具有参数不匹配的随机模糊忆阻神经网络的准投影同步方法——基于四元数域中It\^{o}'公式的版本

《Journal of the Franklin Institute》：Quasi-projective Synchronization of Stochastic Fuzzy Memristive Neural Networks with Mismatched Parameters via..................................? It\^{o}'s Formula in the Quaternio..................................?Version

　　•本文构建了一种统一的四元数型模糊忆阻神经网络系统，该系统同时包含忆阻权重、参数偏差以及随机莱维噪声，并首次研究了其准投影同步问题。•与将四元数系统分解为实数子系统不同，我们直接构建了四元数李雅普诺夫函数，运用四元数伊藤公式推导同步准则，无需繁琐的维度转换。所获得的充分条件具有很强的通用性：当四元数参数退化为实数值时，我们的结果可自然转化为实值神经网络的同步准则，从而统一并拓展了相关的实数域理论。引言1996年，杨等人提出了模糊细胞神经网络，用于处理建模中的模糊不确定性[1][2]。此后，模糊神经网络被广泛应用于图像处理和模式识别领域，其性能在很大程度上取决于自身的动态特性[3][4]。因此，研究模糊神经网络的局部和全局动态行为既具有理论意义，也具备实用价值。近年来，人们为模糊神经网络的动态分析付出了大量努力。刘等人[5]研究了具有分布式延迟和非连续激活函数的模糊惯性神经网络的固定时间同步问题；杜等人[6]探讨了存在参数不确定性的分数阶延迟模糊神经网络的有限时间同步问题；龚等人[7]通过李雅普诺夫函数和比较原理为T-S模糊忆阻神经网络建立了有限时间同步准则；向等人[8]进一步分析了扩散型模糊神经网络。尽管关于实值模糊神经网络已有多项研究成果，但现有研究中很少有将四元数状态、忆阻权重、随机干扰和参数偏差纳入统一同步分析框架的。这种多因素耦合模型更能反映现实中的复杂系统，而这一研究方向目前仍存在空白。忆阻器具有固有的记忆特性，忆阻神经网络能够以低数据传输冗余度模拟生物神经的并行计算方式，在模式识别、信号处理和优化领域展现出显著优势[9]-[10]。现有的忆阻网络研究大多集中在实数域或复数域。而具有更强多维信号表示能力的四元数型模糊忆阻神经网络却鲜有研究，尤其是在存在随机扰动和参数偏差的情况下。已有文献对延迟忆阻网络的动态行为进行了分析：鲍等人[11]研究了具有时变延迟和脉冲的稳定性问题；张等人[12]探讨了具有混合延迟和随机扰动的指数同步问题；王等人[13]研究了反应-扩散型忆阻系统的稳定性；肖等人[14]设计了耦合延迟随机忆阻网络的控制器。然而，结合模糊推理、非交换四元数代数和忆阻开关特性的四元数型模糊忆阻神经网络缺乏系统的同步分析，尤其是当存在分布式延迟、随机噪声和参数偏差时。这一亟待解决的不足促使我们开展此项研究。同步控制是提升非线性不确定系统抗干扰能力的核心课题。Pecora和Carroll提出的驱动-响应同步方法已成为主流框架，包括完全同步[16]、反同步[17]、滞后同步[18]和准同步[19]等多种同步模式都得到了深入研究。在安全通信领域，具有比例缩放特性的投影同步备受关注，而准投影同步则进一步放宽了严格的比例约束，允许存在有界的同步误差[20]。不过，现有的准投影同步结果仅限于实值或复数域神经网络。针对存在随机扰动和参数偏差的四元数型模糊忆阻神经网络的准投影同步研究十分少见。填补这一空白是本文的核心动机之一。硬件实现的神经网络不可避免地会受到外部随机噪声的影响。脉冲神经网络天然具有随机性[21]-[22]，但对于四元数域下的连续时间模糊忆阻神经网络，进行系统化的随机建模仍面临严峻的数学挑战。由于四元数的非交换性以及忆阻权重的不连续性，很少有学者能够构建涵盖模糊规则、忆阻动力学、四元数状态和随机噪声的完整随机同步体系。为克服这一难题，本文采用四元数版本的伊藤公式作为专门的随机分析工具，用于解决存在参数偏差时的准投影同步问题。随机四元数型神经网络在处理多维非线性数据方面优于实值神经网络，被广泛应用于图像、语音和语言处理任务中。然而，主流的随机四元数型神经网络模型并未包含模糊推理和忆阻突触可塑性功能。结合四元数表示方式、类脑记忆机制和模糊不确定性推理的随机四元数型模糊忆阻神经网络至今尚未得到充分研究。在存在参数偏差和随机扰动的情况下对这些系统进行同步分析，带来了新的理论挑战，也是本文的研究创新点所在。李雅普诺夫稳定性理论是同步分析的主要工具，它要求构建合适的李雅普诺夫函数并计算弱无穷小算子。传统的实数域伊藤公式无法处理随机微分方程中的四元数型漂移项和扩散项。幸运的是，近期已有文献建立了严谨的四元数版本伊藤公式[23][24]，为随机四元数型神经网络提供了可行的李雅普诺夫分析路径，也为本文奠定了数学基础。基于对现有文献中研究不足的总结，本文利用广义四元数版本伊藤公式，研究了存在参数偏差的延迟随机四元数型模糊忆阻神经网络的准投影同步控制问题。