基于灵活性矩阵灵敏度引导的、利用自适应同伦替代模型的贝叶斯有限元模型更新方法

《Structures》：Flexibility matrix sensitivity guided Bayesian finite element model updating using adaptive homotopy surrogate model

　　摘要：基于MCMC的贝叶斯模型更新之所以存在高昂的计算成本，主要是因为模型正向评估的复杂度以及为达到采样收敛所需的大量迭代次数。尽管替代模型能够在一定程度上降低正向分析的成本，但如何在构建成本与预测精度之间取得平衡仍是一大难题。在涉及高维参数且数值变化范围较大的贝叶斯更新问题中，这一挑战更为突出，因为替代模型往往难以在整个参数空间内保持高精度。为解决这一问题，本文提出了一种新的贝叶斯有限元模型更新方法，该方法以灵活性矩阵灵敏度方程作为指导。所提方法将FMSE方程引入贝叶斯框架，作为信息性先验来加速采样过程。同时，采用自适应同伦替代模型来计算频率和模态形状。由于引入了FMSE，解决了替代模型应用中的域适应问题，进一步提升了HSM模型的计算精度。通过一个包含16个单元的梁的数值算例表明，与没有FMSE引导的贝叶斯模型更新方法相比，所提方法需要更少的迭代次数即可收敛，且得到的更新结果更为精确。此外，还通过一座斜拉桥的实际工程案例验证了该方法的有效性。

