黏土中四桶式套管基础竖向承载力的上限解

《Marine Structures》：Upper bound solution for the vertical bearing capacity of four-bucket jacket foundations in clay

　　摘要：本研究探讨了四桶式导管基的垂直极限承载力，这类基础因其良好的承重性能而在海上风能工程中具有巨大应用潜力。通过实验室模型试验，获得了不同高径比和间距径比下基础的荷载-位移曲线。进而建立了二维有限元模型，模拟垂直加载下的土体破坏行为。数值结果与实验结果的对比验证了数值模型的准确性，并有助于明确土体破坏机制。基于这些研究结果，利用极限分析理论及符合运动学条件的土体速度场，构建了一个简化的二维上界解析模型。该模型充分考虑了高径比和间距径比的影响，推导出了垂直极限承载力的解析表达式。所提出的解法通过实验结果进行了验证，为承载力设计提供了实验依据和理论支持。此外，还系统分析了高径比和间距径比对垂直极限承载力的影响。这些研究成果为海上风能项目中四桶式导管基的设计与优化提供了重要参考。

1. 引言
全球能源转型推动了包括海上浮动光伏系统和风力发电在内的可再生能源技术的发展，因其具备清洁和可持续的特性。随着海上风能技术日益成熟，近年来海上风电场发展迅速[1,2]。作为风力发电机的主要承重部件，基础约占总项目投资的25%?50%，因此合理选择基础类型对于控制成本至关重要。目前海上风能工程中主要采用的基础类型包括桶式基础、导管基和浮式基础[3]。与传统基础系统相比，桶式基础通过吸力沉降安装，具有施工效率高、噪音低以及经济性好的优点[4,5]，但其应用通常局限于浅水区域。在过渡水域和深水环境中，桶式基础常与导管结构结合使用，以应对更大的荷载需求[6]。由此形成的多桶式导管基结合了两种结构的优势，通常采用三桶或四桶形式，具有较高的承载能力，在海上风能工程中应用前景广阔。

目前，关于桶式基础及多桶式基础承载特性的研究主要通过实验室模型试验[ [7], [8], [9], [10], [11], [12] ]和有限元数值分析[ [13], [14], [15], [16], [17] ]开展。Faizi等人[18]在砂土中对三桶式基础进行了水平加载模型试验，并通过有限元模拟研究了其在单调水平荷载作用下的性能。Hung和Kim[19]以及Kim等人[20]研究了桶间距、桶高度及土体性质对三脚桶式基础组合水平-弯矩承载力的影响，提出了与高径比相关的计算公式。Ding等人[21]研究了砂土中用于海上风电机组的四桶式导管基的抗液化性能，通过振动台试验得到了砂土-结构体系的液化行为和动力响应，分析了四桶式导管基对砂土抗液化性能的影响机制。Zhang等人[22,23]采用实验方法研究了不同施工方式下四桶式导管基的安装与找平过程。Wei等人[24]通过模型试验和数值模拟研究了四桶式导管基的水平承载特性，重点分析了加载速率和加载方向角对承载力的影响。Xiao等人[25]分析了各种参数对四桶式基础承载力系数及群效应的影响。Zhu等人[26]通过离心模型试验研究了软黏土中四桶式基础的上拔响应。此外，Liu等人[17]提出了一种创新的三脚六边形桶式基础，并揭示了其在水平荷载作用下的独特破坏机制。

在岩土工程中的承载力评估中，当主导破坏机制可在一个代表性垂直平面内描述时，几何结构复杂的地基系统往往会被简化为二维理想化模型。Chen和Liu[27]同样采用二维上界模型，在单向加载条件下研究了砂土中带裙边的泥垫层基础和窄深桶式基础的垂直承载力，计算结果与实验观测值吻合良好。在研究不排水条件下的带裙边基础及相互作用浅基础时，也采用了平面应变理想化模型。Gourvenec和Barnett[28]在平面应变框架内研究了带裙边基础的不排水破坏包线，而Gourvenec和Steinepreis[29]则研究了共同作用的浅基础的不排水极限状态，强调了相邻基础之间相互作用的重要性。Liu等人[30]采用二维符合运动学条件的破坏机制，为复合桶式浅基础的抗弯承载力提出了上界解。这种简化的目的并非重现所有三维的桶-土相互作用效应，而是捕捉控制承载响应的代表性破坏机制。因此，本研究将三维土体破坏过程简化为二维平面应变机制，并选取了一个代表性平面进行分析。

