自适应堆叠集成融合：在误差非独立情况下的冲积含水层贝叶斯孔隙度反演

《Journal of Contaminant Hydrology》：Adaptive stacked ensemble fusion: Bayesian porosity inference in alluvial aquifers when the errors are not independent

　　摘要：在冲积含水层中，有效孔隙度的估算通常是通过结合两种基于粒径的间接方法——经验粒径相关法（Vukovic–Soro）和水力传导率反演法（Kozeny–Carman）——来实现的，其前提是这两种方法的误差是相互独立的。但由于这两种方法都利用相同的粒径信息，这一假设往往不成立，从而导致误差估计的不确定性被错误表述。我们研究表明，这两种估算方法之间的误差相关性实际上源于两种物理上不同且符号相反的误差来源：一种是负向的测量误差，因为两种方法对相同粒径特征的响应符号相反，使得共享的粒径测量误差会抵消彼此的误差；另一种是正向的共享代理误差，因为两种方法都未能捕捉到由粒径无法解释的孔隙度变化。因此，两者之间的净相关性可能是负的，也可能是正的。我们推导出了一个明确的临界值，即当未解释孔隙度方差达到该数值时，误差相关的符号会发生改变。这一临界值将融合问题分为三种不同的情况：反向相关，此时传统统计区间会不必要地宽泛；内部相关，此时估计结果会过度自信；外部相关，此时必须采用考虑相关性 的融合方法。此外，我们还提供了一种基于粒径曲线、测量重复性以及各监测点未被粒径解释的孔隙度方差上限的预数据诊断方法，无需进行任何融合操作即可判断误差相关的符号、所属类型以及报告的不确定性偏差方向。误差相关性的权重计算及相应的临界阈值其实都是估算方法组合领域中的经典成果，我们的创新之处在于：通常作为假设输入的误差相关性现在可以通过粒径敏感性来推导，而且基于粒径计算得到的传导率所存在的循环性问题也可以提前被发现。我们将该框架应用于阿尔巴尼亚的蒂拉纳-富舍-库克-莱泽冲积含水层，研究发现，在含粘土的细粒岩相中，传统逆方差融合方法导致的有效孔隙度方差低估幅度高达57%，使得原本95%置信区间整体的覆盖率仅约为91%，而通过考虑相关性的融合方法后，置信区间覆盖率可恢复到95%。此外，我们还以美国科德角东法尔茅斯的独立钻孔核磁共振孔隙度数据作为验证，该地点接近误差相关性符号变化的临界点，一旦引入独立的水力传导率数据，两种基于粒径的误差就会大致相互抵消（ρ≈0）；而如果像常规做法那样仅用同一粒径曲线来重建传导率，则会产生+0.89的虚假相关性，从而使两种方法的表面一致性实际上反映了共享的输入数据而非真正的孔隙度特征。在外部相关情况下，我们通过一个受控的合成基准试验进行了验证。有效孔隙度不确定性会直接影响溶质迁移时间，因此准确把握其符号和大小对于预测污染物迁移路径和保护区域范围至关重要。

引言：有效孔隙度是决定冲积含水层中物质对流传输和污染物迁移时间的关键参数，但实际上很少在实地直接进行测量，通常是通过粒径相关性、水力传导率反演以及地球物理测井等间接指标来估算的（Desaulniers等人，1981年；Agbotui等人，2025年）。当有多种此类估算结果时，人们通常会采用逆方差加权法将它们结合起来，该方法在假设各估算误差在统计上相互独立的前提下，能够得到最佳线性无偏估计值。但在冲积含水层环境中，这一假设往往不成立。本文研究的两种估算方法——Vukovic–Soro经验粒径相关法和Kozeny–Carman水力反演法——都依赖于相同的特征粒径，前者直接使用该粒径，后者则通过Kozeny–Carman公式中的粒径平方项来体现。在岩性描述不明确的条件下，也就是在几乎所有基于岩心测井的含水层分析中，这两种估算方法的结果都会朝着同一方向变化，其误差也会呈现正相关关系，而在含粘土的细粒岩相中，这种相关性尤为明显，有时甚至超过0.5。忽视这种相关性会带来实际后果：融合后的估算结果看似更精确，实则不然。如果将正相关的误差视为独立误差，就会低估组合估算值的后验方差——当相关性为0.5且两种误差的方差相当时，低估幅度约为1.5倍，这使得对应的置信区间宽度缩小约五分之一。