通过高阶预测建模量化和纠正错误和/或不完整信息的影响：方法论及其在核反应堆模型中的示例应用

《Journal of Nuclear Engineering》：Quantifying and Counteracting the Impact of Erroneous and/or Incomplete Information via High-Order Predictive Modeling: Methodology and Illustrative Applications to Nuclear Reactor Models

　　

本研究强调了应用“第四阶最佳估计预测结果与减少不确定性预测建模”（4th-BERRU-PM）方法论来量化和纠正可能错误计算或实验信息中的主要益处。在讨论应用4th-BERRU-PM方法论之前评估输入信息一致性/不一致性的重要性之后，研究人员用包含99.9%纯碳和硼杂质（0.1%）的慢化材料中分布的中子源构成的核反应堆系统简单模型，展示了BERRU-PM方法论预测的最佳估计结果。对于正确计算的反应（response），4th-BERRU-PM方法论预测的最佳估计反应值介于计算值和测量值之间，且预测反应的标准差减小。当错误地忽略硼杂质时，4th-BERRU-PM方法论为反应堆源产生了一个校准值，并为反应堆吸收截面产生了一个非零校准值，两者一致表明存在被忽略的吸收材料需要被考虑。利用OECD/NEA聚乙烯反射钚金属球（PERP）反应堆物理基准，本研究还展示了应用4th-BERRU-PM方法论来量化高阶敏感性对解决实际一致的计算与实验信息之间明显不一致的影响。

**论文解读：基于4th-BERRU-PM方法论的错误信息量化与校正及其在核反应堆模型中的应用**

**1. 研究背景与问题**

在核工程及其他科学领域，物理系统的计算模型以及间接实验测量结果通常包含不确定性。模型参数源自实验或外部计算，具有概率分布特征；而测量结果受设备误差影响。为获得模型参数和预测结果的“最佳估计”值及相应不确定度，需要将实验与计算数据及其不确定性进行组合。传统的数据调整与数据同化方法通过最小化用户定义的函数来合并测量与计算，但存在局限性。Cacuci基于Jaynes的最大熵（MaxEnt）原理和Shannon信息熵概念，提出了“预测建模”（PM）方法论，即BERRU-PM（最佳估计结果与减少不确定性预测建模），该方法在模型参数与响应的联合相空间中构建，包含任意高阶伴随敏感性分析、高阶不确定性量化、四阶数据同化、模型校准和模型外推。然而，实际应用中，计算模型可能存在错误或信息不完整，导致计算与实验结果不一致。如何量化并纠正此类错误信息，以及高阶敏感性在解决明显不一致中的作用，是当前研究的关键问题。为此，研究人员开展了本研究，旨在通过4th-BERRU-PM方法论（第四阶BERRU-PM）的示例应用，展示其量化错误信息、校正模型并减少不确定性的能力。论文发表在《Journal of Nuclear Engineering》。

**2. 主要技术方法**

研究人员采用的关键技术方法包括：4th-BERRU-PM方法论，该方法结合了第一至第四阶矩（期望值、协方差、三阶及四阶矩）的计算与实验信息，以及计算响应相对于模型参数的第一至第四阶敏感性。敏感性通过任意高阶伴随敏感性分析（nth-CASAM-L）计算，该分析由Cacuci于1981年提出，能克服维度灾难。在应用4th-BERRU-PM之前，需要先通过比较计算与实验响应的置信区间来评估输入信息的一致性。该方法可输出最佳估计响应值、校准参数值及其减少的不确定性（方差/协方差）。研究中使用了两个核反应堆模型：一个简单扩散模型（中子源分布在含99.9%碳和0.1%硼的慢化材料中，中子通量为响应），以及OECD/NEA聚乙烯反射钚金属球（PERP）反应堆物理基准（总中子泄漏为响应，涉及7477个参数，主要关注180个群平均总微观截面）。