本文的核心创新可从以下三个方面概括：（1）与大多数仅单独研究一两个孤立影响因素的现有研究不同，本文创新性地将依赖于忆阻状态的权重、参数偏差以及随机莱维白噪声干扰整合到统一的四元数型神经网络框架中，并受到[25]中研究框架的启发，首次探讨了这类耦合多因素系统的准投影同步行为。（2）摒弃了将四元数系统分解为四个独立实数子系统的传统实数分解策略，避免了繁琐的维度扩展推导过程，本文直接构建了专用的四元数李雅普诺夫函数，运用四元数版本的伊藤公式在完整的四元数域内建立严格的代数同步准则，完全省去了复杂的维度转换操作。（3）所获得的同步充分条件具有出色的通用性和兼容性：当所有四元数参数退化为实数标量时，我们的所有理论结论均可自然转化为实值神经网络的有效同步结果。这一特性有效地统一并推广了大量在实数域中建立的经典稳定性和同步理论。总之，我们构建了一个整合了模糊逻辑、忆阻突触权重、四元数代数、随机噪声和参数偏差的统一分析框架。借助新提出的四元数随机微积分方法，我们进行了基于李雅普诺夫理论的完整准投影同步分析，从而弥补了上述多项研究空白。本文的其余结构如下：第2节介绍四元数基本概念、DSQV-FMNN模型以及相关定义、引理和假设条件。第3节中，我们构建了特定的李雅普诺夫函数，运用四元数伊藤公式计算弱无穷小算子，进而为DSQV-FMNNs推导出充分的准投影同步条件。第4节通过数值示例验证了理论结果的正确性与有效性。第5节对本文内容进行总结，并提出了若干具有前景的未来研究方向。符号说明：R、R+、H分别表示实数集、非负数集和四元数集。Hn是n维四元数向量空间。‖·‖表示四元数的模长，(·)T表示向量或矩阵的转置。设(Ω,F,{Ft}t≥0,P)为一个带有过滤结构的完备概率空间。E{·}表示相对于给定概率测度P的期望运算符。CF0b([?τ,0],Hn)表示所有有界、属于F0测度、取值于C([?τ,0],Hn)的随机变量构成的集合。四元数代数基本符号一个四元数可表示为q=qa+iqb+jqc+kqd，其中qa、qb、qc、qd∈R，i、j、k为虚数单位，满足i2=j2=k2=ijk=?1，ij=?ji=k，jk=?kj=i，ki=?ik=j，由此可见四元数乘法是非交换的。q的共轭定义为q*=qa?iqb?jqc?kqd，其模长为∥q∥H=qq*=qa2+qb2+qc2+qd2。对于四元数向量q=(q1,q2,...,qn)T∈Hn，定义∥q∥0=maxp∈N{qp∥H}，其中N:={1,2,3,...,n}。对于任意两个四元数p和q，其模长满足∥pq∥H=∥p∥H·∥q∥H。主要结果本节旨在确定利用所提出的反馈控制器实现主系统(1)与从系统(6)之间准投影同步所需的必要条件。定理3.1假设假设(H1)至(H2)成立。定义延迟初始误差状态集合：Φ={x?(t?τ)∈Hn|E∥x?(t?τ)∥02≤?}。存在正常数ρ和?，其表达式分别为ρ=minp∈Δ{2εp??d^p+?16?∑q=1n(a^qp+)2(Lpf)2?∑q=1n(Lpqσ)2}>0，?=maxp∈Δ{1+dp^++∑q=1n[(α?qp+)2+(β?qp+)2](Lpg)2+∑q=1n(Lqpσ)2}>数值仿真（图形演示）设n=2，考虑以下具有忆阻器的延迟随机四元数型模糊神经网络：dxp(t)=[?dˉp(t)xp(t?τ)+∑q=1naˉpq(xq(t))fq(xq(t))+∑q=1nbpq(t)Vq(t)+?q=1nαˉpq(t)gq(xq(t?τ))+?q=1nTpq(t)Vq(t)+?q=1nβˉpq(t)gq(xq(t?τ))+?q=1nSpq(t)Vq(t)+Jp(t)]dt+∑q=1nδpq(xq(t),xq(t?τ))dωq(t)，相应的响应系统为dyp(t)=[?d^p(t)yp(t?τ)+∑q=1naˉpq(yq(t))fq(yq(t))+∑q=1nbpq(t)Vq(t)+?q=1nα^pq(t)gq(yq(t?τ))+?q=1nTpq(t)Vq(t)+?q=1nβ^pq(t)gq(yq(t?τ))+?q=1nSpq(t)Vq(t)+Jp(t)+Up(结论本文建立了一种广义四元数伊藤公式，该公式将实数域和复数域的随机微积分视为特例，解决了四元数系统缺乏系统化随机分析工具的问题。与传统的基于分解的分析方法不同，我们直接在完整的四元数域内研究了存在参数偏差的延迟随机四元数型模糊忆阻神经网络。通过构建定制化的四元数李雅普诺夫函数……未来工作今后，一方面，我们可以深入探索四元数伊藤公式在更广泛的随机四元数系统中的应用潜力，例如将其扩展到其他类型的神经网络或复杂动态系统中，进一步验证并提升该公式的适用性。另一方面，基于四元数伊藤公式，我们可以探索更为高效且稳健的控制策略，以提高系统的准投影同步性能。资金支持本研究得到了重庆市教育委员会（编号KJQN202401336）、福建省自然科学基金（编号2024J08207）以及福建省教育厅（编号JAT220213）的资助。未引用文献缺少引用[33][34][35][36][37][38][39]CRediT作者贡献声明向江莲：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、软件工具、方法论、研究实施、资金获取。黄晓丽：写作——审稿与编辑、方法论、研究实施、资金获取。高津：写作——审稿与编辑、指导监督、软件工具。利益冲突声明作者声明不存在任何利益冲突。向江莲|黄晓丽|高津