遵循这些已有的分析方法，本研究将嵌入软黏土中的四桶式导管基的三维垂直承载力问题简化为一个代表性的二维平面应变问题。对于海上风电机组的基础而言，垂直承载力对于结构稳定性和长期安全运行至关重要。现有研究主要集中在单向加载下的单桶式基础，而四桶式基础的垂直承载特性尚未得到系统研究，尤其是缺乏适用于不同长宽比和间距比的定量预测方法。为解决这一问题，本研究通过模型试验、有限元分析及上界极限分析，研究了软黏土中四桶式导管基的垂直极限承载力。通过模型试验获得了不同长宽比和间距比下基础的荷载-位移曲线，建立了二维有限元模型，并通过与试验结果的对比验证，明确了土体破坏区的演变规律。基于这些结果，构建了考虑桶组相互作用的二维上界模型，根据虚功原理推导出了垂直极限承载力的解析表达式。这些成果为快速预测和参数化设计黏土中的四桶式导管基提供了依据。

2. 模型试验
2.1 实验装置
模型试验采用由天津大学岩土工程研究所设计的用于基础测试的三自由度耦合动静加载装置进行（图1）。该装置的钢架由两个独立部分组成：下框架用于放置土体容器，上框架则支撑加载系统，如图1(a)所示。

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图1. 三自由度加载装置。

垂直加载的加载与位移控制模块分别如图1(c)和1(d)所示。该装置能够独立地对基础施加单向垂直荷载、水平荷载和弯矩荷载。测试系统配备了多种传感器和数据采集系统。在本模型试验中，静态载荷传感器的最大垂直载荷能力为10 kN，测量精度为10 N（0.1%FS）。用于测量基础位移的电阻式位移传感器最大测量范围为750 mm，精度为0.01 mm。所有传感器在试验前都进行了校准：载荷传感器通过在其全量程内使用标准校准砝码进行逐步加载和卸载来校准，而位移传感器则采用标准位移比对法进行校准。所有传感器的采样频率设定为10 Hz。

2.2 实验模型
本研究将软黏土中四桶式导管基的承载力问题从三维基础系统简化为二维平面问题，同时相应简化了上塔与基础之间的连接结构。在以往针对几何结构复杂的海上基础系统的研究中，也采用了类似的二维理想化处理。例如，Gourvenec和Barnett[28]在平面应变框架内研究了带裙边基础的不排水破坏包线，Gourvenec和Steinepreis[29]研究了共同作用的浅基础的不排水极限状态，强调了相邻基础之间相互作用的重要性，Chen等人[31]则为海上风电机组的桩桶复合基础垂直承载力提出了上界解。这些研究表明，在特定加载条件下，代表性的二维力学模型能够为评估主要的承载力机制提供一种有效且简便的方法。

基于这一简化模型，制作了一个小型二维的四桶式导管基模型（图2），用于室内模型试验，以模拟土体破坏过程并评估基础的垂直承载力。

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图2. 四桶式导管基模型。

四桶式基础模型的尺寸参数定义如下：D表示单个桶的直径，L代表桶的高度，S为相邻桶之间的中心距，t?则表示桶壁厚度。共分析了五种不同的四桶式导管基模型，分别记为B1至B5（表1），以此展示几何参数的变化情况，并为后续的数值分析提供基础数据。对于B1至B5所有模型，每个桶的直径D均设为20 mm，其他具体参数则总结于表1中。通过研究高径比（L/D）和间距径比（S/D），可以分析桶的高度和间距对垂直承载力的影响。

表1. 四桶式导管基的主要参数。
模型编号 | 直径(D)/mm | 高度(L)/mm | 间距(S)/mm | 间距径比(S/D) | 高径比(L/D)
---|---|---|---|---|---
B1 | 20 | 20 | 40 | 2.0 | 1.0
B2 | 20 | 40 | 20 | 1.0 | 2.0
B3 | 20 | 40 | 40 | 2.0 | 2.0
B4 | 20 | 40 | 60 | 3.0 | 2.0
B5 | 20 | 60 | 40 | 2.0 | 3.0

考虑到模型桶的直径为20 mm，桶壁厚度为2 mm。根据He和Kaynia[32]提出的通用无量纲相对刚度框架，无量纲相对轴向刚度可表示为KR=EpAp/[Es(D)L2]，其中Es(D)为深度为z=D处的土体弹性模量。取Ep=210 GPa，Es=500Su，则所有模型案例的计算得到的KR值均远大于刚性桩的临界值1.5[33]，因此可以认为这些模型桶相对于周围的软黏土而言具有轴向刚性。

2.3 实验步骤
模型试验所用的土料为袋装黏土。在正式试验之前，首先测定了包括液限、塑限和比重在内的基本土工参数。所有这些指标都是通过标准的岩土实验室试验获得的，其综合土体性质见表2。