由于有效孔隙度不确定性会直接影响溶质迁移时间的预测，这些过度自信的置信区间会进一步影响传输模拟结果，以及基于这些结果的各类管理决策，包括饮用水保护区划定、污染风险地图的绘制，以及根据DRASTIC协议进行的含水层脆弱性评估（Aller等人，1987年）。在那些依赖冲积含水层提供大部分饮用水和灌溉用水的地区（Famiglietti，2014年；Gleeson等人，2016年），对不确定性的系统性低估会导致保护措施不足。虽然从理论上来说，相关误差的处理难度早已为人所知，但实际操作中，由于现场可用的参考数据有限，且计算成本过高，一直难以解决这一问题。目前已有两项研究致力于解决这一问题。第一类方法是基于样本外性能而非假设的方差来组合预测因子，这一理念起源于堆叠泛化方法（Wolpert，1992年；Breiman，1996年），后来通过帕累托平滑重要性抽样留一交叉验证方法（PSIS-LOO；Vehtari等人，2017年）以及将其扩展到M-open框架下的预测分布组合方法（Yao等人，2018年）得到了进一步发展；这些方法无需分析人员指定误差方差，就能自动给预测效果更好的路径赋予更高的权重。第二类方法是基于自然梯度示踪实验发展起来的随机水文学方法，这些实验在博登地区（Mackay等人，1986年；Sudicky，1986年）和科德角地区（LeBlanc等人，1991年；Hess等人，1992年）开展，用于研究实地尺度上的非均匀性以及由此产生的非菲克传输现象（Berkowitz等人，2006年）。完全贝叶斯框架，如锚定分布法（Rubin等人，2010年），虽然避免了独立性假设，但计算成本极高，而隐式粒子滤波器及其平滑器（Chorin等人，2010年；Atkins等人，2013年）则能有效处理数据同化过程。然而，在现有的工作流程中，间接孔隙度估算方法的融合是在同化开始之前就假设误差相互独立而完成的，因此任何在此阶段产生的误差相关性都会被传递到后续步骤中，而无法得到纠正。据我们所知，目前还不存在这样一种综合框架：它既能明确建模考虑岩相差异带来的误差相关性，又能从类似系统中透明地获取先验信息；还能利用现场有限的参考数据通过堆叠方法确定数据驱动的权重组合，并通过高效的采样方案对这些权重进行基于观测数据的迭代更新；同时，还能在开展任何推断之前，通过诊断方法判断误差相关性修正是否会对特定地点的结果产生实质性影响。我们将这种框架称为自适应堆叠集成融合方法（ASEF）。该方法建立在为同一含水层开发的双向DRASTIC-传输耦合模型之上（Zeqiraj等人，2026年），该模型首次提出了双路径融合的概念，随后我们进一步发展了这一概念，形成了一种具有正式相位边界理论的自我校正方法。ASEF由三个组成部分和一个理论结果构成。首先，路径误差相关性被建模为一种随岩相变化的随机变量，而非固定常数；其先验信息来自两个特征明确的类似系统——科德角的冰川冲积含水层和博登地区的辫状河含水层，通过针对24口岩相参考井设计的共轭Beta-二项式锚定更新步骤，最终得到了粗粒、中粒和细粒岩相对应的类似系统相关性值，分别为0.15、0.35和0.58，同时类似系统带来的不确定性也会贯穿整个模型。这种对先验依赖性的明确处理是有意为之，它使得该框架能够在数据有限的地区使用，而无需假设所获得的先验信息等同于实际测量值。其次，权重组合是通过基于样本外预测性能的堆叠方法来确定的（Vehtari等人，2017年；Yao等人，2018年），这种方法无需指定路径方差，且相比基于少数几口井的方差估计，更能抵抗异常值的影响。第三，这些权重会在执行传输尺度反演的隐式粒子平滑器中，根据硝酸盐残留量进行迭代更新，从而逐步降低那些存在持续区域偏差的路径的权重；通常在五到七次外部迭代后即可达到收敛。理论结果（定理4）表明，融合问题在误差相关性与路径方差比的平面上存在一个明确的分界线：在分界线的一侧，修正方法能够纠正逆方差融合在细粒（粘土）岩相中高达57%的低估误差，从而恢复有效的不确定性，使研究含水层的置信区间覆盖率从约91%恢复到标准的95%；而在分界线的另一侧，该方法还能进一步降低误差方差。