引言：为正确评估结构在服役期间的安全状况[1]、[2]、[3]，或建立结构健康监测系统[4]、[5]，就需要高精度的结构有限元模型。然而，在构建有限元模型的过程中，建模误差不可避免，尤其是在处理大跨度结构或某些复合结构及预制结构体系时[6]、[7]，这就需要对模型进行更新。早期的模型更新方法主要是确定性的[8]、[9]。由于测量值和初始有限元模型存在不确定性，随机模型更新方法[10]、[11]、[12]、[13]越来越受到研究人员的关注。其中，贝叶斯方法是最为常用的方法之一。贝叶斯模型更新的关键步骤是[14]、[15]，即结合结构参数的先验知识以及基于观测响应的似然函数，从而得出参数的合理后验分布。通常采用两种主要方法来实现贝叶斯模型更新过程：随机采样方法[16]、[17]、[18]、[19]、[20]，以及数值近似推断方法[21]、[22]。作为最常用的随机采样方法之一，基于MCMC的贝叶斯模型更新因其能够从模型参数的后验分布中获取样本，从而全面描述不确定性而备受重视。不过，基于MCMC的方法存在一个重大缺陷，那就是其计算成本极高。MCMC过程中计算成本高的一个主要原因在于每次迭代都需要进行昂贵的模型正向评估。为解决这一问题，常见的策略是使用替代模型来代替原始模型进行正向评估，而一个有效的替代模型能够在构建成本与预测精度之间实现恰当平衡。例如，克里金替代模型[23]、[24]因其在各种贝叶斯模型更新问题中具有较高的计算精度且对训练样本数量的要求相对较低而受到广泛关注[25]、[26]。基于样本的多项式混沌展开替代模型[27]则将结构响应映射到与输入分布对应的正交多项式基上，从而实现参数到结构响应之间的精确映射。类似地，响应面法[28]和神经网络[29]也被用作模型更新中的替代计算方法。上述替代模型可归为非侵入式方法，因为它们的构建本质上依赖于基于采样点的数据拟合。相比之下，侵入式替代模型，如基于扰动的替代模型[30]、[31]，近年来也在模型更新中得到了成功应用。这类侵入式替代模型不依赖于对采样数据的拟合，因而能够实现精确且符合物理规律的计算。使用替代模型时的一个主要挑战是在整个感兴趣的参数域内保持高精度。当训练数据与实际数据存在较大差异时，非侵入式替代模型的预测精度可能会下降。这种现象被称为分布偏移[32]，这也促使人们对域适应[33]、[34]和迁移学习[35]进行了大量研究。解决这一问题的有效策略包括缩小替代模型的应用范围，如参数简化[36]、将替代模型应用域划分为多个子区域[37]、将物理定律嵌入模型中[38]，以及采用自适应正则化、自适应采样等策略[39]、[40]。在将替代模型应用于贝叶斯模型更新这类逆问题时也会出现类似问题。在贝叶斯推理中，高似然区域内的似然函数对替代模型计算所带来的误差更为敏感，因此这些区域需要更高的替代模型精度。然而，在进行模型更新之前，结构参数的真实状态以及相应的高似然区域通常是未知的。因此，替代模型往往直接基于初始模型的参数设置来构建。当实际参数值与初始值存在显著差异时，就会发生分布偏移问题，从而导致不可忽视的计算误差。除了上文提到的昂贵模型正向评估之外，采样过程中大量的迭代次数也会导致MCMC过程的高计算成本。为提高采样效率，研究人员将各种先进的采样算法引入MCMC框架，以提升采样效率并加速马尔可夫链的收敛，这些算法包括过渡MCMC方法[41]、哈密顿蒙特卡洛方法[42]、[43]，以及差分进化自适应梅特罗波利斯方法[44]、[45]。不过，即便有了这些先进采样算法的辅助，对于那些参数数量庞大且变化范围广泛的场景，过大的参数搜索空间仍可能导致过长的迭代时间以及参数空间的不足探索。为应对这一问题，有效的策略是缩小搜索范围或主动识别参数空间中具有潜力的区域[46]、[47]。在贝叶斯推理过程中，引入先验知识会对参数空间施加约束，从而缩小可行解的空间，并引导采样过程向后验概率较高的区域发展[48]、[49]、[50]、[51]、[52]、[53]。通过引入基于物理定律的更具信息量的先验，更新结果将更贴近真实系统[51]、[52]，这大大提升了迭代采样的效率。因此，在土木工程领域，寻找与力学规律相关的信息性先验值得进一步研究。为解决替代模型在目标区域的精度问题以及迭代采样的效率问题，本文将自适应同伦替代模型与灵活性矩阵灵敏度方程引入贝叶斯模型更新框架。在所提出的更新方法中，会在贝叶斯模型更新过程开始前通过求解FMSE方程来对参数进行初步估算，以此作为信息性先验，进而构建自适应HSM，从而加快MCMC采样速度。与传统灵敏度公式[54]、[55]、[56]不同，FMSE方程能够保持方程两侧的维度一致性，因此避免了刚度/质量矩阵凝聚现象以及模态展开问题。此外，在FMSE的引导下，自适应HSM的展开点会位于高似然区域，从而减少替代模型近似区域与后验区域之间的分布偏差，使得其在目标区域的精度高于传统HSM[57]。如此，本文为有效解决传统HSM中存在的分布偏移问题，以及大幅减少MCMC采样过程中的迭代次数提供了新途径。文中通过一个包含三个弹簧的机械系统的数值算例，说明了在贝叶斯模型更新过程中，替代模型在高似然区域内的计算精度的重要性；同时还使用所提方法对一根16个单元的简支梁进行了模型更新。随后，又用该方法对一座大跨度斜拉桥的有限元模型进行了更新，以证明其在实际工程应用中的可行性。本文的结构安排如下：第2节介绍基于模态数据的贝叶斯模型更新框架；第3节阐述用于估算更新参数的FMSE方程；第4节介绍在特定展开点处用于计算频率和模态形状的HSM模型；第5节总结所提方法的求解流程；第6节和第7节分别给出两个数值算例；第8节讨论将该新方法应用于两塔斜拉桥模型更新的情况；最后为结论部分。第八章与结论在本文中，我们提出了一种基于FMSE方程的新的BMU方法。该方法根据实测频率、模态形状以及静力平衡方程来构建FMSE方程。通过保留泰勒展开中的一阶项并引入虚拟位移，FMSE能够快速且稳定地初步估算出需要更新的参数。之后，这些预先估算出的参数值会被纳入BMU流程中。作者贡献声明孙明：撰写——初稿、软件、方法论、概念设计。黄斌：撰写——审阅与编辑、指导、方法论、概念设计。陈辉：指导、调研、数据整理。薛凯毅：软件、调研、数据整理。利益冲突声明作者们声明自己没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。孙明|黄斌|陈辉|薛凯毅中国武汉，武汉工业大学土木建筑工程学院，邮编430070