表2. 黏土的基本物理性质。
参数 | 符号 | 数值 | 单位 |
|-----------|--------|--------|--------|
| 液限 | wL | 47.1% | % |
| 塑限 | wP | 26.2% | % |
| 塑性指数 | IP | 20.9 | — |
| 比重 |Gs | 2.68 | — |
| 初始含水率 | ω | 2.50% | % |
| 压缩模量 | Es | 1.61 | MPa |

试验在直径为310 mm（约为桶直径D的15倍）、高度为350 mm（超过D的15倍）的圆柱形土槽中进行。模型黏土是通过将干黏土粉与水充分混合，使其达到32%的目标含水率而制备的。然后将制备好的黏土分层放入试验容器中并压实。每层压实完成后，都会对表面进行粗糙处理，以打破平整的压实界面，便于铺设下一层，从而提高整个土层的整体完整性，减少相邻层之间形成弱界面的可能性。由于本次试验旨在研究基础安装后的单调垂直承载响应，因此没有在基础周围设置外部自由水层。

试验中的加载是在位移控制的条件下进行的。加载点位于连接多个桶的连接部分的几何中心，如图3所示。为了研究四桶式导管基的垂直承载力，限制了水平方向和弯矩方向的位移，这样可以消除水平荷载和弯矩荷载带来的耦合效应，确保仅考察基础的垂直承载性能。

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图3. 模型加载情况。

在本研究中，为确保小型模型试验中能够实现稳定的准静态加载过程，选择了0.1 mm/s的位移控制加载速率。该加载速率与先前关于桶状基础竖向承载力模型研究中所采用的速率一致[34]。所有模型试验均采用相同的加载速率，以确保结果的一致性。在正式进行承载力试验之前，先进行了预加载和固结阶段。由于试验土为软黏土，首先将基础插入土中，然后让其在其自身重量作用下固结。模型基础及土壤在插入前与预加载固结后的状态分别如图4(a)和图4(b)所示（试验模型B5）。

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图4. 试验用土壤的示意图。

观察结果表明，桶内通常充满黏土，且如图4(d)所示，桶内没有明显的空隙。在安装过程中出现了土壤堵塞现象。在后续的竖向加载阶段，这些土壤块会随桶一起移动，从而形成桶-土壤耦合系统。本研究主要关注安装完成后四桶式基础的竖向承载性能及破坏机制。本研究采用的安装方法与实际吸力贯入过程之间的差异并未进行定量分析。

共进行了多组试验，不同试验组的土壤强度存在差异。每组试验中土壤的未排水抗剪强度(Su)是通过叶片剪切试验(VST)测得的。显示土壤强度随深度变化的成果如图5所示。对所有试验中使用的黏土的Su值进行了曲线拟合，得到如下经验关系式：Su = 0.0917Z + 16.12。

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图5. Su曲线。

2.4 试验结果

图4展示了竖向承载力试验后四桶式套管基础（模型B5）及其周围土壤的状况。载荷与位移数据是通过安装在三自由度加载系统上的位移传感器记录下来的。根据各阶段的竖向载荷及相应位移，模型试验所得的基础载荷-位移(P-S)曲线如图6所示。

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图6. 竖向P-S曲线。

由于模型土制备过程中不可避免的存在差异，不同试验中的未排水抗剪强度(Su)存在一定波动。为降低土壤强度差异对结果比较的影响，采用了无量纲化处理方法。四桶式基础的竖向承载力系数定义为Nv=P/Su，其中P为四桶式套管基础的竖向承载力，Su为桶底深度处的未排水抗剪强度。此外，归一化竖向位移定义为Sv=S/D，其中S为基础的竖向位移，D为桶的直径。由此得到了竖向承载力系数与归一化位移之间的关系，即Nv-Sv曲线，如图7所示。

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图7. 竖向Nv-Sv曲线。

由于在竖向载荷-位移曲线中未观察到明显峰值，因此无法直接从峰值载荷确定竖向极限承载力。为此，采用了基于位移的承载力判定标准。Hesar[35]和Vesic[36]指出，在软土中，基础破坏时的沉降量通常约为基础宽度的3％～7％。参照Yan等人[37]和Zhai等人[38]所采用的标准，将竖向位移达到S = 0.07D时的载荷视为四桶式基础的竖向极限承载力Pu。根据本次模型试验得到的载荷-位移曲线，这一标准也被认为是合理的。

