基于物理增强的神经网络实现可压缩及近不可压缩各向异性超弹性结构的多尺度拓扑优化

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Multiscale topology optimization of compressible and nearly incompressible anisotropic hyperelastic structures using physics-augmented neural networks

　　摘要：由于需要反复求解微观尺度边界值问题，超弹性材料的多尺度拓扑优化在计算上仍面临巨大挑战。本研究提出了一种并行多尺度拓扑优化框架，通过利用物理增强型神经网络作为替代本构模型来克服这一限制。该框架能够在统一的非线性有限应变环境中，同时优化宏观尺度材料分布与微观尺度参数。这些替代模型是通过输入专用神经网络构建的，这类网络能在架构中直接体现凸性、材料对称性等关键物理原理，从而确保热力学一致性及数值稳定性，同时准确描述各向异性超弹性材料的均匀化响应。经过训练的PANNs可替代微观尺度边界值问题，通过利用神经网络的一阶和二阶解析导数，高效计算应力与切模量，从而使大规模多尺度优化变得可行。该框架已在具有横向各向同性、立方各向异性以及近乎不可压缩各向同性特性的典型微观结构上得到验证。结果表明，所提方法能够捕捉复杂的多尺度相互作用，实现具有物理意义的材料属性空间调控，且相比传统FE2方法显著降低了计算成本。这些研究结果证明了PANNs是用于高精度非线性各向异性材料多尺度拓扑优化的有力工具。

引言：随着计算建模技术的进步，拓扑优化在固体力学[1]、流体力学[2]以及电磁学[3]等诸多领域得到了广泛应用。在许多应用场景中，结构所处的变形状态已超出小应变线性范畴。因此，在大变形或非弹性效应作用下，非线性材料行为——包括近乎不可压缩的情况——往往不可避免，这使得单尺度非线性拓扑优化受到了广泛关注[4][5][6][7]，其中有多项研究聚焦于不可压缩材料[8][9][10]。然而，在功能梯度材料、超材料或仿生结构中，材料的宏观性能与其复杂的微观结构特征密切相关。因此，仅设计宏观尺度拓扑结构可能无法实现诸如可调各向异性[11]、增强能量吸收能力[12]或局部定制刚度[13]等多功能性能。多尺度拓扑优化通过允许同时控制宏观与微观几何结构来满足这一需求[14][15][16]，这一能力在结构设计材料[17][18]、增材制造[19][20]以及基于晶格的结构设计[21][22]等新兴领域尤为重要。

尽管在假设存在尺度分离[23]的情况下，将单尺度非线性拓扑优化扩展到多尺度层面在理论上并非不可能，但实际操作中仍面临很大困难。传统的多尺度方法通常采用多层有限元分析[24][25]，即在每个宏观积分点上，都需在代表性体积单元或统计体积单元上求解完整的有限元问题，以获得应力、切模量及灵敏度数据。这样一来，优化算法的每一次迭代都需要数十万次有限元计算（与目标几何结构的离散化程度相关），这使得该流程对于非线性材料，尤其是近乎不可压缩的材料或大规模结构而言，成本极高。特别是在涉及橡胶[26]和生物组织[27][28]等软材料的应用中，非线性现象往往伴随着不可压缩性，这不仅对体积变形提出了严格限制，还要求同时满足热力学一致性和材料对称性等条件。此外，为了解决体积锁定问题，还需采用压力-位移混合公式才能获得准确且稳定的解[29]。还有一些研究尝试在单尺度框架下，对大变形下的不可压缩或近乎不可压缩材料进行拓扑优化[8][9][10]。因此，过去的大部分多尺度拓扑优化研究都局限于线弹性材料[30][31][32][33]，因为线性均匀化响应的替代模型更容易构建，而针对非线性材料建模则需要在每个材料点上额外加入非线性求解器（牛顿-拉夫森法）。此外，为非线性以及随时间或历史进程变化的本构模型构建伴随函数也并非易事[34]。虽然参考文献[35]提出的微观结构潜空间方法并非用于拓扑优化，而是用于材料不确定性量化，但它也可被应用于多尺度结构优化。

尽管如此，人们仍通过多种方法试图解决多尺度非线性拓扑优化问题，以减轻FE2方法的计算负担。参考文献[36]提出了一种针对小应变弹塑性结构的框架，利用内在降阶模型加速微观结构的评估。参考文献[37]则通过在均匀化过程中分离微观与宏观尺度，旨在降低大变形多尺度拓扑优化的计算成本。他们采用一种假设的唯象本构律来解决宏观尺度有限元问题，而这些本构律的参数则是通过微观结构代表性体积单元的“数值材料试验”确定的。近期还有研究探索利用数据驱动的替代模型，如神经网络[38][39]和高斯过程[40][41]，来缓解重复均匀化带来的计算瓶颈。这类模型可直接从预先计算的微观尺度模拟中学习有效的本构响应，一旦训练完成，即可作为本构模型，快速计算应力与切模量。

