无锁（Locking-free）基于能量的物理信息神经网络（physics-informed neural networks, PINNs）用于剪切可变形梁与板

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Locking-free energy-based physics-informed neural networks for shear-deformable beams and plates

　　

研究人员针对剪切可变形梁与板，研究了物理信息神经网络（PINNs）中横向剪切锁定（transverse shear locking）现象。基于Timoshenko梁理论与Reissner–Mindlin板理论，研究人员在能量法框架下实现了标准与层次化（hierarchic）两种参数化形式的PINNs，并通过训练动力学深入分析锁定成因。结果表明，当长细比增大时，剪切刚度GAS远大于弯曲刚度EI，导致损失项中弯曲项与剪切项量级失衡，网络难以满足薄梁极限下γ≈0的运动学约束，从而产生响应偏刚、收敛变慢与应力振荡等典型锁定症状。为缓解该问题，研究人员将有限元/等几何分析（IGA）中的层次化参数化思想引入PINNs，采用分离网络分别近似位移与剪切应变，并引入依赖长细比的缩放因子以平衡能量项贡献。数值试验显示，该方法使梁与板的收敛速度与精度提升数个数量级，验证了在PINN框架下通过PDE层面函数空间再平衡来消除剪切锁定的有效性。该工作发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》。

研究背景方面，经典有限元（FEM）等方法在实时优化与不确定性量化中存在计算负担，而物理信息神经网络（PINNs）可将控制方程嵌入损失函数，以少量或无观测数据求解偏微分方程（PDEs）。然而，PINNs并非天然规避传统离散化病害，锁定（locking）现象根植于PDE本身而非某特定方法——当控制方程呈刚性时，横向剪切锁定会在FEM、IGA、无网格法及配点法中均出现。在剪切可变形梁板问题中，薄体极限下剪切刚度GA_S∝t、弯曲刚度EI∝t³，二者量级悬殊使标准(w,φ)参数化PINNs因w′与φ函数空间不匹配而无法逼近γ=w′+φ≈0，表现为刚度过大、收敛率下降与剪力振荡。已有文献在剪切可变形壳的PINNs中观察到该现象但未系统解释，近年的体积锁定研究亦未覆盖剪切情形，故有必要在能量法PINNs中定量揭示并抑制剪切锁定。

关键技术方法上，研究人员构建基于总势能（total potential energy）Π最小化的能量型PINNs，以自动微分计算曲率κ=φ′与剪切应变γ=w′+φ；边界条件通过距离函数ξ硬施加于网络输出，损失仅含L_energy。针对Timoshenko梁与Reissner–Mindlin板，分别实现标准(w,φ)参数化、(w,γ)参数化及层次化(w,w_b,w_s)拆分；层次化方案用独立子网络分别逼近弯曲位移w_b与剪切位移w_s，并乘入长细比相关缩放因子s=L/t以重平衡弯曲能?EIκ²与剪切能?GA_Sγ²。训练动力学分析通过监测各能量项与梯度范数演化定位锁定触发阶段。

研究结果部分，按原文小节叙述如下。第2节物理信息神经网络框架中，研究人员明确能量法损失L_energy相较强形式残差项可降低导数阶数、自然纳入Neumann边界，作为后续梁板实现基础。第3节Timoshenko梁与Reissner–Mindlin板理论中，给出运动学γ=w′+φ、κ=φ′及势能表达式，指出长细比s=L/t增大使GA_S?EI，标准(w,φ)参数化在薄极限成为刚性势能，此为剪切锁定PDE层面根源。第4节基于Timoshenko梁算例演示锁定：随s增大，标准PINN的w误差平台化、剪力Q振荡、收敛率从O(10^?3)停滞；训练轨迹显示剪切能梯度早期主导、弯曲能梯度被压制。第5节层次化参数化适配：引入分离网络与缩放因子α(s)后，γ近似解空间不再依赖w′与φ的差值重构，薄极限γ→0可被网络直接表达；梁算例显示锁定消除，误差随网络规模单调下降。第6节梁与板数值试验：对悬臂与简支边界、不同s取值，层次化PINN相较标准PINN在同等迭代下精度提高2–4个数量级，Reissner–Mindlin板中剪力_resultant振荡消失，弯曲挠度回归解析解。第7节讨论与结论：剪切锁定在PINNs中源于损失项量级失衡与函数空间错位，非PINN特有；层次化参数化在PDE层面重平衡导数阶数，是比损失加权更根本的修正；该方法可迁移至P²INNs等算子学习框架。研究人员得出结论——在基于能量的PINNs中采用层次化参数化与长细比缩放，可彻底规避剪切可变形梁板的横向剪切锁定，使收敛与精度获数个数量级改善，为PINNs在细薄结构力学中的可靠应用提供理论依据。