3 有限元分析

3.1 有限元模型

数值模型是使用有限元软件Abaqus建立的。数值模拟中四桶式套管基础的材料属性与模型试验中所用的保持一致。基础材料选用钢材，并采用线弹性本构关系进行建模。模型中采用了结构钢的标准力学参数，包括质量密度7850 kg/m3、弹性模量210 GPa以及泊松比0.3。由于四桶式基础的刚度远高于周围黏土的刚度，因此在数值分析中将其视为刚体。

在土壤模型中，根据试验土的实际情况及强度检测结果，将基础周围的土壤简化为均匀饱和黏土[39,40]，其有效单位重量为18.8 kN/m3。由于试验土为未排水黏土，因此采用Tresca屈服准则来描述土壤的屈服行为。现有研究表明，基于Tresca准则建立的理想弹塑性模型能够准确反映饱和黏土的未排水力学性能，而且这类模型也被广泛用于评估海洋结构物的承载力[41]。因此，本模型中的土壤被设定为摩擦角φ=0，泊松比为0.49。

对于不同的模型工况，土壤的未排水抗剪强度Su是根据模型试验中的实测值确定的。根据拟合得到的Su分布曲线，选取桶底深度处的土壤强度作为各工况的代表值。以往针对未排水黏土中的桶状基础及浅基础的研究通常认为，未排水抗剪强度是决定极限承载力的主要参数，而弹性模量主要影响初始刚度响应[25,42,43]。因此，考虑到未排水黏土的数值模拟需求，黏土的弹性模量是通过经验关系式E = 500Su来确定的。

四桶式套管基础及其周围土壤均采用四节点双线性平面应变四边形单元(CPE4)进行离散化。四桶式套管基础的完整有限元模型如图8所示，其中单个桶的直径记为D，桶高记为L，相邻桶之间的距离记为S。为尽量减少数值分析中边界效应的影响，桶边缘到侧向土体的水平距离被设定为5D，土体深度则取为10D。

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图8. 四桶式套管基础的数值建模图。

在有限元模型中，利用Abaqus中的面对面接触算法建立了每个桶与周围土壤之间的相互作用关系。在四桶式基础系统中，所有的桶-土壤界面都被赋予了统一的接触属性。对于所有的接触对，桶的结构表面被设定为主表面，而相邻的土体表面则被设定为从表面。在法向方向上采用了刚性接触公式；在切向方向上，则采用了各向同性惩罚公式，用以模拟沿钢桶与海相黏土界面的剪切滑动行为。

土壤则采用连续体单元进行建模。对于边界条件，底部边界处的位移自由度被约束，两侧边界处的水平位移也受到限制。图8展示了B3工况的有限元模型，相应的几何参数已在上文给出。本次试验采用了位移控制加载方式，即在加载参考点施加竖向位移V，直到载荷-位移曲线出现塑性平台，表明竖向载荷已达到极限承载力。作用在四桶式基础上的所有外部载荷都转化为作用在参考点RP处的竖向力V，该参考点位于基础的几何中心，即泥面处。

3.2 仿真结果分析

基于上述有限元模型，得到了软黏土中四桶式套管基础B1～B5工况的数值结果。图9和图10分别展示了位移等值线图和等效塑性应变(PEEQ)等值线图。

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图9. 土基系统的竖向位移等值线图。

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图10. 等效塑性应变(PEEQ)的发展趋势图。

进一步提取参考点RP处的竖向反力与竖向位移，得到了四桶式套管基础的竖向载荷-位移曲线。按照前述的无量纲化处理方法，将基础位移达到0.07D时的竖向载荷定义为软黏土中四桶式套管基础的竖向极限承载力Pu。

图11展示了归一化竖向承载力Nv与归一化位移Sv的关系曲线，同时给出了相应的小型模型试验结果，其中标有*的符号代表数值计算结果。

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图11. 试验结果与数值计算结果的Nv-Sv曲线对比图。

有限元计算结果与模型试验结果总体上是吻合的，当Sv=0.07D时，计算得到的Nv值与试验值的差异小于10％（见表2）。这说明所建立的数值模型是可靠的，适合进一步分析四桶式基础的竖向破坏机制。

表2a. 有限元预测结果与试验结果的对比

| 模型编号 | 有限元计算Pu* (KPa) | 有限元计算Nv* (-) | 试验结果Nv (-) | 相对误差(%) |
|--------|---------------------|-------------------|----------------|------------|
| B1 | 101.45 | 65.63 | 65.39 | 4.41 |
| B2 | 123.55 | 66.17 | 86.52 | 5.35 |
| B3 | 126.75 | 66.33 | 86.79 | 6.70 |
| B4 | 134.13 | 66.70 | 77.30 | 5.81 |
| B5 | 186.82 | 88.64 | 98.38 | 13.20 |

