海底电力电缆热机械弯曲行为的理论模型

《Marine Structures》：A theoretical model for the thermo-mechanical bending behavior of submarine power cables

　　摘要：在电力传输过程中，海底电缆会产生较大的热负荷，从而导致电缆结构各层发生热膨胀和热应力。这些应力会改变螺旋铠装线与相邻层之间的接触状态及滑动行为，进而影响电缆的非线性弯曲性能。为了解决这一问题，本文建立了一个理论模型来研究海底电缆的热机械弯曲行为。首先基于细杆理论和厚壁理论建立了受热作用下的轴对称模型，随后构建了一个考虑层间剪切变形的弯曲模型，用以描述在热力和弯曲载荷共同作用下的非线性弯曲滞后响应。该理论模型预测的轴对称和弯曲响应通过有限元模拟进行了验证。研究结果表明，温度升高会增加铠装层与相邻层之间的接触力，进而提高临界滑移曲率，并扩大滞后曲线中的弯矩范围。参数分析进一步表明，较大的铺设角度会显著降低粘着刚度及弯矩范围，而临界滑移曲率则先随铺设角度增大而减小，之后又有所上升。这项工作为理解海底电缆非线性弯曲行为与热机械效应之间的内在关系提供了理论框架和重要见解。

1. 引言：随着海上风电向深海区域的发展，风电场的规模不断扩大，单个风力涡轮机的容量也在持续提升。为满足长距离、大容量电力传输的需求，海底电缆的电压等级正在不断提高，预计132千伏及以上的高压电缆将在未来的深海风电项目中发挥重要作用[1]。与此同时，随着电压等级和传输功率的上升，电缆内部产生的热量也显著增加。这种温度上升及由此带来的热效应已成为高压、大容量海底电缆设计和运行中的关键挑战[2]。

在运行过程中，海底电缆同时承受着各种机械负荷和热负荷。机械负荷包括自重、波浪和海流引起的动荷载、海底地形导致的弯曲以及浮动平台传递的端部位移。热负荷主要源于电力传输过程中导体产生的温度升高。在运行状态下，这种内部加热会在电缆各层之间形成朝向与海水接触的外表面的径向温度梯度。这种温度上升会导致结构层发生热膨胀，以及材料力学性能的下降，从而产生较大的热应力。在机械负荷和热负荷的共同作用下，电缆会表现出明显的热机械响应，这些响应会改变层间接触条件以及螺旋线的滑动行为，进而影响电缆的整体弯曲性能[3,4]。由于弯曲性能与结构完整性和疲劳寿命密切相关，忽视热效应可能会导致对海底电缆运行状态的误判。因此，了解在热力和机械负荷共同作用下的弯曲特性对于改进结构分析、确保电缆的长期安全性和可靠性至关重要。

如图1所示，典型的单芯海底电缆通常由若干圆柱形和螺旋形层构成，如导体、绝缘层、铠装层和外护套层。铠装层和导体层以螺旋方式缠绕，既能提供轴向拉伸和扭转能力，又能具备横向弯曲灵活性。由于电缆各层之间存在显著的接触和摩擦作用，螺旋结构在弯曲过程中会从粘着状态转变为滑动状态。这就导致了典型的非线性特征，即弯曲刚度会随曲率变化，且电缆在循环载荷作用下会表现出明显的滞后现象[5]。系统地描述螺旋结构的粘着-滑动行为和非线性弯曲响应一直是该领域的核心问题。

图1. 电缆的典型结构配置[6]

关于螺旋结构弯曲刚度的理论研究起源于钢丝绳力学。Costello[7]基于Love的螺旋杆理论进行了分析，推导出了纯弯曲状态下螺旋结构的弯曲刚度。Lanteigne[8]则建立了ACSR导体在静态拉伸、扭转和弯曲状态下的刚度矩阵，为研究螺旋结构中的摩擦和滑动机制提供了早期见解。Papailiou[9]在一项开创性研究中提出了一个考虑层间摩擦和滑动的导体弯曲模型，将弯曲过程分为粘着阶段和滑动阶段，并推导出了多线性弯矩-曲率关系。Hong等人[10]通过对层间接触压力的计算方式进行改进，尤其是对外层向核心层压力传递的考虑，对这一模型进行了优化。Inagaki等人[11]后来将该模型扩展到了二阶螺旋结构。Foti等人[12]进一步将Papailiou的模型推广，用于分析在拉伸、扭转和弯曲作用下金属绞线的响应，同时考虑了制造过程引入的残余径向接触力。Han等人[13]提出了一种具有库仑摩擦的三维细杆模型，用于研究多层螺旋结构的粘着-滑动弯曲行为。对于类似的螺旋复合结构，如柔性立管、脐带缆和海底电缆，也发展出了类似的弯曲理论[[14], [15], [16]]。为描述螺旋线在弯曲过程中在环面上的滑动轨迹，人们提出了两种经典的路径假设：一种是测地线路径，假设导线沿势能最小的最短路径滑动[[17], [18], [19]]；另一种是等角航线路径，假设滑动过程中铺设角度保持不变[16,20,21]。实验表明，等角航线路径更符合螺旋线的实际运动规律，因此被广泛采用[22]。基于这一假设，Witz和Tan[16]研究了多层螺旋复合结构在纯弯曲作用下的大变形响应。Kraincanic和Kebadze[14]则研究了拉伸铠装线的滑动机制，将其分为粘着、部分滑动和完全滑动三个阶段。Dong等人[23]提出了严谨的分析公式，用于描述无粘结柔性管道中拉伸铠装层出现严重滑动的起始和发展过程，同时考虑了支撑塑料层中的剪切变形对弯曲响应的影响。Tjahjanto等人[24]为动态海底电缆中螺旋缠绕的电力核心层建立了分析应力模型，在完全等角航线滑动假设的基础上，推导出了临界滑移曲率和纵向滑移位移的表达式。Huang等人[15]则为海洋动力电缆中在轴向拉伸和弯曲载荷共同作用下的螺旋电力核心组件建立了全面的应力分析模型，并通过实验数据和数值模拟验证了其准确性。目前，相关领域的大多数弯曲理论模型主要是为柔性管道或钢丝绳等螺旋结构开发的，难以直接应用于海底电缆结构[22]。因此，专门针对海底电缆弯曲响应的理论研究仍然较少，而且能够系统考虑热机械效应的弯曲模型也依然缺乏。

