一种用于等几何拓扑优化的自适应在线迁移学习框架

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：An adaptive online transfer learning framework for isogeometric topology optimization

　　摘要：本文提出了一种新颖的自适应在线迁移学习框架，用于实现具有几何通用性且计算高效的高分辨率等几何拓扑优化。该框架将从经典数值基准中系统提取的基于物理原理的离线先验知识与针对ITO过程中特定结构演变的在线自适应机制相结合。具体而言，文中设计了一种深度双分辨率图神经网络，可直接处理分层非均匀有理B样条控制网格。该网络能够同时编码细网格的刚度分布和粗网格的结构响应，从而高精度预测细网格的灵敏度。为解决ITO过程中材料密度迭代重分配带来的概念漂移问题，本文引入了一种时间衰减缓冲数据集构建方法，根据数据与当前迭代的时间距离为连续在线样本赋予指数衰减权重。此外，还提出了一种基于灵敏度偏差角准则的自适应在线更新策略，仅当预测灵敏度与真实灵敏度之间的角度偏差超过预设阈值时才触发高精度模拟和DTR-GNN重新训练，从而在避免冗余计算的同时确保收敛稳定性及最终设计性能。通过2D和3D问题的大量数值实验，验证了所提框架的计算效率、数值稳健性及可扩展性，其在提升计算速度的同时保持了良好的目标函数性能。

引言：拓扑优化作为一种现代工程领域的核心概念设计方法，能够系统地确定给定设计域内的最优材料分布，从而在体积约束条件下最大化结构性能。传统拓扑优化方法主要依赖有限元分析来评估结构响应，这需要将通常由非均匀有理B样条表示的CAD模型转换为离散网格，而这一几何离散化过程往往会导致几何近似误差以及设计模型与分析模型之间的脱节。为弥补这一缺陷，等几何分析被引入，它利用NURBS基函数实现了设计与分析在统一数学框架下的结合，既能够实现精确的几何描述，又能进行高精度的结构分析。将等几何分析融入拓扑优化流程后，等几何拓扑优化不仅消除了传统基于有限元分析的拓扑优化中存在的几何离散化误差，还具备了更高的连续性阶数和更优异的数值精度。尽管具有上述优势，等几何拓扑优化仍面临与传统基于有限元分析的拓扑优化相同的计算成本高昂问题，其主要瓶颈在于每次优化迭代都需要进行高精度模拟，尤其是对于那些几何复杂、边界条件复杂的髙分辨率3D问题。为解决这一问题，人们开发了多种加速技术，如近似重分析、多网格求解器、并行计算以及模型降阶等。近年来，机器学习的快速发展引起了计算力学领域的极大关注，由于其具备出色的高非线性、高维映射拟合能力，为通过大幅减少对高精度数值模拟的依赖来加速拓扑优化提供了可行路径。目前基于机器学习的拓扑优化加速方法大致可分为两类：直接设计方法和子步骤加速方法。直接设计方法旨在预测特定问题的最优结构，从而无需迭代过程或仅需少量初始迭代即可得到结果，这类方法通常借助图像分割领域常用的深度神经网络架构，如卷积神经网络和生成对抗网络，将问题参数或初始迭代结果直接映射为最优密度分布。另有研究结合迁移学习与Wasserstein GAN梯度惩罚，以较少样本高效生成电池冷板结构的最优拓扑。还有研究分别开发两种神经网络模型，用于直接预测宏观尺度元素的最优微观结构并提升不同微观结构之间的连接性。另有研究则通过CNN模型学习从第一轮迭代时的结构应力分布到最终最优拓扑的映射关系，从而实现实时拓扑优化。尽管这些方法具有显著的计算效率优势，但它们存在一定的局限性，主要体现在难以构建全面的训练数据集以及可扩展性较差方面。要生成能够覆盖高维非线性设计空间的代表性数据集在计算上极为困难，实际中也往往不可行。此外，这类机器学习模型在面对与其训练数据分布不同的边界条件或初始设计域时，通常表现出较差的泛化能力。