为定量评估土壤弹性模量对数值计算结果的影响，并分析小位移阶段的误差来源，分别在工程上常用的E/Su=300、400、500、600范围内进行了敏感性分析。图12展示了以B3模型为基础的分析结果。分析中仅改变弹性模量参数，其余模型参数保持不变，以此研究土壤弹性模量的影响。结果表明，弹性模量主要影响载荷-位移响应的初始阶段，而对极限承载力的影响相对较小。对于极限承载力而言，使用其他弹性模量值（300Su、400Su、600Su）所得结果与使用500Su所得结果之间的差异均小于2.5%。

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图12. E/Su比值对载荷-位移响应的影响（B3模型）。

3.3 破坏机制研究

如图13所示，桶内的土壤表现出明显的刚性区特征。一旦土壤块与桶盖完全接触，桶就会限制内部土壤的流动，使得土壤块与基础作为一个整体向下运动。因此，桶底以下的破坏并不遵循浅基础的典型Prandtl型破坏机制，而更接近Meyerhof型破坏机制。

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图13. 位移矢量等值线图（U）。

由于桶壁的挤压作用，桶底附近的土壤倾向于向外侧流动，而相邻桶之间的土壤则在桶组相互作用的作用下向上隆起。这表明，竖向承载过程既包括单个桶下方区域的局部挤压，也包括桶间土壤的协同变形。

图10中的等效塑性应变等值线显示，塑性变形始于桶壁的下边缘，并以弧形向下方及中心区域扩展。这些塑性区逐渐融合，形成环绕相邻桶的连续破坏面。这一特征与基础窄深的比例有关，即L/D ≥ 1。

当S/D较小时，相邻桶之间的应力区和变形区有较大重叠，说明桶组之间的相互作用较强。此时，破坏表现为由多个局部塑性区的相互作用与融合所形成的耦合破坏机制，而非简单各个桶单独破坏的叠加。随着S/D的增加，这种相互作用减弱，塑性区的发育趋于独立。因此，尽管S/D对竖向承载力大小的总体影响有限，但它对破坏模式的形态控制起着重要作用。

4 上限分析

4.1 上限解法

在承载力分析中，极限分析的上限法被广泛用于通过构建合理的破坏机制来预测结构的极限承载力。对于表面基础，Chen等人[44]基于上限定理建立了一套系统化的分析框架。在本研究中，采用该方法来评估四桶式基础的竖向极限承载力。基于虚功原理，其通用表达式如方程(1)所示：(1)∫VFivi*dV+∫Sppi0vi*dS=∫Vσij0εijdV 其中，Fi为单位体积的体力；pi0为作用在边界面上的给定表面牵引力；vi?为运动学上允许的速度场；σij为应力场；εij为与vi?相关的虚拟应变率场；V表示变形土体的体积；S表示施加pi0的边界面。该方程将外部做功率与内部塑性耗散率联系起来。通过构建合理的运动学上允许的速度场，可得到基础承载力的上界解。