由于复杂的几何形状和广泛的接触相互作用会导致强烈的非线性效应，近年来数值分析已成为研究电缆弯曲行为的主要方法。然而，电缆中存在多个螺旋组件，给数值建模带来了高计算成本和收敛困难等挑战。为提高效率，人们通常会采取一定的简化措施。一些研究使用梁单元和壳单元来表示螺旋线，从而减少单元数量和接触复杂性[25,26]。还有些研究利用螺旋结构的几何周期性，通过引入周期性边界条件来缩短模型长度[3,[27], [28], [29]]。不过，这类方法的准确性在很大程度上取决于所采用的特定周期性边界条件[30]。

最近的研究开始探讨热效应对电缆弯曲行为的影响。实验表明，弯曲刚度对温度变化极为敏感[[31], [32], [33]]。但这些实验仅揭示了相关性，尚未阐明导致刚度随温度变化的根本机制。Li等人[3]对三芯海底电缆在热机械场作用下的弯曲响应进行了数值分析，预测在20℃到90℃之间电缆的刚度会下降。Qiao等人[4]通过建立带有周期性边界条件的有限元模型，研究了热机械耦合效应对电缆拉伸刚度和弯曲刚度特性的影响。他们的研究结果表明，非线性弯曲刚度是热膨胀变形和材料软化共同作用的结果。Ringsberg等人[34]采用数值-分析相结合的方法，研究了内部温度波动对动态海洋电力电缆的力学性能和疲劳性能的影响，同时考虑了径向温度梯度以及温度依赖的材料属性。Fang等人[35]开发了一种新的重复单元格数值模型，用于研究在电、热、机械耦合作用下SPC材料的弯曲行为。他们的研究结果表明，温度依赖的聚合物性能对弯矩的影响小于5%，这说明电缆的弯曲响应主要是由热膨胀导致的界面接触压力变化所决定的，而非材料软化效应。尽管上述研究都表明温度对电缆弯曲性能有着显著影响，但现有的大多数研究仍主要依赖于数值模拟或工程分析工具。目前，能够明确描述海底电缆在热力和机械载荷共同作用下的弯曲行为的解析或半解析理论模型仍然十分有限，这限制了快速预测和高效参数分析的开展。

虽然有限元方法能够模拟海底电缆的热机械弯曲行为，但对于具有复杂螺旋结构的电缆进行三维高精度建模往往十分繁琐且计算成本高昂。此外，这类数值方法也无法直观地揭示热负荷、层间接触与非线性弯曲行为之间的相互作用机制，因此在工程设计的参数分析和敏感性分析中的应用效率较低。因此，本文旨在建立一种数学模型，以阐明海底电缆在热力和弯曲载荷共同作用下的力学响应。本文分别基于细杆理论和厚壁理论，建立了铠装层和圆柱形层在热负荷作用下的平衡方程。在此基础上，利用轴对称分析得到的热诱导层间接触力，进一步建立了考虑支撑层的剪切变形以及铠装线粘着-滑动机制的弯曲模型。本文的结构安排如下：第2节建立解析模型，首先得到轴对称热响应，然后介绍弯曲模型；第3节建立用于热-弯曲分析的有限元模型；第4节通过与有限元模拟结果对比来验证理论模型，进而分析热-弯曲响应，并开展关于铺设角度的参数研究；第5节给出结论。

2. 数学模型

2.1 热机械模型

本节建立了海底电缆在热负荷作用下的轴对称解析模型。为简化问题，我们假设电缆处于均匀温度场中，同时忽略聚合物材料的温度依赖性，因为已有研究表明材料软化对弯曲响应的影响相对较小[35]。基于电缆各层的径向和轴向热变形耦合效应，分别利用细杆理论和厚壁理论建立了螺旋铠装层和圆柱形层的平衡方程。通过引入层间的径向位移连续条件、径向边界条件以及整体轴向平衡条件，求解这组平衡方程，从而确定由热负荷引起的层间接触力。

2.1.1 几何描述与耦合变形

本研究考虑了受热负荷作用的多层海底电缆。其中，导体的多层螺旋结构被忽略，被视为一个圆柱形层。电缆的几何结构如图2(a)和(b)所示。θ2表示铠装线的初始螺旋角。R0、R1、R2、R3和R4分别代表导体层未变形时的外半径、绝缘层的外半径、铠装线的内半径以及外护套层的内外半径。如图2(b)所示，铠装线中心线的初始螺旋半径为(1)rl2=R1+R2

