基于混合数值方法与机器学习的磁可调量子伪点分析：阿哈罗诺夫-玻姆通量与屏蔽杂质效应

《Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures》：Hybrid Numerical–Machine Learning Analysis of a Magnetically Tunable Quantum Pseudodot with Aharonov–Bohm Flux and Screened Impurity

　　摘要：场控量子纳米结构为调控束缚态谱和局域化提供了强大平台，但在伪点系统中，磁约束、阿哈罗诺夫-玻姆相位控制以及屏蔽杂质吸引力的共同作用机制仍不十分明确。在本研究中，我们探讨了在垂直磁场、阿哈罗诺夫-玻姆通量以及中心屏蔽库仑杂质共同作用下，被限制在二维量子伪点中的电子的行为。在有效质量近似下，该系统由一种伪谐振约束描述，这种约束同时包含谐振陷阱效应和奇异核排斥效应，此外还有类尤卡瓦型的杂质势。通过使用稳定的自伴数值本征求解器来求解所得的无量纲径向薛定谔方程，从而能够系统地探索多维控制空间。研究结果揭示了约束与屏蔽作用之间的鲜明且复杂的竞争关系：增大屏蔽参数会削弱杂质吸引力，使能谱向上移动，从而使系统从依赖杂质辅助的局域化状态转变为以伪点为主的约束状态；相反，磁场则会增强有效约束力，并通过将波函数压缩到核心区域来提升杂质的影响。阿哈罗诺夫-玻姆通量则打破对称性，产生可外部调制的显著角动量分裂。包括平均半径和核心概率在内的空间可观测量，证实了束缚态在实空间中的重新分布，并揭示了磁场-屏蔽平面上的临界屏蔽边界。为加速并解读这一多维分析，我们基于随机森林、XGBoost和多层感知器模型开发了机器学习替代模型，用于多输出预测缩放后的能量值、相邻能级分裂以及平均半径，同时还用于对局域化状态进行分类。本研究并非提出全新的约束模型，而是提供了一种统一的谱-局域化分析框架，并结合机器学习方法，用于识别场控低维量子纳米结构中约束与屏蔽作用的交叉行为。

引言：半导体量子点常被称为“人造原子”，因为空间约束将宿主材料的连续能带结构转化为离散且可调控的能级。这种离散能谱为众多应用奠定了基础，涵盖光电子学、光子学、基于自旋的量子技术以及纳米尺度传感等领域。因此，相关理论研究长期以来一直将量子点视为理解受限载流子、壳层结构、磁场响应以及低维量子输运的核心平台[1]、[2]。在低维纳米结构中，磁场和阿哈罗诺夫-玻姆通量这两种外部控制手段尤为有效，因为它们既能改变轨道量子化状态，又能影响量子相位相干性。自从最初的阿哈罗诺夫-玻姆研究证明电磁势甚至能在无场区域改变量子相位以来，通量控制的约束方式便成为调节环状、点状及混合点环几何结构中的简并度、输运振荡现象以及局域化模式的标准方法[3]。

伪谐振约束和伪点型约束尤其具有吸引力，因为它们介于谐振陷阱效应和奇异核行为之间，相比纯抛物线型点结构更具灵活性，同时仍保留着解析结构。早期的精确和准精确研究表明，处于磁场和阿哈罗诺夫-玻姆场中的二维伪点会表现出非平凡的能谱偏移、改变的带间吸收特性，以及对角动量和约束参数的强烈敏感性。其中的代表性研究成果包括?etin早期对二维伪谐振伪点的分析，Ikhdair和Hamzavi后来提出的磁场与阿哈罗诺夫-玻姆场联合作用的研究，以及后续针对缺陷介导或广义伪谐振系统的拓展研究[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。在真实纳米系统中，另一个重要因素是杂质势。施主杂质或类库仑杂质并非单纯的微扰修正，它们能够重塑概率密度、改变结合趋势、改变阿哈罗诺夫-玻姆振荡特性，甚至从根本上改变磁响应行为。这一点在量子环系统中表现得尤为明显，在那里杂质与几何结构共同决定了能量重排和场依赖性。近期研究继续证实，在纳米级环状结构中，偏离中心的施主、杂质的数目以及几何不对称性对受限电子的行为具有决定性影响[9]、[10]。

与此同时，现有文献也显示出人们对场控低维约束问题的新兴趣。近期的研究例子包括在磁场和阿哈罗诺夫-玻姆场下对伪谐振系统进行的热磁行为分析、在具有拓扑结构的量子点环境中由通量控制的光学响应研究，以及石墨烯磁量子点中可通过阿哈罗诺夫-玻姆效应调控的能谱研究。这些发展都表明了一个共同的观点：磁场、阿哈罗诺夫-玻姆通量以及局部扰动为设计受限量子系统中的能谱和空间特性提供了简洁却极为丰富的控制手段[7]、[8]、[11]。与这些分析和数值计算进展同步，机器学习也逐渐成为量子理论领域中越来越重要的工具。神经网络波函数、从势函数直接学习得到的本征值映射、基于物理原理的神经网络以及深度变分求解器等都表明，只要训练数据具有物理可靠性，学习得到的替代模型就能够加速或增强量子力学计算过程。尤其是近期的一些研究显示，机器学习能够高精度地模拟薛定谔求解器，但大多数研究仍然仅侧重于能量预测，而非在场控受限系统中实现可解释的相位识别[12]、[13]、[14]、[15]、[16]。