4.2 速度场分析及边界条件
根据本研究中的实验和数值结果，所提解决方案的几何适用范围为：对于四桶式基础，1≤L/D ≤ 3且1≤S/D ≤ 3。具体应用步骤如下：首先确定四桶式基础的各项几何参数，包括桶径D、埋深L以及桶间距S；然后根据L/D和S/D确定相应的破坏机制以及运动学上允许的速度场参数；接着计算与该速度场相关的内部塑性耗散率和外部做功率；最后通过求解功率平衡方程得到竖向极限承载力。
为便于分析推导，本研究采用了以下假设：（1）平面应变条件；（2）理想弹塑性土体行为，忽略应变强化与软化效应，采用相应的流动规律描述塑性变形方向；（3）受特雷斯卡破坏准则（φ=0）控制的未排水饱和软黏土条件；（4）桶内的刚性土块与基础同步移动，无相对位移。
当1 ≤ S/D ≤ 3时，四桶式基础各桶内的土体之间会发生显著相互作用，位移场和塑性应变分布存在明显的重叠区域。桶下方的土体破坏机制并非典型的普兰特尔破坏模式，而更类似于迈尔霍夫破坏模式。因此可以建立如图14所示的运动学上允许的速度场。本研究将土体破坏区划分为七个不同区域：相互作用区ABCD（区域0）和A?B?C?D?（区域0?）；活跃区CDE（区域1）和C?D?E?（区域1?）；过渡区DEI（区域2）和D?E?I?（区域2?）；过渡区DFI（区域3）和D?F?I?（区域3?）；被动区CEH（区域4）和C?E?H?（区域4?）；被动区COH（区域5）和C?O?H?（区域5?）；最后是四个桶之间的内部土体区域ACOC?A?（区域6）。
图14 该基础的运动学上允许的速度场。
本研究建立的速度场是针对单调竖向荷载作用下四桶式基础的破坏机制专门设计的，充分考虑了相邻桶之间土体的相互作用与塑性变形。因此，若不重新构建适用于相应基础构型与破坏机制的运动学上允许的速度场并重新推导相关的塑性耗散项，所提出的上界解无法直接应用于其他类型的基础。
竖向荷载作用下四桶式基础的破坏机制具有对称性。基于破坏机制与运动学上允许的速度场，分析中仅考虑速度场的一半，如图14所示。
对于典型φ-c材料黏土而言，刚性块体在位移过程中其速度矢量与界面必须形成角度φ。当土体通过旋转方式破坏时，唯一允许的运动学破坏面为对数螺旋面。如图14所示，EI、IF、EH和HO等曲线均为对数螺旋面。
基于图15所示的运动学上允许的速度场，可进一步确定不同区域的几何关系，相关表达式见方程(2)-(9)。
(2)AB=CD=D
(3)AC=BD=L
(4)AA′=CC′=S
(5)CE=DE=R1=CD·sinα=D·sinα
(6)DI=DE·(e)π2·tanφ=D·sinα·(e)π2·tanφ=R2
(7)CH=CE=R1=D·sinα(e)π2·tanφ
(8)GH=OG=GC+CH=L2+R1
(9)OC=S2·sec(π2?β)
图15 速度场示意图。
方程(9)中的角度β用于描述中心区域的几何特征及其相对于相邻破坏区域的定位。如前面的破坏模式分析所示，桶间距比S/D的变化会改变相邻桶之间塑性区的范围与融合程度，因此角度β也会随S/D而变化。由于β值既影响速度关系，也影响OC和OH两个断层面上的能量耗散，此处将其表示为桶间距比S/D的函数，即：
(10)cosβ=0.97?0.11SD
假设v0为四桶式基础的竖向荷载速度，那么基础以及桶内被困土体的向下速度也为v0。活跃区和过渡区内任意点的土体速度分别记为v1、v2、v3、v4和v5；v2?1表示DEI区域内、与DE成θ角（θ为沿DE方向旋转的任意角度）的EI断层面上的速度，具体表达式为：
(11)v1=v0
(12)v2=12·v1·secα=12·v0·secα
(13)v2?1=12·v0·secα·(e)θ·tanφ
(14)v3=v2·(e)π2·tanφ=12·v0·secα·(e)π2·tanφ
(15)v3?1=v3=12·v0·secα·(e)π2·tanφ
(16)v4=12·v1·secα=12·v0·secα
(17)v5=v4=12·v1·secα=12·v0·secα
变形区DEIF绕点D旋转。vDE和vDI分别表示活跃区与过渡区之间薄变形层DE，以及过渡区与被动区之间薄变形层DI两侧的相对速度。其他薄变形层两侧的相对速度定义类似，具体表达式为：
(18)vDE=v2·cosφ=12·v0·secα·cosφ
(19)vEI=v2?1·cosφ
(20)vIF=v3
(21)vEH=v4
(22)vHO=v4
4.3 上界解的计算
沿速度断层的单位面积能量耗散率可表示为黏聚力c与界面处切向速度跃变v的简单乘积。计算重力做功功率以及沿速度断层能量耗散率的公式分别为方程(23)和(24)：
(23)PG=∫Sγ·vdS
(24)PC=∫LSu·[ΔVt]dL
本研究将土层建模为纯黏土的均质沉积体。计算中采用特雷斯卡屈服准则，且假定黏土的内摩擦角为0°（φ=0）[41]。
4.3.1 耦合区ABCD（区域0）
耦合区ABCD（区域0）内的土体与基础一同移动，其自重做功率可用方程(25)表示：
(25)PG0=∫ABCDγ·v0′dS=γ·v0·L·D
4.3.2 活跃区CDE（区域1）
活跃区CDE内土体的自重做功率可用方程(26)表示：
(26)PG1=∫DEIγ·v1′dS=γv012D2sin2α
4.3.3 过渡区DEI（区域2）
过渡区DEI是围绕点D发展的对数螺旋面区域，该区域内土体的自重做功率由方程(27)给出：
(27)PG2=∫DEIγ·v2′dS=∫0R2∫03π2?αγv2sinθ·rdθdr
沿DE速度断层的能量耗散率为：
(28)PDE=∫DESu·[vDE]dL=Su·12v0·secα·R2
沿EI速度断层的能量耗散率由方程(29)给出：
(29)PEI=∫EISu·[vEI]dL=Su·12v0·secα·12·π·R2
对于由对数螺旋面边界构成的过渡区，以往研究表明，可通过对应对数螺旋面速度断层上的耗散关系来确定内部耗散做功率[31]。因此，DEI区域的内部耗散做功率可表示为：
(30)PC2=∫DEISu·[ΔVt]dS=PEI=Su·12v0·secα·12·π·R2
4.3.4 被动区DFI（区域3）
图16，图17。
图16 第3区域的速度场示意图。
图17 第4区和第5区域的速度场示意图。
被动区DFI内土体的自重做功率由方程(31)给出：
(31)PG3=∫DFIγ·v3′dS=∫0R2∫0π?αγv3sinθ·rdθdr
由于DI并非速度断层面，对于被动区DFI（区域3），仅需考虑沿FI速度断层面的能量耗散率：