图2.海底电缆的几何特性。(a) 整体几何结构。(b) 横截面示意图。(c) 圆柱形层与螺旋状护层之间的耦合变形。在热负荷作用下，电缆会发生径向热膨胀。因此，护层钢丝中心线的变形后螺旋半径可表示为(2)rˉl2=Rˉ1+R2，其中绝缘层的变形后外半径为Rˉ1=R1+uR1，uR1表示绝缘层表面的径向膨胀量。在后续推导中，带横线的符号表示热变形状态下的量。由于护层钢丝的热膨胀系数较小且其半径也较小，因此可忽略其横截面的径向热膨胀。此外，基于小变形假设，也忽略了护层钢丝与相邻层之间的接触变形。图2(c)表明，在热机械载荷共同作用下，螺旋层和圆柱形层都会发生耦合的轴向伸长、扭转以及径向膨胀。由于两端约束，所有层都会产生相同的轴向变形和扭转变形。电缆的轴向应变εzz和扭转应变τzz定义为(3)εzz=(lˉ?l)/l(4)τzz=Δ?/l，其中l和lˉ分别为未变形和变形后的电缆长度，Δ?则表示电缆两端的相对旋转角度。根据图2(c)所示的几何关系，钢丝的轴向拉伸应变可由电缆的轴向伸长、扭转应变以及径向变形来确定。设s为钢丝中心线的初始弧长，d为该中心线在绞线轴线法平面上的初始长度，则钢丝的轴向拉伸应变可表示为(5)ε2=(rˉl2rl2)2(1+rl2τzztan2θ2)cos2θ2+(1+εzz)sin2θ2?1。当考虑钢丝的热膨胀时，轴向应变则变为机械应变减去热应变，即(6)ξ2=ε2?εT2，其中由温度升高ΔT引起的热应变表示为εT2=α2ΔT，α2为钢丝的热膨胀系数。根据公式(1)、(2)和(5)，变形后钢丝中心线的螺旋角可表示为(7)θˉ2=arcsin(1+εzz)sinθ2(1+ε2)。假设钢丝的中心线在变形前后仍保持螺旋形态，那么该中心线的曲率分量分别记为κ2和κ2′，中心线的单位长度扭转角为τ2。钢丝的曲率和扭转变化可通过以下公式得出(8a)Δκ2=κˉ2?κ2=0(8b)Δκ2′=κˉ2′?κ2′=cos2θˉ2rˉl2?cos2θ2rl2(8c)Δτ2=τˉ2?τ2=sinθˉ2cosθˉ2rˉl2?sinθ2cosθ2rl2

2.1.2 钢丝的平衡方程
以处于热负荷作用下的海底电缆中的护层钢丝为例，图3展示了作用在无穷小段钢丝上的力。整体位置用x-y-z坐标系表示，而中心线上任意点的切向、法向和副法向则分别用t、n和b表示。根据洛夫的细杆理论[36]，并将以往研究中所采用的常见假设[37,38]应用到这里，我们假设钢丝沿长度方向的张力、曲率和扭转均均匀，且每单位长度没有外部弯矩。由于在热负荷作用下切向摩擦效应较弱，因此可忽略摩擦力。这样一来，钢丝中心线的平衡方程即为(9a)?N2′τˉ2+T2κˉ2′+X2=0(9b)?G2′τˉ2+H2κˉ2′?N2′=0，其中N2′是作用在钢丝横截面上沿b方向的剪力分量，T2是沿t方向的轴向力，G2′是作用在钢丝横截面上沿b方向的弯矩分量，H2是绕t轴的扭转力矩，X2则是沿n方向的单位长度线载荷。下载：下载高分辨率图像（94KB）下载：下载完整尺寸图像图3. 作用在钢丝中心线上的载荷。钢丝中的轴向力为(10)T2=E2A2ξ2，其中E2为杨氏模量，A2为钢丝的横截面积。弯矩的分量可通过以下公式得到[39](11a)G2′=πE2R244(Δκ2′+κ2′ξ2)(11b)H2=πE2R244(1+ν)(Δτ2+τ2ξ2)沿z方向作用在钢丝上的总轴向力和扭转力矩则为[40](12a)F2=m(T2sinθˉ2?N2′cosθˉ2)(12b)M2=m[(H2?N2′rˉl2)sinθˉ2+(G2′+T2rˉl2)cosθˉ2]，其中m表示钢丝的数量。

