基于复变理论的隧道爆破开挖围岩卸荷分析方法

《Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering》：A method for analyzing surrounding rock unloading in tunnel blasting excavation based on complex variable theory

　　

围岩应力场的精确表征以及开挖引起的卸荷效应的定量评估，对于确保深部隧道施工的安全和稳定性至关重要。为应对这一挑战，本研究通过一种结合混合收敛约束的三角插值迭代方法求解映射函数。利用级数展开和柯西积分公式，推导了沿开挖边界部分承受均匀支护反力的围岩应力场理论解。验证结果表明，与单一收敛方法相比，所提出的混合收敛迭代方案将映射函数的迭代次数减少了50%以上，并将全局误差控制在3%以内。在合理的级数展开项数下，理论预测值与实际给定值之间的偏差约为8%。研究人员采用了一种结合数值模拟的混合动态-静态方法，评估高初始地应力条件下爆破开挖对围岩产生的卸荷效应。结果表明，超挖超过45 cm会加剧局部卸荷效应，其影响超过爆破扰动所引起卸荷效应的50%。由于应力集中，拱脚和拱腰处的应力可达到初始地应力的2-3倍。

**论文解读：基于复变理论的隧道爆破开挖围岩卸荷效应分析方法**

**研究背景与问题**

在深部隧道施工中，爆破开挖因其高压和快速卸荷特性而被广泛应用。然而，非光滑爆破或不恰当的装药参数往往导致不规则的开挖轮廓，进而引发不均匀的应力重分布，显著改变围岩的卸荷行为。与圆形隧道断面相比，不规则断面形状会加剧围岩的应力集中，对初期支护设计构成挑战。现有研究多集中于圆形隧道的理论分析，通过将隧道视为均质连续圆形洞室来推导动态卸荷应力场，并取得了显著进展（如利用二维弹性理论分析PPV、卸荷时间的影响，以及通过拉普拉斯变换等求解卸荷路径与应力重分布的关系）。然而，对于非圆形隧道，直接求解动态应力场在数学上仍存在困难。共形映射技术可将任意边界映射为单位圆，进而结合柯西积分公式和边界配点法求解应力场，但该方法在迭代效率和精度方面仍有提升空间。此外，纯理论方法在处理非连续和各向异性介质时存在局限，物理实验受限于模型尺寸，数值模拟则难以精确确定合理的边界条件。因此，开发一种能够克服上述缺点、精确分析爆破开挖引起的围岩卸荷效应的综合方法，具有重要的工程意义。

**研究内容与结论**

针对上述问题，研究人员提出了一种基于复变理论（complex variable theory）与数值模拟（numerical simulation）相结合的动态-静力场分析方法。该方法首先通过理论推导定量计算开挖过程中的卸荷应力边界条件，再结合数值模拟研究卸荷边界下的应力场，充分发挥了理论公式与数值计算的协同作用，从而为实际工程中爆破开挖引起的围岩卸荷效应分析提供了更精确的计算手段。研究得出的主要结论包括：（1）所提出的混合收敛迭代方案可大幅提高映射函数求解效率，对于椭圆、马蹄形和倒U形隧道断面，仅需2次迭代即可达到满意精度，迭代次数较传统方法减少50%以上，轮廓相对误差控制在3%以内；（2）通过级数展开和柯西积分公式推导了任意曲段承受均匀压力时的理论解，通过增加级数展开项数可将应力集中区域和均匀压力值处的误差控制在合理范围内；（3）局部超挖（overbreak）会增强围岩卸荷效应，当超挖达到60 cm时，卸荷引起的冲量占爆炸冲量的40%，且拱脚处超挖引起的卸荷效应大于拱顶；（4）下台阶开挖会导致支护结构产生显著沉降，由于应力集中，拱腰和拱脚处应力可达初始地应力的2-3倍，并承受动态卸荷带来的巨大瞬态压力，卸荷时间越短，PPV越大，但总扰动能量越小；反之，装药量过大会延长卸荷时间并加剧卸荷效应。

**关键技术与方法**

本研究采用的主要关键技术方法包括：（1）三角插值迭代方法（trigonometric interpolation iterative approach）结合混合收敛约束（mixed convergence constraints），用于求解任意断面隧道的共形映射函数－即通过距离收敛和法向收敛相结合的原则，提高映射函数迭代的效率和精度；（2）级数展开（series expansion）与柯西积分公式（Cauchy's integral formula），用于推导隧道边界面部分承受均匀支护反力时的围岩应力势函数，并利用洛朗级数展开和LU分解求解系数矩阵；（3）动态-静力耦合方法（dynamic-static method），将理论解析解获得的卸荷应力作为边界条件，通过数值模拟软件LS-DYNA和Ansys Workbench计算不同工况下围岩的卸荷响应，并采用指数衰减函数模拟卸荷随时间的变化过程。