(32)PFI=∫FISu·[vFI]dL=Su·12v0·secα·π?απ·π·R2
被动区DFI（区域3）的内部耗散做功率由方程(33)给出：
(33)PC3=∫DFISu·[ΔVt]dS=PFI=Su·12v0·sinα·(π?α)R2
4.3.5 过渡区CEH（区域4）
过渡区CEH内土体的自重做功率由方程(34)给出：
(34)PG4=∫CEHγ·v4′dS=∫0R1∫0π2?αγv3sinθ·rdθdr
沿CE速度断层的能量耗散率为：
(35)PCE=∫CESu·[vCE]dL=Su·12v0·secα·R1
沿EH速度断层的能量耗散率由方程(36)给出：
(36)PEH=∫EHSu·[vEH]dL=Su·12v0·secα·π2?α2π·2πR1
过渡区CEH（区域4）的内部耗散做功率的推导式为方程(37)：
(37)PC4=∫CEHSu·[ΔVt]dS=PEH=Su·12v0·secα·π2?α2π·2πR1
4.3.6 被动区COH（区域5）
被动区COH内土体的自重由方程(38)给出：
(38)PG5=∫OCHγ·v5′dS=∫0β′∫Lsinα2sin(π?β′?α)L2+R1γv5sinθ·rdθdr
方程(38)中的角度β'可由方程(39)表示，随后用于相关计算：
(39)cosβ′=SL+2R1
沿OH速度断层的能量耗散率为：
(40)POH=∫OHSu·[vOH]dL=Su·12v0·secα·β′2(L2+R1)2
沿OC速度断层的能量耗散率由方程(41)给出：
(41)POC=∫OCSu·[vOC]dL=Su·12v0·secα·S2·sec(π2?β)
由于被动区COH（区域5）形状不规则，本研究未直接对其进行内部能量耗散计算，而是先对整个GOH区域进行计算，再减去三角形OCG区域的内部能量耗散。该计算过程由方程(42)表示：
(42)PC5=∫COHSu·[ΔVt]dS=∫GOHSu·[ΔVt]dS?∫OCGSu·[ΔVt]dS=Su·[12v0·secα·β′2π·π(L2+R1)?∫0β′∫0Lsinα2sin(π?β′?α)12v0·secα·dθdr]=Su·[12v0secα·β′2(L2+R1)?v0Lβ′tanα2sin(β′+α)]
方程(42)中的参数β'由方程(39)定义。
4.3.7 中间区域ACOC?A?（区域6）
内部土体区域ACOC?A?内土体的自重由方程(43)给出：
(43)PG6=∫ACOC?A′γ·v6′dS=γ·v5cos(π2?β)[S·L·+S24tan(π2?β)]
4.3.8 桶壁表面
沿桶壁速度断层的能量耗散率分为两部分，分别是左右桶壁带来的耗散率，即AG段和BF段的耗散率，对应表达式如下：
(44)PAG=∫AGSu·[ΔVt]dL=Su·v0·12L
(45)PBF=∫BFSu·[ΔVt]dL=Su·v0·(L?Dsinα)
4.4 极限承载力结果
将自重做功率与耗散做功率代入功率平衡方程，即可得到黏土基础竖向极限承载力的上界解。α为主应力方向与水平面的夹角，剪切区的中心角由上述几何关系确定。外部做功率由方程(46)给出：
(46)P=Pu·v0·2D
再将该式与总内部耗散做功率的表达式结合，即可得到方程(47)所示的功率平衡关系：
(47){PG=2(?PG0?PG1+PG3?PG4+PG5)+PG6
PC=2(PC1+PC2+PC3+PC4+PC5)
PS=2(PDE+PEI+PFI+PCE+PEH+POH+POC+PAG+PBF)
P=(PC+PS)?PGB
基于方程(46)和(47)，可进一步推导出四桶式基础的归一化竖向承载力系数Nv，其表达式为方程(48)：
(48)NV=PuSu=PSu·v0·2D
为验证所建立的上界模型，本研究整理了B1-B5五种工况下四桶式基础竖向承载力的理论上界解，并将其与小尺度模型试验的测量结果进行对比，完整结果汇总于表3。可见，所建立的上界解能够合理预测所有工况下的竖向极限承载力，有效反映了黏土中四桶式基础的竖向承载性能，因此认为该方法是合理且可行的。
表3 上界解与模型试验结果的对比
模型编号 上界解Pu(kPa) 实验值Pu(kPa) 相对误差(%)
B1 113.32 897.15 314.22
B2 140.90 7130.54 37.14
B3 150.07 2135.85 59.38
B4 159.92 146.09 78.64
B5 194.56 181.03 97.03
4.5 讨论
模型试验结果主要用于识别竖向荷载作用下的土体破坏机制，评估L/D和S/D对竖向承载力的影响，以及利用无量纲参数验证后续的有限元模型和所提出的上界解。在将当前模型试验测得的荷载转换为原型基础的实际承载力之前，还需要进一步验证。若要将所提出的方法直接应用于原型海上基础，还需开展额外的离心模型试验及其他实验验证。
5. 影响因素
基于第4节推导出的上界解，以土体单位重量γ=18.8 kN/m3和未排水抗剪强度Su=20 kPa作为参考条件，对四桶式基础的归一化竖向承载力系数Nv进行了参数分析。首先，为研究长宽比L/D对竖向承载力的影响，将桶间距比S/D分别取为1、2和3，再将长宽比L/D设置为1、2/3、2、5/2和3，计算出对应的归一化竖向承载力系数Nv，其变化趋势如图18所示。此外，为研究桶间距比S/D的影响，将长宽比L/D分别取为1、2和3，而桶间距比S/D则取为1、2/3、2、5/2和3，得到对应的竖向承载力系数Nv值，如图19所示。
图18图19. 斜高比S/D对NV的影响。如图18所示，对于给定的斜高比S/D，归一化竖向承载力系数Nv会随着长宽比L/D的增加而单调上升，较大的L/D值对应更高的Nv值。这说明增大桶状结构的长宽比有助于提升四桶式基础的竖向极限承载力。如图18所示，对于给定的长宽比L/D，斜高比S/D的变化也会导致Nv的变化，但整体影响相对有限。在本研究考虑的参数范围内，四桶式基础的竖向承载力对长宽比L/D更为敏感，而非斜高比S/D。将本次二维分析得到的结果与以往关于四桶式护筒基础的三维数值研究[45]进行了对比，结果表明，关于几何参数对竖向承载力影响的规律，二维模型与三维分析结果一致。具体而言，两种分析都表明，随着高径比L/D的增加，竖向承载力会上升；而由于土体破坏区的分离，相邻桶状结构之间的群体相互作用效应会随着斜高比S/D的增加而逐渐减弱。综合这些结果表明，长宽比L/D和斜高比S/D都会影响四桶式护筒基础的竖向极限承载力，但两者的影响程度存在显著差异。在均匀软黏土中的四桶式基础上，优化竖向承载力时，调整长宽比L/D通常比改变斜高比S/D更有效。

