基于拟牛顿方向增强型混合共轭梯度算法的瑞利波色散曲线反演方法

《Journal of Applied Geophysics》：Quasi-Newton direction-enhanced hybrid conjugate gradient algorithm for Rayleigh wave dispersion curve inversion

　　•本文提出了一种基于梯度的新反演算法（HYCG），用于瑞利波色散反演。在共轭梯度框架下，引入了一种自适应方案来构建近牛顿搜索方向，从而在保持较高精度的同时提升分层模型的反演稳定性。此外，还提出了空间填充多起点初始化和误差加权聚合方法，有效降低了初始模型对结果的敏感性，并减少了非唯一解的问题。在合成模型和实际案例上的实验表明，所提出的方法显著提升了瑞利波色散曲线反演的性能。

引言
瑞利波是近地表探测中最重要的弹性波之一（Xia等人，1999）。自Rayleigh在1885年发现瑞利波，以及Haskell在1990年证明了其在分层介质中的色散行为以来，瑞利波已被广泛应用于岩土工程、地质灾害监测以及近地表环境监测领域。S波速度是地球物理勘探中的关键参数，而通过反演瑞利波色散曲线可有效估算地下S波速度分布。然而，瑞利波色散曲线反演具有高度非线性特征，模型参数之间存在强耦合关系，且目标函数通常存在多极值情况。因此，反演结果不仅易受初始模型影响，还会受到噪声干扰。如何实现准确且稳定的面波色散曲线反演，一直是该领域长期研究的重点（Dal Moro和Pipan，2007；Lu等人，2016；Haney和Tsai，2017；Cercato，2018；Bergamo等人，2023）。

瑞利波色散曲线反演是基于分层介质理论的一类典型地球物理问题，其特点是具有非线性和多极值目标函数。这类问题通常被建模为无约束优化问题。当有关目标区域的先验信息可用时，基于梯度的局部非线性优化方法往往更为适用，因为它能够利用梯度信息确定搜索方向，从而实现快速收敛且实现较为简单，因此成为最常用的求解方法之一（Liu等人，2024）。基于梯度的瑞利波色散曲线反演的核心组成部分是灵敏度函数。灵敏度函数用于量化色散曲线对模型参数扰动的响应程度，从数学上讲，它对应于偏导数，是计算目标函数梯度及确定搜索方向的基础。Feng等人（2005）采用有限差分法来近似计算灵敏度函数。Liang等人（2008）也运用类似的有限差分策略成功实现了瑞利波色散曲线反演。Pan等人（2019）则基于水平分层介质中波动方程的解析解，通过变分法严格推导出了色散曲线相对于模型参数的偏导数，并确定了相应的灵敏度函数。他们通过将这些解析得到的灵敏度结果与有限差分近似值进行比较，验证了变分法所得灵敏度及目标函数梯度的有效性，随后还采用了限内存Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno（LBFGS）方法进行了色散曲线反演（Byrd等人，1995）。

目前，用于面波色散曲线反演的基于梯度的算法主要可分为两类：共轭梯度法（CG）和拟牛顿法。大量研究证明了这两种方法在不同条件下的有效性。例如，Pasyanos等人（2001）、Campman和Dwi Riyanti（2007）、Kie?czyński和Szalewski（2011）以及Yin等人（2020）都曾使用CG方法根据色散曲线估算地下S波速度。而Pan等人（2019）、Wu等人（2020）和Fu等人（2021）则采用拟牛顿法进行色散曲线反演。经典的拟牛顿法能够利用二阶信息，因此可实现较高的反演精度（Wright，1999）。但在存在噪声和强非线性情况下，反演目标函数往往呈现非凸且不规则的特征，这会影响到这类方法的稳定性。相比之下，CG法无需存储近似的海森矩阵，但在处理强非线性问题时容易出现搜索方向退化的问题，其精度和稳定性通常也低于二阶方法（Xu等人，2023）。总体而言，无论是CG法还是拟牛顿法，都无法始终为瑞利波色散曲线反演提供最优的解决方案。此外，由于该问题的非凸性及多解特性，基于梯度的方法对初始模型极为敏感，单起点反演很容易陷入局部最小值。在近地表工程应用中，稳定的、可重复的结果与高精度同样重要，因此需要一种能够提升反演稳定性与鲁棒性、降低对初始模型依赖性，并保持较高精度的反演方法。

为解决上述问题，我们提出了一种拟牛顿方向增强型混合共轭梯度法，用于瑞利波色散曲线反演。该方法的整体设计既考虑了求解器本身，也兼顾了求解策略。本研究的主要贡献如下：（i）在共轭梯度框架下引入自适应方案来构建近牛顿搜索方向，从而在不牺牲反演精度的同时提升反演稳定性。（ii）采用均匀随机多起点初始化，并通过误差加权聚合方式整合各次收敛结果，最终得到反演模型，有效降低了初始模型对结果的敏感性，同时减少了非唯一解的问题。（iii）通过在合成模型及实际野外数据集上的大量实验，证明所提出的方法在保持较高精度的同时显著提升了反演的稳定性和鲁棒性，降低了其对初始模型的依赖，减少了非唯一解现象，从而大幅提升了瑞利波色散曲线反演的性能。

目标函数与梯度
在地球物理学中，通过给定的映射关系，根据一组模型参数预测地球物理响应的过程被称为正演建模。相反，反演则是旨在根据观测到的地球物理响应，在相同的映射关系下反求出模型参数。地球物理反问题往往属于病态问题，其特征为非唯一性、强非线性和不稳定性。因此，这类问题通常被转化为目标函数优化问题来处理。

实验设置与评估指标
为全面评估所提出的HYCG方法的有效性与优势，本节通过对比性合成反演实验，从精度、稳定性以及抗噪声能力三个角度对该方法的表现进行评价。在评估反演精度时，我们采用各层的绝对百分比误差（APE）以及所有层的平均绝对百分比误差（MAPE）来衡量反演值与真实值之间的差异：APE=|vs,linv?vs,ltrue|×100%，MAPE=

实际数据反演
在第3节中，对比实验仅使用了基模色散曲线。为进一步验证所提方法在多模态色散曲线中的应用能力及其在实际工程条件下的实用性，我们使用了中国山东省烟台市的实际多模态瑞利波色散数据集进行了反演分析（Le等人，2022）。图14(a)展示了采集到的瑞利波地震记录。此次野外调查使用的采样频率为4.5 Hz。

结论
本研究针对基于梯度的瑞利波色散曲线反演所存在的强非线性、不稳定性问题以及其对初始模型的依赖性，提出了一种名为HYCG的拟牛顿方向增强型混合共轭梯度算法。通过使用三种典型合成模型（规则层、高速度层和低速度层）进行的反演实验、额外的参数敏感性测试、含噪声数据实验以及实际野外数据集的分析，可得以下结论：（i）在合成数据条件下，

CRediT作者贡献说明
张天宇：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。卢新明：写作——审阅与编辑，监督，资源协调，项目管理，研究，资金申请。侯胜哲：写作——审阅与编辑，可视化，验证，软件，研究，形式分析。刘文婷：验证，研究。张兴利：监督，资源协调。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（项目编号52574195）、山东省自然科学基金（项目编号ZR2023ME032）以及山东省中央引导地方科技发展资金（2025年度）（项目编号YDZX2025101）的支持，该研究属于“地下工程勘测与定位机器人系统的研究与应用”项目范畴。

张天宇|卢新明|侯胜哲|刘文婷|张兴利