基于哈密顿蒙特卡洛方法的贝叶斯推理声学动力模态分析

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Acoustic dynamic modal analysis through Bayesian inference with Hamiltonian Monte Carlo method

　　摘要：在飞机飞行过程中，始终存在气动声辐射现象。识别这类噪声的动态模式对于理解气流中声音产生的机制及其传播过程至关重要。然而，由于气动噪声源具有固有的随机性，基于模态分解方法得到的模式参数的有效性面临诸多挑战。此外，实验中传感器数量有限，也制约了对噪声进行高分辨率空间测量。本文提出一种基于哈密顿蒙特卡洛的贝叶斯数据驱动模态分解方法，用于准确且高分辨率地识别气动噪声模式，并将其应用于麦克风阵列测量。该贝叶斯框架是基于库普曼特征分解理论构建的，随后为模式参数推导出作为马尔可夫链驱动力的解析梯度表达式，再利用HMC采样器估计这些参数的后验分布。最后，根据库普曼特征值与特征函数之间的关系迭代更新模式参数，从而显著降低计算复杂度。通过对噪声驱动的Kuramoto–Sivashinsky方程中的瞬态动力学进行重建，结果表明所提方法的均方根误差低于15%，体现了其在模态分解方面的有效性。进一步通过计算气动声学模拟和非同步风洞试验，对NACA 0012翼型的尾缘噪声进行了声学模式分析，结果表明该方法能够有效可视化声波的动态行为，为探究气动噪声产生与传播机制提供了新的视角。

引言：过去十年间，提升飞机性能以及减少航空活动对环境的影响一直受到工业界的广泛关注，尤其是在理解气动噪声的产生机制及控制噪声辐射方面[1]、[2]。与振动声学不同，气动噪声复杂的产生机制和传播过程与气流动力学的固有不稳定性密切相关。一种常见的处理方法是根据特定规则将动态行为分解为多个分量或模式，通过研究各个分量来阐明复杂的气动现象[3]。

目前，用于动态分析的模态分解方法有多种，包括解析驱动法和数据驱动法。解析驱动法旨在通过分析控制方程来推导出各阶模式的数学表达式，常用的方法有全局稳定性分析、逆解分析以及库普曼特征分解。全局稳定性分析[4]、[5]和逆解分析[6]、[7]、[8]利用线性纳维-斯托克斯方程的离散算子，分别得到线性稳定模式和受迫响应模式，这些方法常用于复杂流动问题的分析。Demange等人首次提出了用于翼型尾缘噪声的逆解模型[9]，该模型利用平均流提取近尾流区域中的扩散相干结构，并将其整合到Curle声学类比解中，从而得到散射声学模式。库普曼特征分解则运用无限维算子将非线性动力学转化为线性表示形式[10]、[11]、[12]、[13]、[14]，而广泛使用的库普曼算子的有限维近似就是动态模态分解。算子驱动法的优势在于能够灵活选择要研究的算子或变量，从而构建出能够准确反映模态分解特性的数学模型。不过，由于算子的推导依赖于相应的控制方程，通常无法仅从数据直接获得解析解，这可能限制了解析驱动法在分析实验数据时的直接应用性[15]。