6. 结论
本研究通过室内模型试验、有限元分析以及极限分析的上限法，研究了软黏土中四桶式护筒基础在竖向荷载作用下的承载行为、破坏机制及理论预测方法。主要结论如下：
(1)模型试验结果表明，四桶式基础的竖向承载力会随着长宽比L/D和斜高比S/D的增加而提升。
(2)建立了与实验对应的二维有限元模型，进一步表明四桶式基础的竖向破坏具有明显的桶群相互作用特征。
(3)基于实验观测和有限元分析，确定了土体位移场和塑性区的演化规律，建立了四桶式护筒基础在竖向荷载作用下的运动学上可行的速度场，并综合考虑L/D和S/D的影响，得出了竖向极限承载力的上限解。
(4)参数分析表明，与斜高比S/D相比，长宽比L/D对四桶式基础的竖向极限承载力有更显著的影响。

作者贡献说明
陈广西：写作——审阅与编辑、方法学、研究、资金获取、形式分析。李瑞哲：写作——初稿撰写、研究、可视化。姚烨：写作——审阅与编辑、验证、监督、形式分析、数据整理。刘润：软件应用、资源协调、项目管理。杜文超：可视化、研究。辛宽：写作——审阅与编辑、监督、数据整理。

陈广西|李瑞哲|姚烨|刘润|杜文超|辛宽
中国天津市天津大学水利工程智能建造与运行国家重点实验室，邮编300072