基于轨迹的序列学习方法，用于实现机器人操作臂的高效稳定逆运动学求解

《Robotics and Autonomous Systems》：Trajectory-based sequential learning for efficient and stable inverse kinematics of robotic manipulators

　　摘要
机器人操作臂的逆运动学问题具有非线性和多解性：多个关节配置可实现相同的末端执行器姿态，而微小的扰动可能会在执行过程中引发运动学分支之间的不连续切换。这一特性使得从真实机器人轨迹中学习变得困难，因为记录的数据仅提供实际执行的配置，而非所有有效的解。本文通过将逆运动学重新定义为一种基于状态的序列学习问题，来解决这一矛盾——模型不再回归绝对关节角度，而是根据先前执行的配置预测关节更新量。该模型采用几何感知输入，结合当前姿态、短时间内的姿态变化以及之前的关节状态，同时通过连续方向特征、三角函数关节嵌入以及考虑边界情况的训练损失函数，来处理旋转连续性和关节周期性问题。在真实机器人轨迹上训练后的模型，通过自回归方式在未见过的测试轨迹上进行验证，其关节误差可控制在几度以内，末端执行器位置误差则可达到毫米级，这一结果已通过正运动学得到验证。消融实验和损失函数分析表明，增量学习和显式状态条件对于实现稳定的长距离轨迹预测至关重要。与基于学习的逆运动学方法及阻尼最小二乘数值逆运动学方法相比，所提方法在速度与精度之间取得了更好的平衡，其前馈推理机制也适合实时轨迹控制应用。

引言
逆运动学是机器人运动规划中的核心问题：给定期望的末端执行器姿态，需要找到既能实现该姿态、又符合运动学约束且能保证稳定闭环控制的关节配置[1]–[5]。在轨迹跟踪、运动规划、远程操控和操作任务中，逆运动学问题频繁出现，且往往需要在严格的时间约束下高效求解。传统解决方案主要分为解析法和数值法两类[6]–[9]。当存在封闭形式解时，解析逆运动学能够以确定性的时间复杂度枚举出多个解分支，但这些解通常针对特定机器人设计，且对建模细节较为敏感[10]–[13]。相比之下，数值逆运动学具有更强的通用性，通常通过基于雅可比矩阵转置、伪逆或阻尼最小二乘法的差分更新来实现[14]–[18]。在这些基于雅可比的数值方法中，解是通过局部迭代修正获得的：当前任务空间误差会通过机器人雅可比矩阵或其伪逆转换为小的关节更新量，而阻尼机制则用于在接近奇异或病态配置时提升稳定性。然而，数值逆运动学仍属于迭代过程，且依赖初始条件，在面对病态姿态时性能会发生变化，此外可能还需要额外的启发式策略或多起点搜索方法才能找到其他可行解。

基于学习的逆运动学作为一种新的替代方案逐渐受到关注：一旦训练完成，前馈模型即可快速完成逆映射计算，非常适合实时控制应用[19]–[25]。早期的神经网络逆运动学研究虽证明了其可行性，但多数研究使用仿真数据训练，并以每个姿态对应一个配置的方式进行监督，从而将逆运动学视为静态的姿态到关节的回归问题。对于具有多个运动学分支的操作臂而言，这种静态建模存在缺陷，因为相近的任务空间姿态可能对应不同的有效关节配置。因此，当存在多个逆运动学解时，直接回归方法可能会产生平均化预测、不连续现象或分支切换错误[26]–[28]。为了解决逆运动学的多值性问题，已有不少基于学习的方法被提出。这类方法包括基于分布的建模方式，如混合密度模型、归一化流以及其他生成模型，它们旨在为给定的末端执行器姿态建模多种可行的关节配置，然后在推理时选择或采样合适的解[29]–[33]。这类方法特别适用于静态逆运动学问题，其目标是描述与某个特定姿态相关的所有可行解。然而，在真实机器人上的轨迹跟踪还包含额外的时间信息——通常已知之前执行的关节配置。在这种情况下，实际目标并非列出所有可能的逆运动学分支，而是以局部一致的方式延续已执行的路径。

