用于稳健高效（可能为高维）可靠性估计的序贯多重重要性抽样方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Sequential multiple importance sampling for robust and efficient (possibly high-dimensional) reliability estimation

　　•提出了一种用于可靠性估计的序贯多重重要性抽样方案。•通过方差膨胀和混合截断方法构建抽样密度。•提出了一种基于不确定性传播的单次运行不确定性量化方法。与传统序贯方法相比，该算法具有更高的稳健性和效率。引言可靠性估计在工程结构的风险分析和性能评估中起着至关重要的作用。它能够以概率方式评估工程系统满足预定安全与运行要求的程度。相关的失效概率pf可通过多维积分来计算[1]：pf=∫Ωπxdx=∫RnπxIΩxdx，其中X=X1,X2,?,XnT∈Rn表示描述系统不确定参数的n维随机向量；πx是X的联合概率密度函数，通常来源于工程实践中的规范要求或观测研究得到的实证数据；Ω=x∈Rn|gx<0定义了失效域，这里的gx为性能函数，其零等值线则构成了极限状态面，即失效域与安全域之间的边界；IΩx为指示函数，当x∈Ω时取值为1，否则为0。本文采用大写字母表示随机变量，而小写字母则表示这些随机变量的实际取值及固定参数。为便于对公式(1)进行数值计算，通常会通过坐标变换将原始随机向量X映射到一组独立的标准正态变量上，即U=TX。这种变换可通过罗森布拉特变换[2]或纳塔夫变换[3]来实现。在变换后的坐标系中，失效概率可重新表示为：pf=∫F?nudu=∫Rn?nuIFudu，其中?nu=∏i=1n?ui，“??”表示单变量标准正态概率密度函数。在标准正态空间中，失效域由变换后的性能函数gu=gT-1u=gx定义，即F=u∈Rn|gu<0。为计算公式(2)中的积分，蒙特卡洛模拟因其极少的建模假设和较高的稳健性而成为最常用的方法之一。然而，当随机向量U的维度很高，且失效域F仅占据标准正态空间的很小一部分时，直接使用蒙特卡洛模拟往往会在失效区域内产生很少的样本，从而导致估算出的失效概率具有较高的方差。为解决这一问题，人们开发出了多种蒙特卡洛模拟的变体。这些方法通常会构建一系列中间重要性抽样密度，逐步逼近最优的ISD：pFu=pf-1?nuIFu。常见的方法包括子集模拟[SuS][4],[5]、广义子集模拟[GSS][6]、自适应重要性抽样[AIS][7],[8]、序贯重要性抽样[SIS][9],[10]、序贯空间转换[SESC][11],[12]以及序贯方向重要性抽样[SDIS][13],[14]，它们主要在构建ISD的方式上存在差异。子集模拟通过逐渐将性能函数阈值降低至零来构建一系列截断分布。作为该方法的延伸，广义子集模拟通过同时放大输入变量的标准差并自适应调整性能函数阈值来进一步提高效率。自适应重要性抽样则基于多种参数分布定义ISD，例如在低维度情况下使用高斯混合模型，在高维度情况下使用冯·米塞斯 - 费希尔 - 中川美智子混合模型，并逐步调整这些参数以更精准地逼近最优ISD。序贯重要性抽样则利用以极限状态面为中心的softmax函数来塑造ISD，并逐渐让该函数向指示函数IFu演变。序贯空间转换通过放大输入变量的标准差，然后再将其向原点收缩来构建ISD。序贯方向重要性抽样则在单位超球面上运用球面坐标系，根据单位超球面上单位向量沿线的条件失效概率来定义ISD，最终经过优化以在球面域内逼近最优ISD。尽管这些基于序贯蒙特卡洛原理的自适应策略[15]提高了统计效率，但它们要求最终的ISD能够收敛到（或逼近）最优ISD。之所以有这样的要求，是因为最终是通过使用最终ISD的单一重要性抽样程序来估算失效概率的，这大大限制了ISD构建的灵活性。此外，为ISD的演化设定固定的目标可能会降低算法的效率。例如，子集模拟和序贯重要性抽样这类算法在逐步逼近指示函数IFu的同时，会保持分布项?nu不变。当存在孤立的失效域时，这些策略可能会出现遍历性问题[16]，从而导致失效概率估算出现偏差。为缓解上述限制，本文提出了一种序贯多重重要性抽样算法。它的核心创新在于ISD构建方式的转变：SeMIS并非追求逐步逼近最优ISD，而是构建ISD序列以最大化整体效率。这种转变带来了一种协同策略，即在早期阶段结合方差膨胀技术，在后期阶段采用混合截断技术，从而提升可靠性估计的稳健性和统计效率，尤其是在复杂的失效域中。此外，本文还引入了一种基于不确定性传播的方法，用于量化单次运行中SeMIS估算量的方差。本文的其余部分结构如下：第2节简要回顾了用于可靠性估计的多重重要性抽样技术，第3节则对所提出的SeMIS算法进行总体介绍。第4节介绍了该算法的实现细节，并分析了SeMIS估算量的统计特性。最后，第5节通过基准测试案例和实际工程应用，全面验证了SeMIS的性能，并与几种先进的序贯失效概率估算方法进行了对比。多重重要性抽样本节阐述了多重重要性抽样的基本原理及其在可靠性估计中的应用。多重重要性抽样是一种强大的方差降低技术，它通过结合多个提议分布的样本来实现这一目标。该技术已在计算机图形学[17],[18]、贝叶斯推断[19],[20]等多个领域得到成功应用，近年来在结构可靠性分析领域也有广泛应用[21],[22]。多重重要性抽样的优势在于它能够整合多种来源的贡献。序贯多重重要性抽样多重重要性抽样在失效概率估算方面的性能在很大程度上取决于提议分布的构建方式。如第2节所述，多重重要性抽样无需仅依赖最终的提议分布就能逼近最优ISD，所有提议分布的集合共同为最优ISD提供全面的覆盖，并为最终估算量做出有效贡献。受序贯蒙特卡洛方法的启发，本研究提出了一种序贯策略。中间抽样密度的序贯构建在第3节确定了中间ISD的结构改进方案之后，我们现在详细介绍SeMIS框架的实际实现方式。SeMIS的整个流程如算法1所示。从初始ISD开始，该算法循环生成样本，为下一轮迭代挑选种子样本，并更新后续ISD的参数，直至达到收敛状态。一旦序贯过程结束，就会估算出所有ISD的归一化常数。数值示例该算法的性能通过在不同维度范围内的可靠性问题上进行验证。测试集包括九个低维度基准问题、几个高维度基准问题以及两个工程规模的结构分析案例。该算法与三种先进的序贯方法进行了比较：改进的交叉熵重要性抽样[iCE-IS][8]、SDIS[13]和SuS。为确保公平比较，所有方法都在标准设置下进行实现。结论本研究提出了一种用于结构可靠性中罕见事件概率估算的序贯多重重要性抽样算法。SeMIS的核心创新在于它能够灵活地构建一系列中间重要性抽样密度，这种密度结合了扩展后的初始分布以及一系列自适应截断的分布。该设计能够有针对性地将样本引导至对失效概率贡献最大的区域，而无需……作者贡献声明夏伟丽：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理。廖子涵：写作——审阅与编辑、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构建。李斌斌：写作——审阅与编辑、资源协调、项目管理、方法论、研究、资金筹集。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。致谢本研究部分得到了国家自然科学基金（项目编号U23A20662）和浙江省科学技术厅（项目编号2024C03255）的支持。本文中所表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者个人观点，不代表资助方的立场。夏伟丽|廖子涵|李斌斌