子步骤加速方法则不追求端到端的直接预测，而是专注于加速拓扑优化过程中的某些高计算成本步骤。这类方法不直接预测最终结构，而是将机器学习模型作为敏感度分析、高精度模拟等中间计算的替代工具，通过保留物理机制的约束条件，利用机器学习模型近似处理高计算强度的任务，从而显著降低对完全优化结构的大规模数据集的依赖，并通过拓扑优化框架的数学严谨性提升模型的泛化能力。有研究训练了独立的离线神经网络模型，可用于处理具有不同几何形状、边界条件、网格尺寸、体积分数和滤波半径的各类拓扑优化问题。还有研究开发了离线训练的深度神经网络，用于建立定义子结构内材料分布的参数与相应简化刚度矩阵形函数之间的隐式映射关系。另有研究提出了在线训练框架，利用前期拓扑优化迭代产生的数据来训练神经网络模型，从而提升了框架的可扩展性和准确性。还有研究提出了基于机器学习的拓扑优化框架，该框架在每轮迭代中首先在粗略尺度上进行结构更新，随后再通过神经网络将得到的粗略尺度设计放大为高分辨率版本。尽管上述研究已取得重要进展，但专门针对等几何拓扑优化的机器学习加速方法仍然十分匮乏。与传统基于有限元分析的拓扑优化不同，等几何拓扑优化中的单元刚度矩阵同时取决于相对密度以及参数域与物理域之间的非线性几何映射关系，这种双重依赖性使得数据集构建和机器学习模型设计都变得极为复杂。因此，为传统基于有限元分析的拓扑优化开发的现有机器学习加速方法未经根本性调整就无法直接应用于等几何拓扑优化流程。有研究率先提出了专为等几何拓扑优化设计的在线机器学习方法，本文将其称为OML-ITO方法。该方法从早期迭代中动态获取训练数据，训练出能够将细网格刚度分布直接映射为单元灵敏度的特定问题专用机器学习模型，通过利用在线生成数据所具有的强时间相关性，有效避免了离线机器学习方法固有的泛化问题。然而，OML-ITO方法在预测精度和计算效率方面仍存在局限，由于在线环境中训练数据较为稀缺，往往需要使用结构较为简单的神经网络架构，而这些架构往往无法准确捕捉复杂的非线性结构行为。此外，由于缺乏先验知识，加之等几何拓扑优化过程中数据获取是逐次进行的，机器学习模型需要经过大量高成本的细网格迭代才能积累足够的训练数据，这也进一步降低了整体计算效率。迁移学习是一种利用源域的知识来提升在语义相关但不同的目标域中的学习效率的方法，它为解决OML-ITO方法在缺乏先验知识时的局限性提供了一种理论依据。在等几何拓扑优化框架中，源域指的是离线阶段来自经典数值拓扑优化基准问题的数据，而目标域则是需要解决的具体等几何拓扑优化问题。不过，传统的迁移学习方法通常假设目标域存在完整的静态训练数据集，而等几何拓扑优化过程则是逐次生成数据的，因此仅靠标准迁移学习无法充分利用目标域数据的这种序列化、流式特征。为解决上述问题，本文提出了一种基于自适应在线迁移学习的等几何拓扑优化框架，该框架包含离线阶段和在线阶段两个部分。在离线阶段，使用来自标准数值拓扑优化基准问题的源域数据对基础的深度双分辨率图神经网络模型进行预训练。在线阶段，则从逐次迭代的等几何拓扑优化过程中依次获取目标域数据，通过自适应在线更新策略对基础模型进行动态微调。一旦预测精度达到优化要求，即可将更新后的DTR-GNN模型应用于后续迭代，从而避免进行高成本的细网格等几何分析。所提出的AOTL-ITO框架主要有四项贡献：首先，该框架首次将一种新型迁移学习方法融入等几何拓扑优化流程，通过从经典数值基准问题中通过大量采样得到的源域数据中提取能够体现设计变量灵敏度普遍物理依赖关系的先验知识，将这些先验知识应用到数据极度匮乏的目标等几何拓扑优化问题中，从而同时解决了纯离线方法泛化能力差的问题以及传统在线学习方法计算成本过高的问题；其次，该框架设计了专门的DTR-GNN架构，该架构能够在分层等几何控制网格上建立从细网格刚度分布和粗网格结构响应到细网格灵敏度的功能映射关系，其编码器部分是由点