为弥补解析驱动法的不足，数据驱动技术直接从足够大的数据集中获取模态分解结果，无需依赖明确的控制方程来引导求解过程。常见的数据驱动方法包括正交投影分解（POD）[16]、[17]、动态模态分解（DMD）[18]、[19]以及谱正交投影分解（SPOD）[20]、[21]、[22]等。POD旨在将一组数据分解为最少数量的基函数，以便尽可能多地捕获能量，由于基函数为空间向量，因此POD生成的模式在空间上是正交的[23]，该方法广泛应用于机械系统的降阶处理[24]、[25]以及动态系统中的相干结构识别[26]，常用于解释流动问题中运动特性相似的波包。与POD不同，DMD将数据分解为具有单频时间演化特征的模式，该方法常用于时间序列数据分析，且有多种变体[27]。带控制的动态模态分解（DMDc）是DMD的扩展版本，它引入了控制效应，有助于区分底层动力学与激励作用带来的影响，从而得到更精确的输入输出模型[28]。残差动态模态分解（ResDMD）则能提供稳健且经过验证的库普曼结构，它能对一般库普曼算子计算谱和伪谱，并具备误差控制功能，还能通过明确的高阶收敛定理得到经过平滑处理的谱度量结果[29]、[30]。物理信息驱动的动态模态分解（piDMD）则将物理原理（如对称性、不变性和守恒定律）融入DMD中[31]，这种结合物理先验知识的机器学习方法不仅能提高DMD的准确性、稳健性和泛化能力，还能减少所需输入数据量。SPOD则兼具POD和DMD的特点，其生成的模式在空间和时间域内均保持正交性[32]。

然而，大多数基于DMD的方法仅能提供模式参数的点估计值，无法在分解框架内建模由随机激励或测量噪声引起的不确定性。在现有研究中，通常通过额外的方法来评估不确定性，比如确定性误差界限分析、使用扰动数据进行重复模拟，或是基于重采样数据集构建的集成方法[33]、[34]、[35]、[36]、[37]，尽管这些方法具有更高的稳健性和实际应用效果，但其不确定性是通过后续的统计分析引入的，而非直接来自概率模型。

在经验模式分解和最优模式分解中，已有许多处理不确定性的方法，包括随机子空间识别[38]、[39]、扰动分析[40]、[41]以及自举技术[42]，这类方法拥有内在的概率模型，模式参数是通过统计方法得到的，因此自然会伴随不确定性量化。而DMD则旨在寻找测量数据的最佳低秩表示形式，本身并不包含任何固有的不确定性信息。

尽管数据驱动的模态分解技术已被广泛应用，但随机性在气动声学分析中的作用尚未完全明确。在许多实际的气动声学问题中，控制声音传播的底层动态系统是确定性的且时间不变的，而随机性主要源于非稳态流动带来的源波动。现有的大多数基于DMD的方法侧重于获得算子及其对应模式的稳健点估计值，而由随机源引起的不确定性通常需要通过辅助的统计方法来评估。贝叶斯框架则为扩展DMD提供了一种合理的方式，它能够在不改变映射算子基本假设的前提下，在推断层面显式地对不确定性进行建模。沿着这一思路，Takeishi等人提出了基于库普曼谱分析的贝叶斯动态模态分解方法（BDMD），该方法利用吉布斯采样器来推断模式参数的后验分布，本研究将其称为吉布斯-BDMD。虽然该方法效果良好，但由于多通道气动声学数据对应的参数空间维度较高，实际应用中可能会出现收敛缓慢以及易陷入局部最优的问题。此外，与在流场中使用的粒子图像测速技术[44]、[45]以及纹影技术[46]、[47]不同，实验中可使用的麦克风数量存在固有限制，这使得获取高空间分辨率的数据十分困难。Yu等人提出的非同步测量技术[48]、[49]、[50]、[51]在声源定位和声场重建方面表现出了良好的性能，该方法通过阵列扫描扩大阵列孔径或增加测量密度，从而能够获取高分辨率的气动噪声模式。

