是证明了无论是入口流还是出口流问题，方程(1.3)都存在稳态解(ρ?,u?)。定理1.2><δ，则存在唯一的平滑解(ρ?,u?)满足方程(1.3)–(1.4)，且满足|ρ?(r)?ρ+|≤c(|ρb|+|u?|2)r?2(n?1),|ρ?r(r)|≤c(|ρb|+|u?|2)r?(2n?1)，r≥1，同时还有c?1|u?|r?(n?1)≤|u?(r)|≤c|u?|r?(n?1)，r≥1。注1.2需要注意的是，即使在初始边值问题中需要指定边界值ρ(t, 1)的情况下，我们也不在边界条件(1.4)中规定ρ?(1)=ρ?的值。其原因在于，即便在u?>0的情况下，仅凭ρ?r(1)=ρb和limr→∞ρ?(r)=ρ+这两条信息，我们也能够唯一确定方程(1.3)的解(ρ?,u?)。详细内容可见第3节。因此，对于任意的ρ?，可能不存在同时满足ρ?(1)=ρ?、ρ?r(1)=ρb、limr→∞ρ?(r)=ρ+这三个条件的稳态解(ρ?(r),u?(r))，此时ρ?的值需要由ρb、u?、ρ+以及解本身共同决定。注1.3对于不可透壁问题，由于u?恒为零，因此包含粘度μ的项也会消失。此外，在证明定理1.2时，只要μ有界，其估计值就是均匀的。特别地，即使μ=0，定理1.2依然成立。因此，我们的结果也涵盖了球对称Euler–Korteweg系统，即μ=0时的方程(1.2)的情形。本文的最后一个结果是证明了当κ趋于0时，不可透壁问题(1.6)–(1.7)的稳态解ρ?会呈现渐近收敛行为，这一现象被称为毛细系数消失极限。具体而言，我们考虑两种类型的渐近极限。首先考虑当κ→0时边界条件ρb保持为常数的情况。在这种情况下，很容易推测解的渐近形态会变为常数ρˉ(r)≡ρ+。另一方面，如果边界数据以特殊方式缩放，即ρb=ρb0/κ，其中ρb0为某个固定值，那么可以预期ρ?的极限形态与下列二阶边值问题的解ρˉ有关：ρˉyy=h(ρˉ)?h(ρ+)，ρˉy(0)=ρb0，limy→∞ρˉ(y)=ρ+。这些推测的详细论证见第4节。接下来，我们得到了不可透壁问题稳态解的如下渐近收敛结果。定理1.3 毛细系数消失极限设ρ?κ(r)为满足方程(1.6)–(1.7)的不可透壁问题的唯一稳态解。(1)（固定毛细边界条件）若对所有κ>0，ρb均为固定常数，那么存在与κ无关的正常数C，使得∥ρ?κ?ρ+∥Lr2(1,∞)≤Cκ34，∥ρ?rκ∥Lr2(1,∞)≤Cκ14，∥ρ?κ?ρ+∥L∞(1,∞)≤Cκ12。(2)（特殊缩放的毛细边界条件）若ρb=ρb0/κ，其中ρb0为足够小的固定值，那么存在唯一的解ρˉ满足方程(1.10)。此外，定义ρˉκ(r):=ρˉ(r?1κ)。那么，存在与κ无关的正常数C，使得∥ρ?κ?ρˉκ∥Lr2(1,∞)≤Cκ34，∥(ρ?κ?ρˉκ)r∥Lr2(1,∞)≤Cκ14，∥ρ?κ?ρˉκ∥L∞(1,∞)≤Cκ12。此处，定义在[1, ∞)上的Lr2范数为∥f∥Lr2(1,∞):=(∫1∞|f(r)|2rn?1dr)1/2。注1.4定理1.3(2)的结果可以用重新定义的变量y来表示。由于r=1+κy，通过变量替换可得∥ρ?κ?ρˉκ∥Lr2(1,∞)2=∫1∞|ρ?κ(r)?ρˉ(r?1κ)|2rn?1dr=κ∫0∞|ρ?κ(1+κy)?ρˉ(y)|2(1+κy)n?1dy。因此，用变量y表示的话，定理1.3(2)可改写为∥ρ?κ(1+κ·)?ρˉ∥Ly2(0,∞)≤Cκ12，其中定义在[0, ∞)上的Ly2范数为∥f∥Ly2(0,∞):=(∫0∞|f(y)|2(1+κy)n?1dy)1/2。类似地，关于导数的估计也可重写为∥(ρ?κ?ρˉκ)r∥Lr2(1,∞)2=∫1∞|(ρ?κ(r)?ρˉ(r?1κ))r|2rn?1dr=1κ∫0∞|(ρ?κ(1+κy)?ρˉ(y))y|2(1+κy)n?1dy，进而可得∥(ρ?κ(1+κ·)?ρˉ)y∥Ly2(0,∞)≤Cκ1/2。本文的其余结构如下：第2节首先讨论不可透壁问题，并证明定理1.1；第3节则证明入口流和出口流问题存在稳态解，从而得出定理1.2的证明；第4节给出定理1.3的证明；第5节通过数值实验验证前文所得到的不可透壁问题稳态解的收敛率确实是最优的；附录A则介绍了球对称Helmholtz方程以及在该分析中起关键作用的修正贝塞尔函数的一些背景知识。章节节选：不可透壁问题稳态解的存在性在本节中，我们证明定理1.1，即不可透壁问题(1.6)–(1.7)存在稳态解。对(1.8)在(r, ∞)范围内积分后，可发现ρ?满足以下非线性方程：ρ?rr+n?1rρ?r=1κ(h(ρ?)?h(ρ+))，同时还需满足边界条件limr→∞ρ?(r)=ρ+，ρ?r(1)=ρb。现在，令?(r)=ρ??ρ+作为扰动项，根据(2.1)式可知?满足?rr+n?1r?r?h′(ρ+)κ?=1κ(h(?+ρ+)?h(ρ+)?h′(ρ+)?)，且满足limr→∞?(r)=0，?r(1)=ρb。因此，为证明定理1.1，需……入口流/出口流问题稳态解的存在性在本节中，我们研究入口流/出口流问题存在稳态解(ρ?,u?)的问题，并证明定理1.2。首先我们将(1.3)2除以ρ?，然后在其上从r到∞积分，得到?u?22+h(ρ+)?h(ρ?)=μ∫r∞1ρ?((rn?1u?)rrn?1)rdr?κ(ρ?rr+n?1rρ?r)。与(1.5)式类似，u?可以用ρ?表示为u?(r)=ρ?(1)u?ρ?(r)rn?1。将其代入(3.1)式并运用分部积分法后，可得到关于ρ?的如下积分微分方程：κ(ρ?rr+n?1rρ?r)=μρ?(1)u?rn?1ρ?3ρ?r+h不可透壁问题的毛细系数消失极限在本节中，我们研究不可透壁问题(1.6)–(1.7)的稳态解在毛细系数消失极限下的行为，并完成定理1.3的证明。数值实验在本节中，我们给出了在固定边界条件和特殊缩放边界条件ρb下，不可透壁问题(1.6)–(1.7)的数值解，以此验证定理1.3中所给出的收敛率。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。Jeongho Kim