尽管磁场效应、阿哈罗诺夫-玻姆通量、杂质诱导的局域化以及类环状约束在低维系统中都已得到广泛研究，但它们在控制由杂质主导的局域化与由点/环结构主导的约束之间的转变过程中的共同作用机制仍不够清晰。在当前所研究的系统中，不同的控制参数所起的作用并不相同：磁场通过轨道压缩来改变波函数的径向范围，阿哈罗诺夫-玻姆通量则控制角相位和角向能级分裂，而屏蔽参数则决定杂质吸引力的作用范围。因此，本研究的核心目标是弄清这些机制是如何相互竞争的，从而决定载流子是保持局域在杂质核心附近，还是主要受到周围伪点/环结构的约束。这不仅需要通过能级分析来实现，还需要借助平均半径等实空间局域化指标。

本研究针对受三种竞争机制共同作用的二维量子伪点展开了研究：类似谐振的约束、奇异核约束以及受屏蔽的吸引性杂质，而这些机制都同时受到磁场和阿哈罗诺夫-玻姆通量的控制。我们的目标不仅是计算能谱，还要确定杂质主导的局域化状态与点结构主导的约束状态之间的转换点。为此，我们结合了稳定的径向数值求解器与可解释的机器学习替代模型，后者可用于预测能谱相关观测量并对局域化状态进行分类。研究中采用了随机森林、XGBoost和多层感知器模型作为替代模型，同时利用基于SHAP的重要性分析方法和偏依赖图来揭示起主导作用的控制参数。整个机器学习工作流程是基于现有的树集成方法、提升算法、可解释性方法以及科学Python工具开发而来的[17]、[18]、[19]、[20]。

本研究的创新之处并不在于单独使用伪谐振约束、磁场、阿哈罗诺夫-玻姆通量或屏蔽库仑相互作用，因为这些要素在现有文献中早已被广泛研究。其贡献在于将这些机制整合为一个统一的谱-局域化分析框架，用于描述由杂质主导的局域化状态与由点/环结构主导的约束状态之间的转换关系。一个新的重要发现是存在一个依赖于磁场的屏蔽边界：更强的磁场约束能够增加波函数与中心区域的重叠程度，从而增强杂质辅助的局域化效果，使其更不易受到屏蔽作用的影响。机器学习组件则作为一种可解释的替代工具，用于加速这一多维转换过程的映射、量化各控制参数的权重，并为物理意义的阐释提供支持。因此，机器学习并非用来替代量子模型，而是作为一种数据驱动的工具，用于整理和解读数值计算的谱-局域化结果。

物理系统：图1以示意图的形式展示了所研究的系统。粒子在垂直磁场作用下的二维伪点结构中运动，同时阿哈罗诺夫-玻姆通量贯穿系统中心区域，而中心位置则存在一个屏蔽库仑杂质。这样的示意图非常有用，因为它直观地展示了该模型中的三种竞争性作用机制：来自伪点的外部约束、来自阿哈罗诺夫-玻姆通量的相位敏感轨道控制，以及来自杂质的中心吸引力。

结果与讨论：我们着重分析了该问题的物理结构。该模型包含多个控制参数，但它们各自具有不同的物理意义。磁场强度比控制着波函数的径向压缩程度，进而影响波函数与中心杂质的重叠情况。阿哈罗诺夫-玻姆通量则通过某种替换机制来控制具有相位敏感性的角向能级分裂。屏蔽参数则决定了吸引性杂质势的空间作用范围。因此，该系统的核心物理机制并非……

结论：在本研究中，我们构建了一个结合数值计算与机器学习方法的框架，用于研究在垂直磁场、阿哈罗诺夫-玻姆通量以及中心屏蔽库仑杂质共同作用下的二维量子伪点。该模型能够体现四种关键物理机制之间的竞争关系：伪点约束、奇异核排斥、通量控制的轨道相位调制，以及杂质辅助的局域化效应。通过对该经过变换后的径向薛定谔方程进行数值求解……

CRediT作者贡献说明：Mohammed Benali Kanoun：撰写——初稿、可视化、验证、软件开发、方法设计、实验研究、形式分析、数据整理、概念构思。Souraya Goumri-Said：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、监督指导、软件开发、方法设计、实验研究、形式分析、数据整理、概念构思。

利益冲突声明：? 作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：S. Goumri-Said感谢沙特阿拉伯阿尔费萨尔大学的研究办公室通过内部项目编号24407对她研究工作的支持。M.B. Kanoun则想对苏丹王子大学给予的支持表示感谢。

Souraya Goumri-Said | Mohammed Benali Kanoun
沙特阿拉伯利雅得11533，阿尔费萨尔大学科学与通识教育学院物理系，邮政信箱5092