2.1.3 圆柱形层的平衡方程
由于金属导体的热膨胀系数通常比绝缘层的低一个数量级（见表1），因此在热变形过程中导体与绝缘层之间的径向接触可忽略不计。所以，在圆柱形层的平衡分析中可省略导体层。基于拉梅厚壁理论[41]，可推导出绝缘层和外护套在热负荷作用下的平衡方程。如图4所示，这里采用标准的圆柱坐标系，其中r、θ和z分别代表径向、环向和轴向方向。在热负荷作用下，每个圆柱形层都会发生径向膨胀和轴向伸长，而由于电缆两端的约束，还会产生均匀的扭转。因此，在忽略体力作用的情况下，圆柱形层的径向平衡方程的一般形式为(13)?σrr?r+1r?τrθ?θ+?τrz?z+σrr?σθθr=0，其中σrr和σθθ分别为径向和环向正应力，τrθ和τrz分别为径向-环向和径向-轴向剪应力。由于护层钢丝在周向上分布密集且均匀，同时所施加的温度场也是均匀的，因此可将圆柱形层视为处于轴对称载荷作用下。这样一来，所有的应力分量都与θ和z无关，故可假设τrθ=0和τrz=0。此时方程(13)可简化为经典的平衡方程[42,43](14)?σrr?r+σrr?σθθr=0表1. 材料参数。组件材料杨氏模量（MPa）泊松比热膨胀系数（/°C）导体铜90,0000.321.9 × 10–5绝缘层XLPE3500.42.5 × 10–4护层钢丝铜90,0000.321.9 × 10–5护套MDPE13000.41.65 × 10–4下载：下载高分辨率图像（145KB）下载：下载完整尺寸图像图4. 圆柱坐标系及应力命名方式。绝缘层在热负荷作用下的简化应力-应变关系由[43]给出(15)[σrrσθθσzz]=E^[1?vvvv1?vvvv1?v][εrr?αΔTεθθ?αΔTεzz?αΔT]，其中v为泊松比，σzz为轴向应力。有效弹性模量定义为(16)E^=E(1+v)(1?2v)考虑到电缆的几何变形，绝缘层的环向位移和轴向位移可表示为(17)uθ=τzzrz,uz=εzzz在广义平面应变条件下，绝缘层的径向、环向和轴向应变分别为：(18)εrr=?ur?r,εθθ=1r?uθ?θ+urr=urr,εzz=?uz?z，其中ur为绝缘层的径向位移。将方程(18)代入本构关系式(15)，再代入径向平衡方程(14)，即可得到描述径向位移的控制微分方程(19)?2ur?r2+1r?ur?r?urr2=0其通解为(20)ur=Cr1r+Cr2r，其中Cr1和Cr2为待确定的积分常数。结合方程(15)、(17)、(18)和(20)，即可得到轴对称载荷作用下绝缘层应力场的表达式[44](21)[σrrσθθσzz]=E^[?(1?2v)Cr1r2+Cr2+vεzz?(1+v)αΔT(1?2v)Cr1r2+Cr2+vεzz?(1+v)αΔT2vCr2+(1?v)εzz?(1+v)αΔT]同样地，外护套的应力也可用类似形式表示出来(22)[σrrbσθθbσzzb]=E^b[?(1?2vb)Cr1br2+Cr2b+vbεzzb?(1+vb)αbΔT(1?2vb)Cr1br2+Cr2b+vbεzzb?(1+vb)αbΔT2vbCr2b+(1?vb)εzzb?(1+vb)αbΔT]，其中符号“b”表示对应于外护套层的量。在电缆两端施加的运动学约束作用下，绝缘层和外护套层具有相同的扭转应变和轴向应变，可表示为(23)τzz=τzzb,εzz=εzzb为确定应力场中的未知常数，需要考虑适当的边界条件和连续性条件。绝缘层的内边界和外护套的外边界处的径向应力必须与外部径向压力相匹配(24a)σrr(R0)=?p0(24b)σrrb(R4)=?p，其中p0表示导体对绝缘层施加的径向接触压力。由于绝缘层的膨胀程度远大于导体，因此在热膨胀过程中导体不会产生显著的径向压缩力，故p0=0。pe则表示作用在护套外表面上的外部径向压力。在本研究中，外部压力被忽略，即pe=0。假设各层之间存在理想的径向接触，那么绝缘层与钢丝之间以及钢丝与护套之间的界面具有与护层钢丝相同的径向位移[45,46]。(25)ur(R1)=urb(R3)=uR2，其中uR2为钢丝的径向位移。假设钢丝在相邻界面处施加均匀分布的周向接触压力，那么基于径向平衡条件，可从绝缘层外表面到护套内表面建立应力连续性条件：(26)σrr(R1)=R3R1σrrb(R3)?Px，其中由变形过程中作用在钢丝上的单位长度径向线载荷X2所引发的接触压力为Px=?mX22πR1。这样一来，绝缘层与钢丝之间以及钢丝与护套之间的界面处的线接触力分别为(27)XR1=?2πR1σrr(R1)/m,XR2=?2πR3σrrb(R3)/m

2.1.4 整体轴向平衡
根据力的平衡条件，电缆两端的轴向力和扭矩应等于所有层产生的轴向力的总和，并与外部载荷相平衡：(28){∑i=1NFi+F2=Fz∑i=1NMi+M2=Mz，其中Fz和Mz分别是作用在电缆上的外部轴向力和扭矩。在当前的热负荷情况下，没有外部机械载荷作用，因此Fz=0，Mz=0。不过，该模型还可以扩展用于预测轴向拉伸载荷作用下的轴对称响应，这类响应还可进一步纳入动态电缆的拉伸-弯曲或整体响应分析中[47]。对于第i个圆柱形层，其扭矩可由Mi=GiJiτzz给出，其轴向力则由Fi=σzziAi给出。通过结合径向连续性条件、径向边界条件以及整体轴向平衡条件，就可以求解轴向应变、扭转应变以及应力场中的未知常数，进而得到位移场和应力场，最终得到轴对称热响应。