这一分界线提供了一种预数据诊断方法，让从业者能够根据可测量的沉积物参数，判断哪种情况适用，进而了解考虑相关性融合方法能带来多大的改进效果，而这一切都可以通过两个易于计算的参数来实现。我们在阿尔巴尼亚西北部的蒂拉纳-富舍-库克-莱泽冲积含水层上应用了ASEF方法，该含水层属于第四纪砾石和砂质沉积系统，为大约35万人提供水源（Eftimi等人，2023年）。此外，我们还在另一个独立数据集上对该方法进行了测试，以避免框架仅适用于某一个特定地点——该数据集来自美国地质调查局在科德角东法尔茅斯进行的岩层钻探工作，该数据不仅包含粒径信息，还有同步获取的钻孔核磁共振孔隙度数据以及独立的水力传导率估算值（Hull和Stone，2019年；Hull等人，2019年；Johnson等人，2019年）。在该地点，通过将测得的孔隙度数据与独立测量的传导率数据进行对比，发现两种基于粒径的路径误差大致不存在相关性——这本身也是该框架的一个预测结果，意味着两种相反方向的误差来源基本相互抵消，该地点也处于经典独立性假设大致成立的临界点附近。本研究的目标共有四个方面：第一，建模考虑岩相差异的路径误差相关性ρ，而非假设误差相互独立；第二，基于样本外预测性能而非假设的误差方差来确定融合权重；第三，提供一种预数据诊断方法，让从业者能够根据可测量的沉积物参数判断误差相关性修正是否重要，以及如果不进行修正，报告的不确定性会在哪个方向出现偏差；第四，将经过修正的融合方法整合到DRASTIC耦合传输模型中，并在受控的合成基准试验中进行验证。本研究的具体贡献有五点：第一，将双路径孔隙度误差分解为符号相反的测量误差通道和共享代理误差通道，从而得出了未解释孔隙度方差的明确临界值，即当该方差达到该数值时，净误差相关的符号会发生改变，同时还在ρr平面上给出了对应的三种情况分类图——反向相关、内部相关和外部相关——以及忽略相关性所带来的误差方差比的精确表达式（定理4）；第二，提出了ASEF融合框架，该框架通过基于岩相锚定的Beta-二项式先验更新、类似系统先验的PSIS-LOO堆叠方法以及隐式粒子平滑器，实现了误差相关性的传递；第三，构建了一个受控的合成基准试验，用于模拟外部相关情况并验证理论中的相位边界；第四，将该方法应用于蒂拉纳-富舍-库克-莱泽冲积含水层，为32口监测井的分析数据集生成了具有岩相级别误差相关性的有效孔隙度场；第五，在科德角东法尔茅斯进行了独立的验证，该地的钻孔核磁共振孔隙度数据以及独立的核磁共振传导率数据表明，两种路径误差大致不存在相关性，而基于共享传导率得出的虚假正相关结果则被揭示出来。本文的其余部分结构如下：第2节介绍研究区域和数据情况；第3节阐述ASEF的三个组成部分；第4节将ASEF与DRASTIC双孔隙度传输模型相结合；第5节介绍隐式粒子同化方法；第6节给出定理4及相关合成基准试验的内容；第7节报告富舍-库克地区的研究结果以及科德角验证的结果；第8节讨论研究存在的局限性，包括对类似系统先验的依赖性；第9节总结全文。这样的安排是有意为之：因为诊断方法旨在让从业者在投入全部计算之前，先了解误差相关性修正在其所在地点是否重要以及修正方向如何，所以相关模型、融合权重以及相位边界诊断方法被放在了前面。

地理与地质背景：蒂拉纳-富舍-库克-莱泽冲积含水层位于阿尔巴尼亚西北部的第四纪沉积区，面积约为349平方公里（见图1），它隶属于马特河、德罗亚河和伊谢姆河下游流域更广泛的地下水系统之中（Eftimi等人，2006年；Cenameri和Beqiraj，2016年；Beqiraj，2024年）。该含水层的东南部位于一个厚度为20–30米的构造凹陷地带（Tartari和Dakoli，2001年），而西北部的沿海平原则呈现出……

