旋转刚性壳体中流体振动的边界元方法：理论依据与数值分析

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Boundary element approach to fluid oscillations in rigid shells of revolution: Theoretical justification and computational assessment

　　摘要：本研究发展并分析了用于求解理想不可压缩流体在旋转壳体中运动的三维边界值问题的边界元公式。这些控制方程被转化为二维奇异边界积分方程组。由于旋转壳体的轴对称几何结构，该公式进一步简化为一组一维奇异积分方程，从而大幅降低了计算量。研究特别关注弱奇异积分的数值处理方法。所提出的方法被应用于研究带有和不带内部隔板的球形和圆锥形储罐中的液体晃动现象，这些储罐受到水平和垂直激励的作用，研究过程中采用了简化版和多域边界元公式。作为工程应用，该公式还被用来分析具有弹性壁面且由圆锥形、球形和圆柱形结构组成的典型运载火箭燃料箱的晃动模式及振动特性。通过边界元法计算得到的模态特性，结合有限元法得到的相应空罐的结构振动模式，为强制振动和非线性振动问题的降阶分析提供了有效的模态基础。

引言：在许多工程应用中，流体与弹性结构之间的动态相互作用起着关键作用。这在航空航天和能源行业中用作储液容器和燃料箱的薄壁壳体尤为明显。这类结构通常部分充满流体，而流体的运动是影响结构完整性的主要因素。研究流体-结构相互作用（FSI）问题最常用的方法是有限元法（FEM）。它被用于确定复杂空间物体的动态特性，如卡普兰水轮机和弗朗西斯水轮机的叶片系统[1,2]、飞机部件[3]、风力发电机塔[4]、空气装置[5]以及化工和能源设备[6]。然而，FEM在处理流体问题时的一个主要缺点是需要对整个流体域进行离散化，这给收敛性验证和合适有限元的选择带来了困难。作为FEM的替代方法，边界元法（BEM）在C.A. Brebbia、J. Domínguez、J.C.F Telles和Wrobel等人的开创性工作中被提出[7, [8], [9]），近年来得到了快速发展。BEM的优势在流体-结构和土体-结构相互作用问题中表现得尤为突出。在这种问题中，只需对液体（或土体）区域的边界进行离散化，而这通常与弹性结构本身重合。因此，可以先用FEM确定结构元素的弹性动态特性，再将得到的网格用于BEM离散化，以确定周围环境（液体或土体）的动态特性。J. Domínguez在[10,11]中有效地应用了这种方法。在[10]中，耦合BEM-FEM方法被用于研究来自地下结构的声波和弹性波传播；在[11]中，该方法被用于土体-结构相互作用问题。值得注意的是，BEM已成功应用于涉及不同类型奇异性核的积分方程的流体-结构相互作用问题。特别是在涉及两侧流体-结构相互作用的问题中，当液体与薄结构元素的两侧都接触时，会出现超奇异积分方程[12]；而当液体仅与结构元素的一侧接触时，则会产生具有柯西型和对数型核的奇异积分方程[13,14]。需要指出的是，在FSI过程中，由于流体的附加质量，结构的振动频率会显著降低[15]。但对运动稳定性影响最大的仍是自由表面，其剧烈晃动可能导致结构元素失去稳定性，偏离预定轨道轨迹，甚至导致结构完全毁坏[16]。关于壳体稳定性的理论与实验研究在[17]中有详细阐述。在[18]中，对充满可压缩（声学）流体的弹性容器的线性动力学进行了全面分析，其中包括晃动效应和自由表面的毛细效应。R. Ohayon在这一领域做出了重要贡献，他的研究极大地提升了人们对不同载荷条件下流体-结构相互作用的理解。在[18]中，他提出了一种用于建模简化振声系统的新方法，该方法为分析承受短期高强度载荷的燃料箱中的晃动现象提供了高效的计算技术。这项工作揭示了流体振动与结构振动之间的关联，为航空航天应用提供了可靠的方法论。此外，在[19]中，该方法还被推广用于基于模糊逻辑的不确定性评估。这些研究为模拟储液容器中流体晃动的复杂动力学提供了框架，并强调了工程应用中高计算效率的必要性。需要指出的是，早期用于分析部分充满液体的容器稳定性的技术是基于相对简单的模型和方法[20,21]。尽管这些方法较为简单，但它们仍有助于理解容器内流体运动的复杂动力学，并为优化设计参数提供了一些思路。这为在线性假设框架下确定刚性容器中流体振荡的基本自然频率的频谱分析奠定了基础[22]。后续研究考虑了容器壁面的弹性，进一步改进了这些模型[23 -24]。近年来，包括有限元法[25]、边界元法[26]、无网格技术[27]以及级数展开法[28]在内的先进计算工具被广泛用于分析与流体相互作用的结构的强度和振动特性。为减小晃动幅度，人们提出了多种有效方法，包括使用水平和垂直隔板[29]、浮动盖[30 –31]，这些方法的有效性已通过数值和解析方法得到验证。在[32]中研究了棱柱形容器中的晃动现象，而在[33]中则对椭圆形容器进行了研究。在[34]中量化了隔板在减少晃动引起的不稳定性方面的作用。实验研究[35]利用单自由度容器模型研究了垂直激励下的流体阻尼效应，这使得能够分析阻尼对结构动态特性的稳定作用。结合理论与实验方法的研究，使得人们对动态载荷作用下的壳体稳定性有了更全面的了解[17]。文献[[35], [36], [37]]以线性形式对充满可压缩（声学）流体的弹性容器的动态行为进行了分析，其中考虑了晃动效应和自由表面毛细效应。总体而言，这些研究为模拟复杂的晃动动力学奠定了坚实基础，同时也强调了工程应用中需要准确且高效的计算方法。需要注意的是，使用边界元法时，问题可简化为求解奇异或超奇异积分方程组。因此，在FSI问题中，人们特别注重开发用于求解此类方程和方程组的有效数值方法，近期有许多研究致力于此方向。弹性体中的裂纹扩展问题与FSI问题之间存在密切的类比关系。在这两种情况下，物体中的裂纹或与流体接触的结构元素都被视为连续体的不连续面。因此，解决这类问题时会在数学公式中使用类似的模型和数值方法。边界元法的共同创始人J. Domínguez的科研工作也体现了这一特点：例如在[4]中，他研究了风力发电厂的动态特性；在[38]中，他为断裂力学问题开发了四分之一点型超奇异边界元。J. Domínguez在[39]中提出了用于计算亥姆霍兹方程中超奇异积分的求积公式，而在[40]中则提出了新的求积规则，可通过纯数值方法精确计算柯西主值意义下的奇异和弱奇异积分。在[41]中，他给出了将势理论方法应用于弹性力学边界值问题时所产生的奇异积分的解析表达式。在[42]中，采用了对偶互易法中的轴对称多项式样条近似方法；在[43]中，则通过对数构型重述法实现了FSI问题的数值模拟。与作者之前的研究[34,[44], [45], [46]]相比，那些研究分别针对没有内部隔板的容器中的流体振荡[44]、仅研究自由振荡[45]以及圆柱形几何结构的容器[34,46]，本研究则将分析范围扩展到包含内部隔板、受迫振荡以及由锥形和球柱形壳体构成的更一般的轴对称结构。这类结构是运载火箭上级发动机中实际燃料箱的典型代表。研究结果还凸显了诸如内部隔板之类的阻尼机制在降低晃动幅度和提升液体运动的动态稳定性方面的作用。除了研究旋转壳体中的流体晃动现象外，本研究还建立了一个基于五组特征函数的统一模态框架：(i) 通过有限元法得到的空弹性容器的结构振动模式；(ii) 两种刚性容器中的液体晃动模式；(iii) 考虑到液体附加质量效应后的柔性容器的结构振动模式。这些模态基础并非旨在构成完整的流体-结构相互作用解，而是为受迫振动问题的降阶建模以及未来的流体-结构相互作用分析提供统一的理论基础。