2.2 弯曲模型
图5展示了在热弯曲载荷作用下，护层钢丝在圆柱表面上的变形情况。此处φ表示钢丝在横截面上的角度位置，κ则表示电缆的曲率。首先，护层钢丝和圆柱形层会发生热变形，包括轴向伸长uz、扭转uθ以及径向膨胀uR。当受到弯曲作用时，电缆会产生整体曲率，而钢丝则在圆柱表面上出现粘滑现象。下载：下载高分辨率图像（224KB）下载：下载完整尺寸图像图5. 热弯曲载荷作用下护层钢丝在圆柱表面上的变形情况。图6展示了弯曲作用下无限小护层钢丝段ds的力平衡情况。该段钢丝在内外表面会受到由热负荷作用产生的分布式径向接触力。为推导电缆弯曲过程中护层钢丝的平衡方程，此处引入了以下简化假设：(1) 忽略护层钢丝中心线的切向量与接触螺旋线的切向量之间的差异；(2) 忽略由于护层钢丝中心线与摩擦力作用点之间存在偏移而产生的分布式弯矩；(3) 忽略剪力的作用。基于以上假设，钢丝的切向平衡方程可表示为(29)dT2Bds?Ff1?Ff2=0，其中Ff1和Ff2分别表示绝缘层与钢丝之间以及钢丝与护套之间的摩擦力。弯曲作用下产生的轴向拉力可表示为(30)T2B=E2A2εB，其中εB表示处于粘滑状态时弯曲作用引起的护层钢丝的轴向应变。Witz和Tan[16]给出了εB的如下表达式(31)εB=ds′ds?1=rˉl2cos2αˉ2sinφκ，其中αˉ2为热变形后护层钢丝的铺设角，且与θˉ2互为补角。需要指出的是，该表达式并未考虑护层钢丝支撑层的剪切变形情况。下载：下载高分辨率图像（87KB）下载：下载完整尺寸图像图6. 弯曲作用下无限小螺旋单元所受的力。