ASEF框架：ASEF框架由三个相互关联的组成部分构成，其核心思想是：当两种间接孔隙度估算方法都基于相同的粒径信息时，它们的残差误差不能被视为相互独立的。第3.1节将误差相关性建模为一种随岩相变化的随机变量，其先验信息来自类似系统的明确分析，同时在富舍-库克地区的数据允许的情况下，还会采用Beta-二项式更新方法来进行参数调整。3.2节通过利用相同的参考数据进行堆叠来确定组合权重，从而避免了将ASEF与经过DRASTIC改进的双孔隙度传输模型相耦合。第3节生成的融合孔隙度场是场尺度反问题的输入而非输出。为将这一结果与驱动3.3节迭代更新的观测硝酸盐浓度yobsxt联系起来，我们需要一个正向传输算子，该算子能够以孔隙度场为输入并输出预测的浓度值。此处采用的构建方法为Zeqiraj等人（2026年）提出的双向DRASTIC传输耦合模型，并按照第5节中隐式粒子平滑器的要求进行了调整。具体数学细节如下：用于后验采样的隐式粒子平滑器。4.2节中的正向算子FASEF?DRASTIC可将ASEF融合后的孔隙度场转换为预测的硝酸盐时间序列。而反问题则是在给定一系列硝酸盐浓度观测值的情况下，对后验概率pne∣yobs进行采样。我们将这种采样方法作为通用方法进行开发，并在6.4节中的受控合成基准测试中对其进行了验证；在Fush?-Kuqe地区，仅应用了3节中那种基于闭合形式的相关性处理融合方法（见7节），完整的场尺度同化处理则留待未来的工作。对于非线性正向问题而言，经典的逆方差融合估计量与定理1中所描述的具有相关性意识的BLUE估计量之间存在不仅仅是定量上的差异。这种差异体现在(ρ,σKC/σVS)平面上的某条分界线上，这条线将两种质量上截然不同的估计方式区分开来。在该分界线以下，两种估计量都会对每条路径赋予正权重，它们之间的差异在于所报告的不确定性——在Fush?-Kuqe的所有参数范围内（r>1），逆方差估计量会低估后验概率。Fush?-Kuqe：孔隙度场与后验校准。3节中提出的基于闭合形式的相关性处理融合方法（定理1）被应用于2节中描述的Fush?-Kuqe冲积含水层的32口井的分析数据子集。这是一种非迭代的闭合形式计算方法，不涉及场尺度同化处理。在6.4节的合成基准测试中，5节中的采样器在每次外部迭代时使用50个隐式粒子参考样本，同时设定权重场在迭代间相对变化的收敛容忍度为10?3。经过六次外部迭代后便达到了收敛状态。ASEF的优势在于其统计上的严谨性。当各路径存在相关性时，经典的逆方差融合方法生成的置信区间会过于狭窄，而在冲积含水层特征分析中，由于两种间接孔隙度估算方法都依赖于相同的粒径信息，因此这种相关性始终存在。误差的大小会因岩相不同而有所差异：在干净的粗砾石层中误差较小，而在细粒岩层中则较大。在那些有监管要求的应用场景中……结论。在常规用于冲积含水层有效孔隙度推断的过程中，经典的逆方差融合估计量会在各路径存在相关性时生成系统性过窄的可信区间。在Fush?-Kuqe地区，这种低估现象在粗粒岩相中表现为15%，在中等粒径岩相中为34%，在细粒岩相中则高达57%——这一显著的偏差隐藏在传统的公式背后。此处开发的自适应堆叠集成融合框架可以纠正这一偏差。CRediT作者贡献说明：Dulian Zeqiraj：概念设计；Arjan Beqiraj：研究实施。资金支持。这项工作部分得到了地拉那理工大学（UPT）的支持。资助方在研究设计、数据收集与分析、发表决策以及手稿准备等方面均没有发挥作用。未引用的参考文献：Carrier III, 2003；Urumovi?和Urumovi? Sr., 2016。利益冲突声明。作者声明自己不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。致谢。作者衷心感谢阿尔巴尼亚地质调查局（Sh?rbimi Gjeologjik Shqiptar）提供监测井网络及抽水试验记录，同时也感谢美国地质调查局公开提供了East Falmouth地区的岩层剖面数据（Hull和Stone, 2019）以及该地区的钻孔NMR孔隙度测井数据（Johnson等人, 2019），这些数据共同为7.2节的内容提供了独立的验证依据。此外，作者还感谢那些在堆叠方法及贝叶斯模型评估方面给予帮助的人士。Dulian Zeqiraj | Arjan Beqiraj，阿尔巴尼亚地拉那1001，地拉那理工大学地质与矿业学院能源资源系，Elbasanit路。