变换器模块、图卷积和批量归一化组成的图神经网络模块，能够有效捕获细网格控制点中的几何拓扑信息和刚度分布，经过基于元素级信息聚合的全局到局部特征转换后，再通过全连接网络作为解码器，高精度预测细网格的灵敏度场，而且该架构不受离散化方式的影响，能够在不同密度的等几何网格上通用，其基于图结构的设计也专为处理等几何控制点表示而优化；第三，本文提出了一种时间衰减缓冲数据集构建方法，用于提升基础DTR-GNN模型捕捉在逐次更新的相对材料密度和结构位移中所蕴含的特征信息的能力，该方法使用固定容量的循环缓冲区存储在等几何拓扑优化过程中生成的数据样本，在缓冲区内采用时间衰减加权机制，即根据数据与当前迭代的时间距离为每个样本赋予呈指数衰减的权重，通过这种有理论依据的方式削弱过时数据的影响，有效解决了等几何拓扑优化数据固有的非平稳性问题，抑制了早期迭代数据带来的概念漂移；第四，本文提出了一种自适应在线更新策略，用于在保障预测精度的同时控制DTR-GNN重新训练的计算成本，该方法以预测灵敏度向量与实际灵敏度向量之间的偏差角作为衡量预测精度的几何意义明确且与尺度无关的指标，该指标驱动动态重新训练机制，只有当监测到的灵敏度偏差角超过预设的精度阈值时才会触发重新训练，从而避免为生成在线数据而进行不必要的细网格结构分析，该策略显著减少了冗余的计算开销，同时保持了收敛稳定性，大幅提升了等几何拓扑优化框架的整体计算效率。本文的其余部分结构如下：第2节阐述提出该等几何拓扑优化框架的动机，第3节详细介绍AOTL-ITO框架，包括基础DTR-GNN模型的离线构建以及用于解决目标问题的AOTL-ITO算法的在线实现方式，第4节通过一系列2D和3D数值示例证明该框架的计算效率及其广泛的适用性，最后第5节给出结论。

框架提出的动机：本节阐述了将自适应在线迁移学习方法引入高分辨率等几何拓扑优化的原因。首先，本文建立了基于SIMP–NURBS的等几何拓扑优化公式，旨在弥合CAD模型与结构分析之间的差距。该公式能够确保固体与空洞之间的清晰边界，并彻底消除传统基于有限元分析的方法中常见的几何近似误差。接着，分析了基于机器学习的ITO所面临的理论挑战：ITO的数学公式本身具有特殊性。本文提出了AOTL-ITO框架，该部分介绍了从模型构建到算法实现的各个方面。在3.1节中，首先描述了DTR-GNN模型的离线构建过程，包括基于图的编码器、双分辨率特征聚合、FCN解码器以及数据集生成流程。随后，在3.2节中，设计了在线迁移学习算法，利用存储在特定数据集中的目标领域序列数据对预训练模型进行微调。数值实验部分通过二维和三维设计问题来验证所提出的AOTL-ITO框架的计算效率、优化精度以及收敛稳定性。对于所有研究的ITO案例，SIMP方法的惩罚因子p设为3，滤波平滑函数选用Shepard函数[86]，最大迭代次数定为200次。固体材料的杨氏模量和泊松比分别取为1和0.3。结论部分指出，本文提出了一种新的AOTL-ITO框架，可用于高效解决高分辨率ITO问题，同时确保在多种几何结构下的良好泛化能力。该框架将离线预训练模型中提取的通用物理规律与在线针对具体问题的适配机制相结合，有效降低了高精度仿真的计算负担，同时保持了良好的性能表现。致谢部分说明，本研究得到了浙江省自然科学基金（编号LZ24E050005）和中国国家自然科学基金（编号52375273、U22A6001）的支持。CRediT作者贡献说明：彭德尚负责原始稿撰写、可视化、验证、方法设计、研究分析、正式分析及数据整理；程进负责审稿与编辑、监督、资源协调、项目管理、方法设计、研究分析、资金获取、正式分析及概念构思；宋学冠负责审稿与编辑、监督、资源协调及研究工作；谭建荣负责监督、资源协调及资金获取。彭德尚|程进|宋学冠|谭建荣，中国浙江大学流体动力与机电系统国家重点实验室，杭州，310058。