2.2.1 剪切相互作用模型
海底电缆中的护层钢丝通常由厚塑料层作为支撑。在弯曲作用下，钢丝与支撑层之间的相互作用会引发显著的剪切变形，这使得传统的“平面保持平面”假设在粘滑区域不再成立[31]。Kraincanic和Kebadze[14]提出了基于“平面保持平面”假设的描述粘滑行为的经典模型。然而，由于该模型忽略了剪切变形，往往会高估粘滑区域内护层钢丝的轴向应力。为准确考虑剪切相互作用，Lutchansky[48]提出了夹层梁模型，用于预测弯曲作用下螺旋状护层钢丝的轴向应力，如图7所示。基于该模型，S?vik[49]、Dong等人[23]以及Yun等人[50]又提出了几种改进的弯曲模型，这些模型通过夹层梁理论有效地考虑了层间剪切变形的作用。下载：下载高分辨率图像（86KB）下载：下载完整尺寸图像图7. 剪切变形模型[49]。在弯曲作用下，护层钢丝中轴向拉力的增加始终会被作用在支撑层界面上的剪力所平衡。假设剪力与导线与支撑层之间的相对位移成正比，则导线的微分平衡方程可表示为(32)dT2Bds=KG(uw?up)。剪刚度可近似为KG=2GR2t，其中G和t分别表示支撑层（此处为绝缘层）的剪切模量和厚度[48]。uw为导线的实际纵向位移，而up是在平面保持平面假设下预测的位移，其表达式为(33)up(φ)=∫s(π2)s(φ)εBpds=?κrˉl22cos2αˉ2sinαˉ2cosφ=up^cosφ。将方程(32)转化为以φ表示的形式后可得(34)d2uwdφ2?KGrˉl22E2A2sin2αˉ2uw=?KGrˉl22E2A2sin2αˉ2up^cosφ。方程(34)的完整解由齐次解uwh=C1eηφ+C2e?ηφ构成，其中η=rˉl2KG/(E2A2sin2αˉ2)，以及一个谐波特解。由于铠装导线在均匀弯曲作用下的位移沿周向坐标是周期性的，即uw(φ+2π)=uw(φ)，因此非周期性的齐次项必须为零，即C1=C2=0，由此得到的谐波解为(35)uw=(KGKG+E2A2sin2αˉ2rˉl22)up。令剪系数定义为ξ=(KGKG+E2A2sin2αˉ2rˉl22)。这一表达式表明，在考虑剪切变形时，铠装导线的轴向应变会按比例减小。因此，考虑到剪切变形时，护套区域内的铠装导线所受轴向力为(36)T2B=ξE2A2rˉl2cos2αˉ2sinφ。2.2. 挤压-滑动模型在开始滑动时，导线中的轴向张力梯度与摩擦力达到平衡(37)dT2Bds=Ff。通过对方程(36)求导可得张力梯度。利用几何关系sinαˉ2ds=rˉl2dφ，可得到(38)dT2Bds=dT2Bdφdφds=ξE2A2sinαˉ2cos2αˉ2cosφκ。总摩擦力Ff完全由热诱导的径向接触力产生，而弯曲引起的张力贡献则被忽略。因此，单位长度的摩擦力为(39)Ff=μ1XR1+μ2XR2，其中μ1和μ2分别是绝缘层与导线界面以及导线与护套界面处的摩擦系数。将方程(38)和(39)代入方程(37)，即可得到开始滑动时的临界曲率表达式(40)κcr=μ1XR1+μ2XR2ξE2A2sinαˉ2cos2αˉ2cosφ。分析方程(40)可知，当φ=0,π时（即铠装导线位于中性轴上），临界曲率达到最小值，这意味着滑动将首先在这些位置开始。(41)κcrmin=μ1XR1+μ2XR2ξE2A2sinαˉ2cos2αˉ2。当曲率超过κcrmin时，滑动区域会从中性轴对称扩展。如图8所示，在横截面上，一部分导线处于滑动状态（阴影区域），而其余部分则保持挤压状态。在滑动边界角φcr处，张力必须保持连续，也就是说滑动段末端的滑动力与该位置的轴向张力相等，即(42)T2B(φcr)=∫0φcr(μ1XR1+μ2XR2)ds。下载：下载高分辨率图像（180KB）下载：下载全尺寸图像图8. 横截面上铠装导线的滑动区域与挤压区域分布。从方程(42)可得出临界曲率与滑动边界角之间的关系(43)κκcrmin=φcrsinφcr。Kraincanic和Kebadze [14]提出了一个显式近似公式，用于估算滑动边界角，其表达式为(44)φcr=λarccosκcrminκ，其中λ是一个用于近似描述滑动边界变化程度的常数。根据参考文献[14]，λ是通过设定极限条件φcr=π/2来确定的，其值为(45)λ=ππ?2arcsin?(2/π)≈1.7836。由于对称性，当角度为φ=±π2时，导线在单向弯曲作用下永远不会发生滑动。当角度接近这一极限值时，曲率变为(46)κ=limφ→±π2κcrminφcrsinφcr=π2κcrmin。当κ<κcrmin时，所有铠装导线上的张力梯度都低于单位长度的摩擦力，因此导线始终处于挤压状态，不会发生相对滑动。此时电缆表现为整体梁结构，铠装层的弯矩-曲率关系保持线性，弯曲刚度也保持不变[14](47)mns=12ξme2a2rˉl22cos3αˉ2κ(48)eins=12ξme2a2rˉl22cos3αˉ2。当κcrmin≤κ≤π2κcrmin时，部分铠装导线处于滑动状态，而其余部分仍保持挤压状态。滑动段和挤压段中的应力分别由以下公式给出(49)σs=μ1xr1+μ2xr2a2(50)σns=t2ba2=ξe2rˉl2cos2αˉ2sinφκ。铠装层的总弯矩是通过积分滑动区域的摩擦能和挤压区域的应变能得到的(51)mps=ma22π(4∫0φcrσs+4∫φcrπ2σns)cosαˉ2rˉl2sinφdφ。对方程(51)进行积分后，可得部分滑动区域的弯矩解析表达式(52)mps=2ξme2a2cos3αˉ2rˉl22π[κcrmin(sinφcr?φcrcosφcr)+κ(π4?12φcr+14sin2φcr)]。当κ>π2κcrmin时，铠装层进入完全滑动状态，此时轴向变形对弯曲刚度的贡献可以忽略不计。此外，铠装导线的局部弯曲变形还会产生额外的弯矩。由于导线为圆形，扭转效应则被忽略。根据S?vik [20]的研究，弯曲作用引起的导线曲率及扭转变化为(53)Δκn=?