然而，传统黑箱式机器学习本构模型的一个关键缺陷在于，它们并未融入既定的物理原理和机制假设，而在数据匮乏的情况下，这一问题尤为突出[42]。参考文献[43]提出了一种数据驱动的拓扑优化框架，用于在大变形条件下设计非线性多尺度软功能梯度材料。他们的方法利用高斯过程回归从预计算的微观数据中学习微观结构与性能之间的映射关系，而在优化过程中则由神经网络对空间变化的设计场进行参数化。不过，尤其是在非线性材料中，若无法满足热力学一致性、框架不变性或材料对称性等原则，就可能导致出现不符合物理规律的预测，且在嵌入优化循环时还会引发数值问题[44]。鉴于这些问题，近期的一些研究开始将机制原理和假设直接纳入神经网络架构中，由此产生了所谓物理增强型神经网络[45][46][47][48]。这类PANNs依靠输入凸神经网络[49]或输入专用神经网络[50]来隐式实现功能约束，这类网络能够确保凸性或单调性等特定功能约束得到满足。在这方面，参考文献[51]首次将基于ICNN的均匀化本构模型整合到多尺度拓扑优化中，用于同时优化材料密度与颗粒体积分数。不过，该研究仅限于各向同性和可压缩材料，尚未涉及各向异性和不可压缩材料的多尺度拓扑优化问题。另一方面，在宏观尺度上，已有不少研究探讨了复合材料中拓扑结构与纤维取向的协同优化，包括连续角度模型、应力约束条件以及向有限变形超弹性领域的拓展[13][52][53]，这些研究通常采用横向各向同性的连续介质本构定律，因而实际上也依赖于微观结构。基于这些思路，我们提出了一种基于PANNs的并行多尺度拓扑优化框架，适用于各向异性有限应变材料以及各向同性近乎不可压缩的有限应变材料。

所提出的框架包含两个核心组成部分：1. 一种基于ISNNs的物理增强型神经本构模型，该模型在离线状态下进行训练，用于预测依赖于微观结构的均匀化各向异性本构响应，同时能够合理处理近乎不可压缩的各向同性行为；2. 一种并行多尺度拓扑优化公式，它在非线性优化过程中将微观结构参数作为额外的设计变量纳入考虑。据我们所知，此前尚无任何多尺度拓扑优化框架能够同时优化有限应变状态下的材料密度、各向异性程度及其优先方向，同时还能在不同尺度上保持近乎不可压缩材料行为的合理性。为便于了解该框架的整体结构，图1展示了多尺度拓扑优化方法的示意图。该图反映了离线阶段——此时物理增强型神经网络通过计算得到的均匀化数据进行训练——以及在线阶段——此时经过训练的替代模型被嵌入到基于非线性有限元的拓扑优化循环中。此示意图旨在帮助读者理解整个方法流程，而包括本构建模框架、替代模型构建以及优化公式在内的各个具体组成部分，则将在后续章节中详细阐述。

本文的其余部分安排如下：第2节阐述超弹性材料的理论及数学建模方法；第3节介绍PANN模型架构及训练流程；第4节给出多尺度拓扑优化问题的完整公式表述；第5节提供数值算例；最后，第6节总结并讨论研究结果。

片段1：本构框架
设Ω0?R3表示具有材料坐标X∈R3的可变形体所处的参考配置，变形映射关系为x(X)=X+u(X)，其中u为位移场。超弹性材料的力学响应源自亥姆霍兹自由能Ψ(F)，其中F为变形梯度，其定义为F=I+?Xu，这里的?X表示相对于参考配置中材料坐标的梯度。我们也可以提出自由能的参数化版本……

片段2：PANNs作为微观尺度边界值问题的替代模型
在FE2[24][25]等传统多尺度公式中，宏观尺度的本构响应是通过在每个积分点上求解微观尺度边界值问题来获得的。随后，将得到的均匀化应力与一致的切模量输入到宏观尺度问题中，而宏观问题本身又需要求解一个非线性边界值问题。因此，整个分析过程中的计算成本主要来自于对微观尺度问题的反复求解。

片段3：拓扑优化
本研究考虑对经历大变形的结构进行基于密度的拓扑优化，采用几何非线性有限元公式进行求解。该方法采用包含参考配置Ω0的总拉格朗日描述，位移场与几何形状则通过标准的等参形状函数进行插值处理。计算域Ω0被划分为Ne个元素，每个元素e都对应一组设计变量：Θe={ρe,De}，其中ρe∈[0,1]为伪密度，用于……

片段4：数值算例
在本节中，我们通过一系列数值算例来展示所提出的框架。对于本节中所有算例，我们在方程(47)中取βψ=500且ηψ=0.01[89]，在方程(44)中取ηρ=0.5[51]。此外，我们还采用了参考文献[51]中提出的SIMP惩罚指数p和投影清晰度参数βρ的递推策略，即初始时令p=βρ=1，然后以Δp为步长逐步增加SIMP惩罚指数，直至达到最大值p=……

片段5：讨论与结论
在本研究中，我们提出了一种基于物理增强型神经网络的非线性超弹性材料并行多尺度拓扑优化框架。该框架能够同时优化宏观尺度材料分布与微观结构特征，同时兼顾热力学约束、机制假设以及数值稳定性。数值算例充分体现了该框架的通用性……

CRediT作者贡献声明：
Asghar A. Jadoon：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、研究实施、形式分析、数据整理、概念构建。
Aryan Tyagi：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、研究实施、形式分析、数据整理、概念构建。
L. River Spencer：写作——初稿撰写、数据整理。
Reese E. Jones：写作——审阅与编辑、研究实施。
Manuel K.……

利益冲突声明：
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：
本研究得到了桑迪亚国家实验室的实验室定向研究与发展项目资助，特此表示衷心感谢。桑迪亚国家实验室是由霍尼韦尔国际公司的全资子公司National Technology & Engineering Solutions of Sandia, LLC（NTESS）负责管理运营的多任务实验室，它根据美国能源部国家核安全局的合同DE-NA0003525，为该机构提供服务。

Asghar A. Jadoon | Aryan Tyagi | L. River Spencer | Reese E. Jones | Manuel K. Rausch | Ryan Alberdi | D. Thomas Seidl | Jan N. Fuhg