**3. 研究结果**

**3.1 应用BERRU-PM方法论到核反应堆系统示例模型（正确模型）**
通过假设中子源和吸收截面具有5%相对标准差，且计算响应与测量响应初始一致，研究人员得出：最佳估计预测响应值介于计算期望值和测量期望值之间，且更接近标准差较小的值（即测量值）；预测响应的标准差减小至低于计算和测量两者的标准差。此外，校准后的中子源和吸收截面方差均减小，且即使原始参数不相关，校准后参数间也引入了非零相关。

**3.2 应用BERRU-PM方法论量化错误/不完整建模信息的影响（错误模型）**
当计算模型错误地忽略硼杂质（即认为纯石墨）时，计算的中子通量期望值与测量值相差三个数量级（置信区间不重叠）。应用4th-BERRU-PM后，预测的最佳估计响应值被“拉向”更精确的测量值，且其方差减小至接近测量方差。校准后的吸收截面值（^calΣ_a = 1.052×10^-3 cm^-1）显著大于纯碳的名义值（9.0×10^-4 cm^-1），但小于正确含硼材料的吸收截面，表明存在未考虑的吸波材料。校准后的中子源值（^calq = 2.028×10¹⁰ neutrons/cm³s）也偏离原始名义值，且其置信区间与原始名义值不重叠，进一步指示模型错误。

**3.3 应用BERRU-PM方法论量化高阶敏感性对解决明显不一致的影响（PERP基准）**
对于PERP基准，总泄漏响应对180个总微观截面的第一至四阶敏感性中，最大绝对值均出现在热中子群（g=30），且第四阶相对灵敏度（~10⁵）远大于第三阶（~10³）、第二阶（~10¹）和第一阶（~10^-1）。当仅考虑第一阶敏感性时，计算响应与测量响应明显不一致（置信区间不重叠）。加入第二阶敏感性后，不一致性减小但仍存在。加入第三阶敏感性后，计算与实验结果变得一致。再加入第四阶敏感性仅微小改善，表明第五阶及更高阶敏感性的贡献随阶数增加而递减。

**4. 讨论与结论**

研究讨论指出，BERRU-PM方法论能够有效处理计算与实验信息一致、真正不一致或仅表现不一致的情况。在简单模型和PERP基准中，该方法均能提供最佳估计结果并减少不确定性，同时通过校准参数指示模型错误来源。高阶敏感性在解决明显不一致中起关键作用：当仅低阶敏感性导致不一致时，必须包含高阶敏感性以获得物理上有意义的结果。结论部分翻译如下：
“本研究通过考虑单一模型结果（使用模型计算且通过独立手段外部测量）的特殊情况，突出了应用BERRU-PM方法论（获得具有减少最佳估计不确定性的最佳估计预测结果）的主要益处。第2节讨论了在应用BERRU-PM方法论之前评估输入信息一致性/不一致性的重要性。第3节展示了BERRU-PM方法论对简单核反应堆系统模型预测的最佳估计结果的数学形式。该系统的具体特征在第4节中给出，对于正确计算的反应，结果表明(a)预测的最佳估计反应值介于计算值和测量值之间，但更接近更好的已知值（具有较小标准差）；(b)预测响应的预测标准差减小至低于计算或测量任一个的标准差。第5节展示了使用BERRU-PM方法论量化错误和/或不完整建模信息的影响，通过考虑一个错误反应堆模型（忽略硼杂质），应用BERRU-PM方法论后，校准的反应堆源和吸收截面值一致表明存在混合在碳慢化剂中的吸收材料。第6节展示了BERRU-PM方法论在PERP基准上的应用，表明当仅考虑第一、二阶敏感性时，最佳估计预测值不一致；加入第三阶后变得一致；第四阶仅微小改善。总之，本研究展示了BERRU-PM方法论在测量与计算响应一致、真正不一致或仅表现不一致情况下的主要益处，并说明了响应敏感性从仅需一阶到需要一至四阶的基础作用。”