片段内容：
壳体结构中液体晃动的线性控制方程：旋转壳体通常被用作储存易燃或危险液体的燃料箱和储液容器的典型模型。本研究的主要目标是确定此类壳体中流体运动时液体自由表面的高度及稳定性条件。在[47,48]中已经确定，壳体-液体系统的最低自然频率对应于刚性壳体中液体自由表面的振荡。在[48]中还明确了相互影响的条件……

模态叠加法用于谱边界值问题：模态叠加法是解决动力学领域边界值问题的一种有效工具[50]，尤其适用于FSI问题[44]，因为在广义坐标系下的公式能显著降低计算成本。基于固有模态法，旋转壳体的未知函数Φ和ζ可表示为：Φ(x,y,z,t)=∑k=1ndk˙(t)φk(x,y,z)，ζ(x,y,t)=∑k=1ndk(t)ζk(x,y)，其中dk(t)为未知的时间相关广义坐标，函数φk(x,y,z)为固有模态……

谱边界值问题的积分解表示与周期性保持：用于表示旋转壳体中晃动模式的基函数集合{φk(x,y,z)}是通过求解一组奇异积分方程得到的。该方程组是在边界元法的两位创始人Carlos Brebbia和José Dominguez所提出的概念框架内构建的[7,8]。为简化表述，省略指数k后，定义函数φ(x,y,z)的控制积分关系可写为：πφ(r0)=∫∫σq(r)1|r?r0|dσ?∫∫σφ(r)??n1|r?r0|dσ，σ……