(1+sin2αˉ2)cosαˉ2sinφκ(54)Δκb=?cos4αˉ2cosφκ(55)Δτ=sinαˉ2cos3αˉ2cosφκ。局部弯曲产生的应变能为(56)U=2mLπcosαˉ2∫0π2(12E2I2(Δκn2+Δκb2))dφ。对方程(56)进行积分后，可得弯矩表达式(57)Mlb=12mE2I2((1+sin2αˉ2)2cosαˉ2+cos7αˉ2)κ。对于圆柱形层i，其弯矩-曲率关系遵循欧拉-伯努利梁理论(58)MiB=EiIiκ。最后，将螺旋层（包括轴向和局部弯曲变形）以及圆柱形层的弯曲贡献叠加起来，即可得到电缆的整体弯矩-曲率响应。另外，在反向弯曲过程中，要使铠装导线发生反向滑动，所需的弯矩必须超过两倍的摩擦弯矩。因此，计算中所使用的最小临界曲率应取为2κcrmin。图9展示了海底电缆在循环弯曲作用下的典型非线性弯曲滞回曲线。等效的过渡曲率κ0和弯矩M0，即外推出的挤压状态曲线与滑动状态曲线交点的坐标，被用来描述第一个加载阶段的特征[12]。下载：下载高分辨率图像（96KB）下载：下载全尺寸图像图9. 海底电缆的典型弯曲滞回特性。3. 热弯曲有限元模型为了验证轴对称机械响应以及热载荷作用下的非线性弯曲响应的理论预测，使用商业有限元软件ABAQUS建立了海底电缆的有限元模型。该模型的几何参数采用了Fang等人[28]提出的简化电缆结构，材料属性则列于表1中[3]。有限元模型如图10所示。模型长度为800毫米，相当于两圈铠装导线的长度。由于螺旋形铠装导线在周向上分布密集且均匀，且电缆所处的温度场也是均匀的，因此其热诱导变形可视为轴对称问题。这样一来，模型长度对变形响应的影响较小。为了生成足够平滑的螺旋形导线，每根导线都是根据螺旋形中心线的解析表达式来构建的[51]。为提高计算效率，铠装导线采用B31梁单元进行离散化，而其余的圆柱形层则使用C3D8I实体单元进行建模，以避免出现沙漏形振动模式。最终的网格结构如图10所示，该有限元模型包含497,600个单元以及581,049个节点。下载：下载高分辨率图像（161KB）下载：下载全尺寸图像图10. 三维有限元模型的几何结构与网格。铠装导线与相邻层之间的相互作用是通过边对边接触算法来建模的，这种算法已被广泛用于模拟涉及螺旋形梁的接触问题[26,51,52]。该算法能够考虑梁的截面边界，精确捕捉螺旋形导线的几何形状及接触情况[25]。切向接触则采用具有恒定各向同性库仑摩擦定律来建模，所有界面处的摩擦系数均为μ=0.2。法向接触行为则通过罚函数法来建模，设定的线性接触刚度为2000 N/mm3，以此避免出现穿透误差。为了便于应用组合边界条件，每根电缆两端的节点都与位于对应端面中心的参考点（RP1或RP2）相连。在圆柱坐标系中，这些参考点上施加了运动学边界条件。如图11所示，加载过程分为两个连续步骤，用以模拟电缆在热载荷与弯曲载荷共同作用下的响应。在第一步中，整个电缆都会受到均匀升高的温度场ΔT的作用，从而导致电缆热膨胀。在此阶段，RP2的所有自由度都被完全约束，而RP1则保持自由状态，可进行轴向伸展和扭转变形。在径向方向上，电缆则可以自由膨胀。在第二步中，温度场保持恒定，同时逐渐施加循环弯曲曲率κ。在这一阶段，RP1处会施加绕x轴的循环弯曲旋转Ψc（见图12）。在整个第二步中，RP2始终处于完全固定的状态。下载：下载高分辨率图像（91KB）下载：下载全尺寸图像图11. 热弯曲仿真的顺序加载策略。下载：下载高分辨率图像（180KB）下载：下载全尺寸图像图12. 热弯曲加载及边界条件的示意图。(a) 热载荷作用。(b) 热载荷与弯曲载荷共同作用。4. 结果与讨论基于第2节中建立的轴对称热力学模型与弯曲模型，以及第3节构建的有限元模型，本节旨在研究海底电缆的热弯曲响应。首先通过有限元仿真验证理论预测结果，随后再利用数学模型对热弯曲响应进行详细分析。同时，还研究了铺设角度对热弯曲行为的影响。4.1. 轴对称热力学模型的验证考虑到海底电力电缆的典型运行条件，其在稳态和动态运行时的导体温度通常控制在90 °C以下，而在紧急情况下则需控制在105 °C以下[53]。因此，无论是通过有限元模型还是热力学解析模型，所得到的海底电缆在0到90 °C的均匀升温过程中的轴对称机械响应均如图13所示。图13(a)显示，由于绝缘层的径向膨胀，铠装导线的径向位移随温度升高而大致呈线性增加。图13(b)表明，铠装导线中的轴向张力也几乎呈线性随温度上升而增大。根据方程(5)和(10)可知，这种张力是由内层的径向膨胀以及电缆整体的轴向伸长和扭转共同决定的。图13(c)和(d)显示，随着温度的升高，电缆会发生整体的轴向伸长和扭转变形。总体而言，有限元仿真结果与理论预测非常吻合，这证明了热力学模型的准确性。下载：下载高分辨率图像（352KB）下载：下载全尺寸图像图13. 海底电缆在热载荷作用下的轴对称响应验证。(a) 导线uR2的径向位移。(b) 导线T2的轴向力。(c) 电缆的轴向应变εzz。(d) 电缆的扭转应变τzz。4.2. 弯曲模型的验证为了进一步研究电缆的热弯曲响应，首先需要利用理论模型计算由于温度升高而作用在铠装导线上的径向载荷，结果如图14所示。图14(a)展示了绝缘层与导线界面以及导线与护套界面处的层间径向线接触力XR1和XR2。结果表明，随着温度的升高，XR1和XR2的值也会逐步增大。可以看出，XR1略大于XR2，二者之差决定了作用在导线上的线载荷X2，如图14(b)所示。下载：下载高分辨率图像（192KB）下载：下载全尺寸图像图14. 随着温度升高，作用在铠装导线上的径向载荷变化情况。(a) 绝缘层与导线界面以及导线与护套界面处的径向线接触力XR1和XR2。(b) 作用在导线上的线载荷X2。这些接触力直接决定了弯曲过程中铠装层中挤压-滑动现象的起始与传播。图15展示了不同温度下电缆横截面上挤压区域与滑动区域之间的边界角度φcr。