为解决现有贝叶斯DMD方法在高维气动声学应用中的局限性，本文提出了一种基于哈密顿蒙特卡洛的贝叶斯动态模态分解框架（HMC-BDMD）。该方法旨在提升基于DMD的模态分析中后验推断的效率与稳健性，而非修改模态分解的基本公式。通过利用后验分布的梯度信息，HMC采样器能够更高效地探索参数空间，降低样本相关性，同时解决基于吉布斯方法时常出现的混合速度慢的问题。在该框架中，贝叶斯参数被表示在降维空间中，这进一步降低了处理多通道数据时的计算负担。因此，所提出的HMC-BDMD框架为基于DMD的气动声学模态分析中的不确定性量化提供了一种实用且可扩展的贝叶斯推断策略。本研究的主要贡献如下：
(1) 提出了一种基于哈密顿蒙特卡洛的气动声学模态分析用贝叶斯动态模态分解框架，该方法着重提升高维贝叶斯DMD问题中后验推断的效率与稳健性，还引入了专为降维参数表示设计的高效HMC采样器，并推导出了后验参数梯度的解析表达式，首先通过噪声驱动的Kuramoto–Sivashinsky方程验证了该框架的可行性。
(2) 提出了一种用于实验中可视化声学模式的方法，该方法利用非同步测量技术获取空间上高密度的声场数据，在应用模态分解方法得到高分辨率声学模式结果之前，会使用参考麦克风对不同测量平面上的声压数据进行校准。

本文的其余结构如下：第2节分析噪声传播的正向问题，并介绍DMD的贝叶斯模型；第3节回顾传统的哈密顿蒙特卡洛方法，同时介绍所提出的HMC-BDMD框架，接着阐述高效的HMC采样器，随后推导出后验参数的解析梯度，并通过Kuramoto–Sivashinsky方程的数值示例说明该方法的适用性；第4节阐述数值模拟与风洞试验的设置；第5节通过数值模拟和实验结果讨论HMC-BDMD方法的可行性；最后第6节给出结论。

片段摘录：
从声源到接收器的声音传播模型：考虑一个连续分布的振动声源区域Ω，该区域具有表面积Γ，其表面上的振幅q服从随机正态分布。声源的位置由rs表示。当声波传到静止区域中的第m个接收器位置rmr时，该位置的声压p可以视为通过格林函数表示的、从振动声源传递到rmr的响应的叠加。

哈密顿蒙特卡洛采样器：哈密顿蒙特卡洛是一种马尔可夫链蒙特卡洛方法，它借助哈密顿动力学的类比，能够高效地探索复杂的高维概率分布[52]。该方法不直接对物理系统进行建模，而是在参数空间内构建一个人工动态系统以便于采样。在这个框架中，需要估算的参数θ被视为该人工系统的位置变量。

控制方程与仿真设置：在研究翼型尾缘噪声问题时，准确捕捉流体中的复杂涡旋结构及其引发的声学现象至关重要。大涡模拟能够通过直接模拟较大的湍流涡旋结构，并对小尺度涡旋采用子网格尺度模型，从而在保持计算效率的同时实现对流体特性的高度精确描述。在本研究中，对不可压缩流场进行了大涡模拟。

结果分析：在开展谱分析和模态分析之前，首先需要表征实验时间序列数据的基本特性，以确保其适合用于这些分析方法。模态分解的一个关键要求是信号平稳性，即底层动力学中不存在显著的瞬态变化或异常。为严格验证这一点，采用了递归最小二乘算法，用来跟踪拟合到某种自回归模型上的参数。

结论：本文提出了一种基于哈密顿蒙特卡洛的方法，用于计算贝叶斯动态模态分解模型，该模型可用于分析空间中气动噪声的动态行为。在Koopman特征分解理论框架下，阐述了BDMD四个参数的含义，并给出了通用似然函数表达式。随后，在哈密顿量守恒的假设基础上，建立了相应的HMC采样器。CRediT作者贡献声明：石宇泰：写作——初稿撰写、验证、方法设计、概念构建；冯道方：写作——审阅与编辑、验证、概念构建；于亮：写作——审阅与编辑、验证、概念构建；刘宇：写作——审阅与编辑、验证、概念构建；李敏：写作——审阅与编辑、监督、资源协调、项目管理。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。致谢：本研究得到了中国国家重点研发计划（项目编号2020YFA0405700）的支持，同时也获得了国家自然科学基金（项目编号12474464）的资助。石宇泰|冯道方|于亮|刘宇|李敏