简化边界积分方程：利用上文所述的算子(16)的特性，函数Φ和ζ在圆柱坐标系下可表示为傅里叶级数，如[51]中所示：Φ(ρ,θ,z,t)=∑k=1n∑l=0mdkl˙(t)φkl(ρ,z)cos(lθ)，ζ(ρ,θ,t)=∑k=1n∑l=0mdkl(t)ζkl(ρ)cos(lθ)。此处，dkl(t)表示未知的广义系数。由于存在上述表达式(26)和(27)，确定势函数{φkl(ρ,z)}就转化为求解一组一维奇异积分方程[34]，其中的指数k……

多域方法：在[8]中，C. Brebbia提出了多域边界元法。这种方法在处理复合壳体、带隔板的壳体以及具有分支子午线的壳体时尤为有效。在这种情况下，需要引入界面曲面，将计算域划分为若干子域。在每个子域中，速度势及其法向导数被视为未知函数，同时需要在界面曲面上满足兼容性条件。……

描述液体振荡的微分方程：在解决了谱边界值问题(11)之后，就可以得到刚性容器中自然流体振荡的频率χk和模式φklo，其中k=1,n￣，l=0,m￣。因此，可以利用级数(26)和(27)来确定未知函数，即速度势Φ和自由表面高度ζ。为了研究旋转壳体中液体运动的稳定性，可采用以下压力表达式[17]：pρl=??Φ?t?(g+av(t))z+ah(t)x+p0ρl，其中ah(t)和av(t)……

数值验证与计算参数选择：为了确保所提出的边界元公式的准确性、稳健性和可靠性，在开展主要数值研究之前，先进行了一系列验证研究。这些研究系统地考察了网格细化程度、单元近似阶数以及弱奇异积分的数值处理方法对计算得到的自然频率的影响。根据所得结果，为无隔板壳体中液体的所有自然频率和模态形状选择了合适的计算参数和离散化策略。作为首个基准测试，考虑了半径为R=1米的无隔板球形壳体，其中部分填充了理想不可压缩流体，填充深度为H，见图2a)。数值分析针对0.2
结论：本研究提出了一个全面的数学和数值框架，用于分析轴对称旋转壳体中的流体振荡现象，包括有内部水平隔板和无隔板的圆锥形和球形储罐。该框架针对控制理想不可压缩流体运动的三维边界值问题建立了边界元公式，特别注重边界积分核的分析结构与奇异行为，这有助于……

资金来源：本研究未获得公共、商业或非营利领域任何资助机构的特定资助。

作者贡献声明：e. strelnikova：撰写——初稿、指导、概念设计。v. gnitko：方法论、研究、数据整理。k. degtyariov：可视化、软件、研究。d. kriutchenko：可视化、验证、软件。m. mishchenko：可视化、软件。e. strelnikova|v. gnitko|k. degtyariov|d. kriutchenko|m. mishchenko，乌克兰哈尔科夫市komunalnikiv街2/10号，乌克兰科学院n. pidhorny动力机械与系统研究所，邮编61023。 r<1.99的比值以及波数l=0,1的情况进行。该刚性壳体的谱边界值问题（11）是使用上述的边界元法来求解的。边界元素在每个元素内对未知量采用常数近似和二次近似，并采用了[53,54]中提出的细化方法。 结论：本研究提出了一个全面的数学和数值框架，用于分析轴对称旋转壳体中的流体振荡现象，包括有内部水平隔板和无隔板的圆锥形和球形储罐。该框架针对控制理想不可压缩流体运动的三维边界值问题建立了边界元公式，特别注重边界积分核的分析结构与奇异行为，这有助于…… 资金来源：本研究未获得公共、商业或非营利领域任何资助机构的特定资助。 作者贡献声明：e. strelnikova：撰写——初稿、指导、概念设计。v. gnitko：方法论、研究、数据整理。k. degtyariov：可视化、软件、研究。d. kriutchenko：可视化、验证、软件。m. mishchenko：可视化、软件。e. strelnikova|v. gnitko|k. degtyariov|d. kriutchenko|m. mishchenko，乌克兰哈尔科夫市komunalnikiv街2 10号，乌克兰科学院n.>
结论：本研究提出了一个全面的数学和数值框架，用于分析轴对称旋转壳体中的流体振荡现象，包括有内部水平隔板和无隔板的圆锥形和球形储罐。该框架针对控制理想不可压缩流体运动的三维边界值问题建立了边界元公式，特别注重边界积分核的分析结构与奇异行为，这有助于……

资金来源：本研究未获得公共、商业或非营利领域任何资助机构的特定资助。

作者贡献声明：e. strelnikova：撰写——初稿、指导、概念设计。v. gnitko：方法论、研究、数据整理。k. degtyariov：可视化、软件、研究。d. kriutchenko：可视化、验证、软件。m. mishchenko：可视化、软件。e. strelnikova|v. gnitko|k. degtyariov|d. kriutchenko|m. mishchenko，乌克兰哈尔科夫市komunalnikiv街2/10号，乌克兰科学院n. pidhorny动力机械与系统研究所，邮编61023。>