本研究中的弯曲模型假定滑动从中性轴开始，然后对称地向上下两侧扩展。当ΔT为30°C时，滑动会在大约0.038 m?1的临界曲率处开始，之后随着曲率的进一步增大，滑动区域会迅速扩展至整个铠装层。而当温度升至ΔT=90°C时，滑动开始时的临界曲率则上升至0.114 m?1，不过此时滑动区域的扩展速度则相对变慢。下载：下载高分辨率图像（134KB）下载：下载全尺寸图像图15. 不同温度下挤压区域与滑动区域之间的边界。图16比较了在不同温度下，通过有限元仿真得到的非线性弯曲滞回曲线与所提出的热弯曲模型计算结果。在ΔT=30°C和ΔT=60°C的情况下，两种模型的结果都非常吻合。当考虑剪切变形时，所提出的模型能够准确描述在热载荷与弯曲载荷共同作用下的挤压刚度、滑动刚度以及临界滑动特征。而在ΔT=90°C时，有限元模型算得的挤压刚度略高于理论模型预测的值。这种差异很可能是由于显著的热膨胀导致杆件刚度增加，而理论模型对此有所低估。此外，温度上升会明显提高滞后曲线中的临界曲率以及弯矩范围。更重要的是，每次有限元模拟大约需要13小时的计算时间（英特尔i9-14900 K，16核），而理论模型仅需几分钟就能得出完整结果，显示出其极高的效率优势。下载：下载高分辨率图像（493KB）下载：下载全尺寸图像图16. 不同温度下弯曲滞后曲线的验证。(a) ΔT=30°C。(b) ΔT=60°C。(c) ΔT=90°C。为进一步量化温度上升对非线性弯曲响应的影响，图17展示了等效过渡曲率κ0和力矩M0随温度的变化情况。κ0和M0都随温度上升而近似线性增加。这是因为护层与相邻层之间的接触力增大，从而导致临界滑移曲率升高。下载：下载高分辨率图像（153KB）下载：下载全尺寸图像图17. 等效过渡曲率κ0和力矩M0随温度上升的变化。(a) κ0。(b) M0。4.3 护层角度对热弯曲行为的影响本节基于理论模型，研究护层钢丝的初始角度对海底电缆热弯曲行为的影响。图18展示了初始角度对径向载荷的影响。图18(a)显示了绝缘层与导线界面以及导线与护套界面处的径向线接触力XR1和XR2随角度的变化情况。在所研究的所有温度下，XR1随角度增大而增加，而XR2则减小。随着角度的增大，XR1与XR2之间的差值也会变大，且在大角度时对角度的敏感性更强。这一趋势主要是由于随着角度增大，作用在护层钢丝上的线载荷X2增加所致（见图18(b)）。下载：下载高分辨率图像（278KB）下载：下载全尺寸图像图18. 初始角度对径向载荷的影响。(a) 绝缘层与导线界面以及导线与护套界面处的径向线接触力XR1和XR2。(b) 作用在导线上的线载荷X2。图19展示了角度对等效过渡曲率κ0和力矩M0的影响。如图19(a)所示，在5°-10°范围内，过渡曲率κ0随角度增大而减小。而在10°-25°范围内，κ0则随角度增大而呈非线性增加。图19(b)显示，M0最初迅速减小，随后又随角度增大而逐渐增加。下载：下载高分辨率图像（217KB）下载：下载全尺寸图像图19. 角度对等效过渡曲率κ0和力矩M0的影响。(a) κ0。(b) M0。为进一步研究角度的影响，如图20所示，分析了角度分别为5°、15°和25°的三种情况。研究发现，角度增大会显著降低杆件刚度和弯矩范围，从而缩小滞后曲线的包络面积。这表明随着角度增大，摩擦引起的能量损耗会减少[12]。临界滑移曲率先随角度增大而减小，随后又增大，这主要是由线接触力XR1和XR2的共同作用造成的（见图18(a)）。此外，温度上升会提高临界滑移曲率和弯矩，同时略微增加杆件刚度。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图20. 角度对热弯曲响应的影响。(a) 弯矩-曲率关系（ΔT=30°C）。(b) 弯曲刚度-曲率关系（ΔT=30°C）。(c) 弯矩-曲率关系（ΔT=60°C）。(d) 弯曲刚度-曲率关系（ΔT=60°C）。(e) 弯矩-曲率关系（ΔT=90°C）。(f) 弯曲刚度-曲率关系（ΔT=90°C）。5. 结论本文提出了一种理论模型，用于分析海底电缆在热负荷和弯曲负荷共同作用下的机械响应。首先建立了一个轴对称模型，用于描述电缆在热负荷作用下的响应，通过求解平衡方程得到热作用下层间接触力。接着建立了考虑层间剪切变形以及护层钢丝粘滑机制的弯曲模型，以研究非线性热弯曲行为。通过有限元模拟对轴对称响应和弯曲响应的理论预测进行了验证。此外，还对护层角度进行了参数研究。主要结论如下：1）所提出的热力学分析框架能够有效预测电缆的轴对称变形，并得出热作用下层间接触力。该弯曲模型能够完整描述护层钢丝从粘滑状态到部分滑移再到完全滑移的整个过程，从而准确预测在热负荷和弯曲负荷共同作用下的非线性力矩-曲率响应。2）温度上升会显著增加护层与相邻层之间的接触力，进而提高临界滑移曲率，延缓滑移区域的扩展。因此，弯曲滞后曲线中的力矩-曲率区域会扩大。所以在评估海底电缆的弯曲性能时，必须充分考虑温度的影响。3）随着护层角度的增大，杆件刚度和弯曲滞后曲线的包络面积都会减小，而临界滑移曲率则先减小后增大。这些变化主要受相邻层之间线接触力的变化所控制。总体而言，本研究建立了用于评估海底电缆热弯曲行为的理论框架。与有限元模拟相比，所提出的模型具有更高的计算效率，非常适合用于工程设计中的快速评估和参数敏感性分析。此外，该模型能够在热力学条件下提供一致的力学输入，为后续分析电缆的整体响应和结构优化提供支持。在未来的工作中，该理论框架还将进一步扩展，以纳入海底电缆中的非均匀温度场和多层螺旋护层结构。作者贡献说明李浩林：撰写——初稿、方法论、正式分析。王振奎：撰写——审阅与编辑、概念构建。彭玉燕：可视化处理。王一凡：软件相关工作。郭震：监督、项目管理。Jonas W. Ringsberg：撰写——审阅与编辑。李浩林|王振奎|彭玉燕|王一凡|郭震|Jonas W. Ringsberg中国浙江大学海洋传感国家重点实验室及海洋学院，舟山，316021