**研究结果**

* **2.1 映射函数的求解**：通过将任意边界共形映射到单位圆，采用混合收敛迭代方案（结合距离收敛和法向收敛）求解映射函数系数。以椭圆、马蹄形和倒U形断面为例进行验证，平均误差低于3%，且迭代次数较传统方法减少50%以上，计算效率提升约32%-35%。

* **2.2 迭代算法的验证与分析**：验证了所提出的混合收敛迭代算法在三种断面形状下的收敛性和效率。结果表明，仅需2次迭代即可达到满意精度，而传统单收敛算法需5次以上。在相同误差容限下，椭圆、马蹄形和倒U形断面的计算时间分别缩短32.49%、34.52%和35.58%。

* **3.1 隧道表面部分承受均匀支护反力压力的理论解推导**：基于平面复变理论，通过级数展开和柯西积分公式，推导了隧道边界面部分承受均匀支护反力时的应力势函数表达式。采用洛朗级数展开，以最高正负幂次均为200项为例，通过LU分解求解系数，得到应力场计算公式。

* **3.2 解析解的验证**：以马蹄形断面为例，验证了不同级数展开项数（100项、400项）和不同支护反力作用范围下的边界应力值。结果表明，400项展开项有效抑制了边界应力振荡，理论值与给定边界应力（8 MPa）的最大误差约为8%。深部围岩径向应力衰减规律与数值模拟结果基本一致，证明了理论解的合理性。在初始地应力条件下，边界轴向应力趋近于0（除角点外），并随深度逐渐趋近于地应力，验证了推导方法的有效性。

* **4.1 爆破超挖引起的围岩局部卸荷效应**：采用RHT本构模型，通过LS-DYNA模拟不同超挖深度（15 cm至90 cm）下的局部卸荷效应。结果表明，超挖深度小于45 cm时，卸荷冲量占比较小（约10%），等效应力几乎不变；超挖深度达到45 cm时，卸荷冲量占总冲量的28%；超挖深度达到90 cm时，卸荷冲量占总冲量的50%，等效应力显著增加。平均卸荷冲量随超挖面积增大而减小并趋于稳定，且卸荷效应强度顺序为：拱脚 > 拱腰 > 拱顶。

* **4.2 下台阶爆破引起的围岩动静态卸荷效应分析**：将上覆围岩简化为弹性岩柱，利用理论解计算开挖前后岩柱变形，从而确定等效卸荷力，并采用指数衰减函数模拟动态卸荷过程。在Ansys Workbench中建立马蹄形断面模型，施加卸荷力。结果表明，即使支护压力达到300 kPa，下台阶爆破后上覆岩层沉降仍达1.68 cm。动态卸荷下，拱脚和拱腰处应力集中导致卸荷应力达到初始应力的2-3倍，且动态效应进一步放大至数十倍。PPV在拱脚和拱腰附近最大，卸荷速率越快，PPV越大，但损伤深度并非最大，因为总能量较低。

**总结与讨论**

本研究提出的理论解与数值模拟耦合方法，克服了传统数值模拟因单元删除技术限制而无法准确计算特定位置超挖体积的缺点，能够定量分析爆破超挖引起的围岩局部卸荷效应，并识别最不利超挖位置。基于弹性岩柱假设的方法可计算下台阶开挖引起的卸荷扰动，同时考虑了爆破开挖的瞬态卸荷效应和开挖区域的可控性。研究结论部分翻译如下：

**5. 结论**

（1）采用混合约束条件的插值迭代方法可大幅提高运算效率。对于椭圆、马蹄形和倒U形等简单隧道轮廓，仅需2次迭代即可达到满意精度，迭代次数较传统方法减少50%以上，轮廓相对误差控制在3%以内。

（2）通过级数展开法和柯西积分法推导了任意曲段在均匀压力下的理论解。通过增加级数展开项数，可将隧道轮廓的应力集中区域和均匀压力值处的误差控制在合理范围内。

（3）爆破开挖过程中的局部超挖会增强围岩卸荷效应。在合理超挖情况下，卸荷引起的冲量小于爆炸冲击冲量。当超挖达到60 cm时，卸荷引起的冲量占爆炸冲量的40%，且拱脚处超挖引起的卸荷效应大于拱顶。

（4）下台阶开挖会导致支护结构产生显著沉降。由于应力集中，拱腰和拱脚等部位可达初始应力的2-3倍，并因动态卸荷而承受巨大的瞬态压力，其中拱脚处损伤更严重。卸荷时间越短，PPV越大，而总扰动能量越小。反之，装药量过大会延长卸荷时间并加剧卸荷效应。