另一类研究则利用强化学习或模仿学习，通过从交互数据、示范样本或奖励引导的探索中学习策略或映射关系，来解决逆运动学和机器人运动规划问题[34]–[38]。例如，基于DDPG的多智能体强化学习方法通过试错式交互和奖励设计来学习到达目标的行为，而模仿学习方法则借助人类示范和降维技术，为冗余结构或类人机械臂生成自然的运动配置。这类方法在需要学习完整任务级行为、冗余消除策略或类人运动模式时非常有用，尤其适用于涉及探索、避障、接触交互或奖励驱动决策的场景。与之不同，本研究的目标更为具体：我们假设所需的任务空间轨迹已经存在，旨在学习一个轻量级的监督式逆运动学模块，将该轨迹映射为与现有分支一致的关节空间轨迹。因此，强化学习/模仿学习方法被视为辅助性的任务级解决方案，而本研究则聚焦于从真实机器人轨迹数据中学习确定的序列式增量逆运动学预测方法，无需进行奖励设计、探索或人类示范。

这些观察结果表明，基于学习的逆运动学在真实机器人应用中还存在实际缺陷。在真实机器人轨迹数据中，每个目标姿态通常只与实际执行的配置相关联，而非所有可行的逆运动学解。因此，将逆运动学视为独立的姿态到关节的回归问题，会忽略执行过程中可用的重要信息——即之前达到的关节配置。在轨迹跟踪中，这一先前的状态为延续同一运动学分支提供了自然的局部上下文。基于这一认识，我们将逆运动学建模为一个基于状态的过渡学习问题。模型不再独立地从每个姿态回归绝对关节向量，而是根据当前目标姿态、局部姿态变化以及之前的关节配置来预测增量式的关节更新量。这种建模方式旨在生成局部一致的关节空间轨迹，同时减少与多值逆运动学、旋转表示和关节周期性相关的不连续现象。这种基于过渡的视角与传统的差分逆运动学和数值逆运动学方法密切相关，后者也是通过局部运动学信息逐步更新关节配置的。两者的区别在于，传统方法通常使用机器人雅可比矩阵或阻尼伪逆在线计算每次更新量，并通过迭代优化和收敛检查来确保精度。而所提出的模型则是从真实机器人轨迹数据中学习这种基于状态的更新规则，通过单次前馈计算即可预测下一个关节增量。因此，本研究的贡献不仅在于使用了增量更新机制，更在于从真实机器人轨迹数据中监督学习了与现有分支一致的增量逆运动学规则。

这样的建模方式使学习目标与实际应用需求相契合，即在整个轨迹上实现自回归式预测，同时促使解决方案在时间上保持局部一致性。它也与真实机器人轨迹数据的结构相匹配——实际执行的路径是按顺序观测到的，而非所有可行解的无序集合。在本研究中，我们采用了这一视角，为六自由度机器人操作臂开发了一种基于状态的序列式增量逆运动学模型。该模型通过几何感知的姿态特征、局部姿态增量以及之前关节状态的周期性嵌入，来实现与现有分支一致的预测。此外，我们还利用残差连接结构，以提高在真实机器人噪声存在及长距离轨迹预测时的优化稳定性。实验结果表明，所提出的模型能够在真实机器人轨迹上实现高精度的关节预测和低任务空间误差，同时为基于迭代阻尼最小二乘法的逆运动学方法提供了一种高效的前馈替代方案。

主要贡献如下：
• 提出了一种监督式的序列式增量逆运动学建模方法，将逆运动学重新定义为从真实机器人轨迹中预测与现有分支一致的关节增量，而非静态的姿态到关节的回归问题。
• 设计了一种基于状态的反馈式逆运动学模型，该模型结合当前姿态、局部姿态变化以及之前的关节配置，无需通过在线迭代计算雅可比矩阵，即可实现局部一致的自回归轨迹预测。
• 在真实UR3机器人轨迹上进行了性能评估，包括消融实验、损失函数分析、推理时姿态扰动测试，以及与各类基于学习的逆运动学方法和阻尼最小二乘法基线的对比，结果表明该方法在轨迹预测精度和推理效率之间取得了良好平衡。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍所提出的基于状态的序列式增量逆运动学建模方法，包括角度周期性处理、几何感知输入构建、残差网络参数设计以及训练目标。第3节阐述真实机器人数据集、轨迹级预测流程、评估指标、基准方法、消融实验设置及实现细节。第4节展示实验结果，包括关节空间和任务空间预测精度、消融实验与损失函数分析、与基于学习的逆运动学方法的对比、与阻尼最小二乘法数值逆运动学方法的运行效率对比，以及推理时姿态扰动分析。第5节讨论主要研究发现、方法论意义、局限性及未来研究方向。最后，第6节总结全文，概括主要贡献和关键实验结果。